Leçons de niveau 14

Théorie des groupes/Exercices/Intermède : groupes simples d'ordre 360

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Intermède : groupes simples d'ordre 360
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Exercices no35
Leçon : Théorie des groupes
Chapitre du cours : Intermède : groupes simples d'ordre 360

Exercices de niveau 14.

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Théorie des groupes/Exercices/Intermède : groupes simples d'ordre 360
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Problème 1. (Préliminaire 1 du chapitre théorique)[modifier | modifier le wikicode]

Soient G un groupe fini, p un nombre premier, P un p-sous-groupe de Sylow de G. Si P est cyclique, l'indice [NG(P) : CG(P)] divise p-1. (Indication : utiliser le lemme N/C et le chapitre Automorphismes d'un groupe cyclique.)

Problème 2. (Préliminaire 7 du chapitre théorique)[modifier | modifier le wikicode]

Soit G un groupe simple fini d'ordre non premier, soit p un diviseur premier de , soit P un p-sous-groupe de Sylow de G. Alors le groupe n'est pas commutatif. (Indication : utiliser le théorème du complément normal de Burnside.)

Problème 3. (Préliminaire 8 du chapitre théorique)[modifier | modifier le wikicode]

Tout groupe d'ordre 36 a un sous-groupe normal d'ordre 4 ou un sous-groupe normal d'ordre 9. (Indication : utiliser le théorème du complément normal de Burnside.)

Problème 4. (Préliminaire 9 du chapitre théorique)[modifier | modifier le wikicode]

Soit H un groupe fini, soit p un nombre premier distinct de 2. On suppose que H contient un et un seul p-sous-groupe de Sylow, soit P, et que P est commutatif. On suppose aussi que H n'a pas d'élément d'ordre 2p. Alors, pour tout élément t d'ordre 2 de H et tout élément a de H dont l'ordre est une puissance de p,

(Puisque t est d'ordre 2, on pourrait évidemment écrire «t» au lieu de « t-1 », mais le fait que soit le résultat de la conjugaison de a par t n'est pas indifférent.)