Leçons de niveau 14

Théorie des groupes/Exercices/Intermède : groupes simples d'ordre 360

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Intermède : groupes simples d'ordre 360
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Exercices no36
Leçon : Théorie des groupes
Chapitre du cours : Intermède : groupes simples d'ordre 360

Exercices de niveau 14.

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Théorie des groupes/Exercices/Intermède : groupes simples d'ordre 360
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Problème 1. (Préliminaire 1 du chapitre théorique)[modifier | modifier le wikicode]

Soient G un groupe fini, p un nombre premier, P un p-sous-groupe de Sylow cyclique de G. Prouver que l'indice [NG(P) : CG(P)] divise p-1. (Indication : utiliser le lemme N/C et le chapitre Automorphismes d'un groupe cyclique.)

Problème 2. (Préliminaire 8 du chapitre théorique)[modifier | modifier le wikicode]

Soit G un groupe simple fini d'ordre non premier, soit p un diviseur premier de , soit P un p-sous-groupe de Sylow de G. Alors le groupe n'est pas commutatif. (Indication : on peut utiliser le théorème du complément normal de Burnside.)

Problème 3. (Préliminaire 9 du chapitre théorique)[modifier | modifier le wikicode]

Tout groupe d'ordre 36 a un sous-groupe normal d'ordre 4 ou un sous-groupe normal d'ordre 9. (Indication : utiliser le théorème du complément normal de Burnside.)

Problème 4. (Préliminaire 10 du chapitre théorique)[modifier | modifier le wikicode]

Soit H un groupe fini, soit p un nombre premier distinct de 2. On suppose que H contient un et un seul p-sous-groupe de Sylow, soit P, et que P est commutatif. On suppose aussi que H n'a pas d'élément d'ordre 2p. Alors, pour tout élément t d'ordre 2 de H et tout élément a de H dont l'ordre est une puissance de p,

(Puisque t est d'ordre 2, on pourrait évidemment écrire «t» au lieu de « t-1 », mais le fait que soit le résultat de la conjugaison de a par t n'est pas indifférent.)

Problème 5. (Non-simplicité des groupes d'ordre 720)[modifier | modifier le wikicode]

On va prouver qu'il n'y a pas de groupe simple d'ordre 720. L'essentiel de la démonstration consistera à prouver que dans un groupe simple d'ordre 720, les 3-sous-groupes de Sylow devraient être en nombre 10, isomorphes à et se couper trivialement deux à deux. Cela fait, un résultat du chapitre théorique fournira immédiatement une contradiction.

a) Soit G un groupe simple d'ordre 720. Prouver que tout sous-groupe propre de G est d'ordre

b) Soit G un groupe simple d'ordre 720. Prouver qu'un des deux cas suivants a lieu :

(i) les 3-sous-groupes de Sylow de G sont en nombre 10 et leurs normalisateurs dans G sont d'ordre 72;
(ii) les 3-sous-groupes de Sylow de G sont en nombre 40 et leurs normalisateurs dans G sont d'ordre 18.

c) Soit G un groupe simple d'ordre 720. Prouver que G n'a pas de sous-groupe d'ordre 45 ni de sous-groupe d'ordre 90.
Indication : si H est un sous-groupe d'ordre 45 de G, raisonner sur le normalisateur dans G d'un 3-sous-groupe de Sylow de H. Utiliser la question b).

d) Soit G un groupe simple d'ordre 720. Soit Q un sous-groupe Q d'ordre 3 de G contenu dans plusieurs 3-sous-groupes de Sylow de G (à supposer qu'il existe un tel sous-groupe Q). Prouver que

(i)les 3-sous-groupes de Sylow de G contenant Q sont exactement les 3-sous-groupes de Sylow de ;
(ii)les 3-sous-groupes de Sylow de sont en nombre 4;
(iii)Q est contenu dans exactement quatre 3-sous-groupes de Sylow de G;
(iv) est égal à 36 ou à 72.

e) Soit G un groupe fini, soit un diviseur premier de , soit la plus grande puissance de divisant , soit Q un sous-groupe d'ordre de G contenu dans plusieurs sous-groupes de Sylow de G. Prouver que Q est un sous-groupe caractéristique de et en déduire que est son propre normalisateur dans G.

f) Comme à la question d), on suppose que G est un groupe simple d'ordre 720 et Q un sous-groupe d'ordre 3 de G contenu dans plusieurs 3-sous-groupes de Sylow de G. Prouver que

Indication : supposer que, par absurde, ; en utilisant un problème ci-dessus sur les groupes d'ordre 36 et un exercice sur le chapitre Groupes nilpotents, prouver qu'il existe un sous-groupe H d'ordre 4 de tel que

et ;

à l'aide de la question e), en déduire une contradiction.

g) Soient G un groupe fini, un nombre premier et Q un -sous-groupe de G. Prouver qu'il existe un et un seul nombre naturel tel que chaque -sous-groupe de Sylow de G contienne exactement G-conjugués de Q.

h) Soit G un groupe fini, soit un nombre premier, soit Q un -sous-groupe de G, soient les différents -sous-groupe Sylow de G contenant Q.
Pour chaque dans on désigne par l'ensemble des G-conjugués de Q contenus dans
Prouver que

1° l'ensemble des G-conjugués de Q normalisés par Q est contenu dans ;
2° si Q est normal dans tout -sous-groupe de Sylow de G contenant Q,
l'ensemble des G-conjugués de Q normalisés par Q est égal à

i) Soit G un groupe fini, soit un diviseur premier de , soit la plus grande puissance de divisant , soit Q un sous-groupe d'ordre de G.
On désigne par le nombre des -sous-groupes Sylow de G contenant Q et par conj(Q) le nombre des G-conjugués de Q.
Comme à la question g), on désigne par l'unique nombre naturel tel que chaque p-sous-groupe de Sylow de G contienne exactement G-conjugués de Q.
Déduire de la question h) que

les G-conjugués de Q normalisés par Q sont en nombre ;

j) Soit G un groupe fini, soit un nombre premier. On note le nombre des -sous-groupes de Sylow de G. Pour tout -sous-groupe T de G, on note le nombre des -sous-groupes de Sylow de G contenant T.
Comme à la question g), on note le nombre naturel tel que chaque -sous-groupe de Sylow de G contienne exactement G-conjugués de T.
Soit Q un -sous-groupe de G. On note conj(Q) le nombre des G-conjugués de Q.
Prouver que

Indication : on peut évaluer de deux façons le nombre des couples (R, P), où R est un G-conjugué de Q, où P est un p-sous-groupe de Sylow de G et où R est contenu dans P.

k) Comme aux questions d) et f), on suppose que G est un groupe simple d'ordre 720 et Q un sous-groupe d'ordre 3 de G contenu dans plusieurs 3-sous-groupes de Sylow de G. D'après la question g), il existe un et un seul nombre naturel tel que chaque 3-sous-groupe de Sylow de G contienne exactement G-conjugués de Q.
À l'aide notamment des questions i) et j), prouver que

;
le seul G-conjugué de Q normalisé par Q est Q.

l) Soit G un groupe simple d'ordre 720. Prouver que les 3-sous-groupes de Sylow de G se coupent trivialement deux à deux.
Indication : si, par absurde, Q est un sous-groupe d'ordre 3 de G contenu dans plusieurs 3-sous-groupes de Sylow de G, alors, d'après la question f), ; en déduire, à l'aide du lemme N/C, que tout élément d'ordre 3 de Q est le carré d'un élément d'ordre 6 de G; faire opérer un tel élément d'ordre 6 par conjugaison sur l'ensemble des G-conjugués de Q; à l'aide du préliminaire 11 du chapitre théorique, en tirer une conclusion qui contredit la question k).

m) Soit G un groupe simple d'ordre 720. Prouver que les 3-sous-groupes de Sylow sont en nombre 10.
Indication : utiliser un théorème qu'on a appelé « congruence de Sylow à module renforcé » dans un exercice sur le chapitre Théorèmes de Sylow.

n) Soit G un groupe simple d'ordre 720. Prouver que G n'a pas d'élément d'ordre 6.
Indication : faire opérer un tel élément par conjugaison sur l'ensemble des 3-sous-groupes de Sylow de G; en utilisant la question m) et le préliminaire 11 du chapitre théorique, obtenir un résultat qui contredit la question l).

o) Soit G un groupe d'ordre 720. Prouver que les 3-sous-groupes de Sylow de G sont isomorphes à
Indication : utiliser la question m); puis, si un 3-sous-groupe de Sylow de G est cyclique, lui appliquer le problème 1 (préliminaire 1 du chapitre théorique); en déduire un résultat qui contredit la question n).

p) À l'aide des questions l), m) et o) et d'une conséquence qu'un théorème démontré dans le chapitre théorique permet d'en tirer, prouver qu'il n'y a pas de groupe simple d'ordre 720.

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]