Leçons de niveau 14

Théorie des groupes/Groupes nilpotents

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Groupes nilpotents
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Chapitre no 18
Leçon : Théorie des groupes
Chap. préc. :Groupes résolubles
Chap. suiv. :Groupes commutatifs finis, 1

Exercices :

Groupes nilpotents
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Théorie des groupes/Groupes nilpotents
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Suite centrale descendante[modifier | modifier le wikicode]

Début d'un lemme
Fin du lemme

Démonstration. Notons l'homomorphisme canonique de G sur G/K. Dire que l'image canonique de H dans G/K est contenue dans le centre de G/K revient à dire que tout élément de commute avec tout élément de G/K, autrement dit que . Or, comme et est un homomorphisme de groupes de noyau K, on a les équivalences suivantes :

Ceci prouve donc le résultat annoncé.

Soient G un groupe et K un sous-groupe normal de G. Bien que ce ne soit pas une expression standard, on dira ici qu'un sous-groupe H de G est central dans G modulo K si l'image canonique de H dans G/K est contenue dans le centre de G/K, ce qui, d’après le lemme qui précède, revient à dire que [G, H] est contenu dans K.



Démonstration. Récurrence sur n, en tenant compte que si A, B, C et D sont des sous-groupes de G, si A est sous-groupe de B et C sous-groupe de D, alors [A, C] est sous-groupe de [B, D].


Démonstration. Il s'agit de prouver que, pour tout n ≥ 1, Cn+1(G) ⊆ Cn(G). C'est évident si n = 1. Supposons que ce soit vrai pour un nombre naturel n et prouvons que c’est vrai pour n + 1. Par hypothèse de récurrence, Cn+1(G) ⊆ Cn(G). Nous avons vu au chapitre Commutateurs, groupes dérivés que si A, A', B et B' sont des sous-groupes de G tels qu'A ⊆ A' et B ⊆ B', alors [A, B] ⊆ [A', B']. En faisant A = A' = G, B = Cn+1(G) et B' = Cn(G), nous trouvons [G, Cn+1(G)] ⊆ [G, Cn(G)], autrement dit Cn+2(G) ⊆ Cn+1(G), d'où la démonstration par récurrence sur n.


Début d’un théorème
Fin du théorème


Démonstration. La première assertion est banale si n = 1. Supposons qu'elle soit vraie pour un nombre naturel n et prouvons qu'elle reste vraie si on remplace n par n + 1. Nous avons vu dans le chapitre Commutateurs, groupe dérivé que si A et B sont des sous-groupes de , alors l'image de [A, B] par f est [f(A), f(B)]. En faisant , nous trouvons

Par hypothèse de récurrence, nous avons , donc (1) peut s'écrire

d'où, par définition de la suite centrale descendante,

ce qui prouve la première assertion de l'énoncé.

En appliquant la règle A ⊆ A' ⇒ Cn(A) ⊆ Cn(A') aux sous-groupes A = f(G1) et A' = G2, nous trouvons

ce qui, d’après la première assertion de l'énoncé, peut s'écrire

ce qui prouve la seconde assertion de l'énoncé.

Si f est surjectif, nous pouvons remplacer f(G1) par G2 dans la première assertion de l'énoncé, ce qui prouve que, dans ce cas, l'inclusion (2) est une égalité.


Démonstration. Dans le théorème précédent, faisons G1 = G2 = G. Nous trouvons que est stable par tout endomorphisme de G, donc est caractéristique dans G.

Remarque. Du fait que est distingué dans G, on tire facilement que [G, Cn(G)] est contenu dans Cn(G), autrement dit que Cn+1(G) est contenu dans Cn(G). C'est une autre façon de prouver que la suite centrale descendante est décroissante.

Démonstration. Dans le lemme 1, faire H = Cn(G) et K = Cn+1(G).

Démonstration. Cela résulte de la proposition précédente, puisque tout sous-groupe du centre d'un groupe est commutatif.

Début d'un lemme
Fin du lemme


Démonstration. Prouvons que Cn(G) ⊆ Gn. C'est banal si n = 1. Supposons que ce soit vrai pour un nombre naturel n et prouvons que cela reste vrai si on remplace n par n + 1. Par hypothèse de récurrence,

,

d'où

c'est-à-dire

Par hypothèse de l'énoncé, [G, Gn] est contenu dans Gn+1. Le second membre de (2) est donc contenu dans Gn+1, d'où Cn+1(G) ⊆ Gn+1, ce qui prouve la relation Cn(G) ⊆ Gn par récurrence sur n.
Prouvons maintenant que, pour tout n, Gn est distingué dans G. Puisque la suite des Gn est décroissante, l'hypothèse [G, Gn] ⊆ Gn+1 entraîne [G, Gn] ⊆ Gn, ce qui équivaut (chapitre Commutateurs, groupe dérivé) à dire que Gn est distingué dans G.

Groupes nilpotents[modifier | modifier le wikicode]


Début d’un théorème
Fin du théorème


Démonstration. Si 1) est vraie, 2) l'est avec Gi = Ci(G). Réciproquement, supposons 2) vraie et prouvons 1). D'après le lemme 2, Ci(G) ⊆ Gi pour tout i. C'est vrai en particulier pour i = n + 1, donc Cn+1(G) ⊆ Gn+1. Par l'hypothèse 2), le second membre est réduit à l'élément neutre, donc Cn+1(G) = 1, donc 1) est vraie.

Remarques.

1) Si G est un groupe nilpotent de classe n, la suite finie est évidemment strictement décroissante. (Si on avait pour un certain , n - i applications successives de aux deux membres donneraient Cn(G) = Cn+1(G), d'où Cn(G) = 1, ce qui contredit la minimalité de n.)

2) Un groupe est nilpotent de classe 0 si et seulement s'il est réduit à l'élément neutre.

3) Un groupe est nilpotent de classe 1 si et seulement s'il est commutatif et non réduit à l'élément neutre. Tout groupe commutatif est nilpotent.

4) Tout groupe nilpotent de classe n est résoluble de classe ≤ n. En effet, on montre facilement par récurrence sur n que Dn(G) ⊆ Cn+1(G) pour tout n ≥ 0. (En fait, on prouvera dans les compléments du présent chapitre que tout groupe nilpotent de classe ≤ 2n - 1 est résoluble de classe ≤ n.)

5) La remarque 4) montre que la classe de résolubilité d'un groupe nilpotent peut être majorée en fonction de sa classe de nilpotence. Nous verrons dans les exercices que la classe de nilpotence d'un groupe nilpotent ne peut pas être majorée en fonction de sa classe de résolubilité.

6) Nous verrons plus loin qu'un groupe résoluble n’est pas forcément nilpotent (exemple de S3).

7) Soit f un homomorphisme d'un groupe G1 dans un groupe G2. Nous avons vu que pour tout n, f(Cn(G1)) est égal à Cn(f(G1)). Il en résulte que si f est un homomorphisme partant d’un groupe G nilpotent de classe n, alors f(G) est nilpotent de classe ≤ n. En particulier, si H est un sous-groupe distingué de G, si G est nilpotent de classe n, alors G/H est nilpotent de classe ≤ n. (Considérer l'homomorphisme canonique de G sur G/H.)

8) En appliquant la remarque 7) à un isomorphisme f et à l'isomorphisme réciproque, on voit que si G est un groupe nilpotent de classe n, tout groupe isomorphe à G est nilpotent de classe n.

9) Nous avons vu que si H est un sous-groupe d'un groupe G, Cn(H) est contenu dans Cn(G) pour tout n. Donc si G est un groupe nilpotent de classe n, tout sous-groupe de G est nilpotent de classe ≤ n.

10) Le théorème d’après lequel, si G est un groupe et H un sous-groupe distingué de G, si H et G/H sont résolubles, alors G est résoluble, ne s'étend pas aux groupes nilpotents, en ce sens qu'un groupe G peut avoir un sous-groupe distingué H nilpotent tel que G/H soit nilpotent sans que G soit nilpotent. Par exemple, si G = S3, si H = A3, alors H et G/H sont respectivement d'ordre 3 et 2, donc sont commutatifs, donc sont nilpotents, mais nous verrons que G = S3 n’est pas nilpotent.

11) Le produit direct d'un groupe nilpotent de classe p et d'un groupe nilpotent de classe q est nilpotent de classe r, où r désigne le plus grand des deux nombres p et q. (Voir exercices.)

Démonstration. Pour tout i, posons Hi = H ⋂ Ci(G). Puisque C1(G) = G, que Cn+1(G) =1 et que la suite des Ci(G) est décroissante, nous avons

H = H1 ⊇ H2 ⊇ ... ⊇ Hn+1 = 1.

Reste à prouver que si 1 ≤ i ≤ n, alors [G, Hi] ⊆ Hi+1. Puisque H est distingué dans G, [G, H] est contenu dans H. Puisque Hi est contenu dans H, il en résulte que [G, Hi] est contenu dans H. D'autre part, puisque Hi est contenu dans Ci(G), [G, Hi] est contenu dans [G, Ci(G)], c'est-à-dire dans Ci+1(G). Ainsi, [G, Hi] est contenu à la fois dans H et dans Ci+1(G), donc il est contenu dans leur intersection Hi+1, ce qui achève la démonstration.

Début d’un théorème
Fin du théorème


Démonstration. D'après la proposition précédente, il existe une suite de sous-groupes

H = H1 ⊇ H2 ⊇ ... ⊇ Hn+1 = 1,

telle que [G, Hi] ⊆ Hi+1 pour tout i (1 ≤ i ≤ n). Puisque H n’est pas réduit à l'élément neutre, il y a au moins un indice i (1 ≤ i ≤ n), à savoir i = 1, tel que Hi soit distinct de 1. Soit k le plus grand de ces indices. Alors k < n + 1, Hk ⊋ 1 et Hk+1 = 1. Puisque [G, Hi] ⊆ Hi+1 pour tout i, nous avons en particulier [G, Hk] ⊆ Hk+1 = 1, ce qui montre que Hk est contenu dans Z(G) et donc dans H ⋂ Z(G). Puisque Hk ⊋ 1, H ⋂ Z(G) n'est donc pas réduit à l'élément neutre.

Remarque. Si dans le théorème qui précède, on omet l'hypothèse selon laquelle H est normal dans G, l'énoncé devient inexact. On en verra un exemple dans les exercices de la série Groupes diédraux.

Début d’un théorème
Fin du théorème

Démonstration. Il suffit de faire H = G dans le théorème précédent. Toutefois, comme la démonstration se simplifie un peu si H = G, on va la refaire dans ce cas particulier. Soit G un groupe nilpotent non réduit à l'élément neutre, soit n sa classe de nilpotence. Puisque G n’est pas réduit à l'élément neutre, n > 0, donc nous pouvons parler de Cn(G). D'après la remarque 1), Cn(G) > Cn+1(G), donc Cn(G) n’est pas réduit à l'élément neutre. D'autre part, d’après une proposition ci-dessus, Cn(G)/Cn+1(G), c'est-à-dire Cn(G)/{1}, est contenu dans le centre de G/Cn+1(G) = G/{1}, ce qui revient à dire que Cn(G) est contenu dans le centre de G. Nous avons donc montré que Cn(G) n’est pas réduit à l'élément neutre et est contenu dans le centre de G, donc le centre de G n’est pas réduit à l'élément neutre.

Remarque. Nous avons vu que S3 est résoluble, mais nous avons vu aussi que son centre est réduit à l'élément neutre, donc d’après le précédent théorème, S3 n’est pas nilpotent. Cela montre qu'un groupe résoluble n’est pas forcément nilpotent.

Début d’un théorème
Fin du théorème


Démonstration. Si G est nilpotent, G/Z(G) est nilpotent d’après une des remarques ci-dessus. Réciproquement, supposons G/Z(G) nilpotent et prouvons que G est nilpotent. Nous pouvons évidemment supposer que G n’est pas réduit à l'élément neutre. Dans ce cas, prouvons, plus précisément, que si G/Z(G) est nilpotent de classe n, G est nilpotent de classe n + 1.

Nous avons Cn+1(G/Z(G)) = 1 et Cn(G/Z(G)) > 1. Si nous désignons par φ l'homomorphisme canonique de G sur G/Z(G), cela s'écrit Cn+1(φ(G)) = 1 et Cn(φ(G)) > 1. D'après une des remarques ci-dessus, cela peut s'écrire φ(Cn+1(G)) = 1 et φ(Cn(G)) > 1, autrement dit Cn+1(G) ⊆ Z(G) et Cn(G) ⊈ Z(G). De la première de ces relations résulte [G, Cn+1(G)] = 1 et de la seconde [G, Cn(G)] ⊋ 1. Autrement dit, Cn+2(G) = 1 et Cn+1(G) ⊋ 1, donc G est nilpotent de classe n + 1, ce qui achève la démonstration.

Démonstration. Supposons la condition a) satisfaite et prouvons que b) l'est. C'est banal si G est réduit à l'élément neutre. Dans le cas contraire, il résulte du théorème précédent que G/Z(G) est nilpotent de classe ≤ n – 1, donc b) est vraie avec H = Z(G). (Remarque : on pourrait aussi prendre H = Cn(G). Voir exercices.)

Réciproquement, supposons b) et prouvons a). D'après une remarque précédente, il résulte de b) que le quotient (G/H)/(Z(G)/H) est nilpotent de classe ≤ n – 1. D'après le troisième théorème d'isomorphisme (chapitre Sous-groupe distingué et groupe quotient), (G/H)/(Z(G)/H) est isomorphe à G/Z(G), donc G/Z(G) est nilpotent de classe ≤ n – 1, donc, d’après le théorème précédent, G est nilpotent de classe ≤ n. (Autre justification : du fait que G/H est nilpotent de classe ≤ n – 1 résulte Cn(G/H) = 1, ou encore, si φ désigne l'homomorphisme canonique de G sur G/H, Cn(φ(G)) = 1, ce qui, d’après une remarque ci-dessus, peut s'écrire φ(Cn(G)) = 1, autrement dit Cn(G) ⊆ H, d'où, puisque H est contenu dans le centre de G, [G, Cn(G)] = 1, c'est-à-dire Cn+1(G) = 1, donc G est nilpotent de classe ≤ n.)

Début d'un lemme
Fin du lemme

Démonstration. Désignons par p l'homomorphisme canonique de G sur G/K. Dire que L est central dans G modulo K signifie que p(L) est contenu dans le centre de p(G). De façon générale, si S est un groupe, si C est un sous-groupe de S contenu dans le centre de S, si T est un sous-groupe de S, alors C normalise T et CT/T est commutatif. (Ce dernier fait résulte de ce que, d’après le second théorème d'isomorphisme, CT/T est isomorphe à un quotient du groupe commutatif C.) Donc

(1) p(L) normalise p(H)

et

(2) p(L) p(H)/p(H) est commutatif.

D'après (1), p(H) est normal dans ⟨p(L), p(H)⟩, c'est-à-dire dans p(⟨L, H⟩). Puisque H et ⟨L, H⟩ contiennent K, il résulte du théorème de correspondance que H est normal dans ⟨L, H⟩. Donc L normalise H et LH est un sous-groupe de G. D'après (2), p(LH)/p(H) est commutatif, autrement dit (LH/K)/(H/K) est commutatif. D'après le troisième théorème d'isomorphisme, il en résulte que LH/H est commutatif.

Démonstration. Pour tout i (1 ≤ i ≤ n+1), Ci(G) est un sous-groupe distingué de G, donc HCi(G) est un sous-groupe de G. Posons Hi = HCi(G). Il est clair que la séquence des Hi est décroissante. Pour i ≤ n, Ci(G) est central dans G modulo Ci+1(G), donc, d’après le lemme qui précède, Ci(G) normalise Hi+1 et Ci(G) Hi+1/ Hi+1 est commutatif. Comme Ci(G) Hi+1 égale Hi, l'énoncé en résulte.

Démonstration. D'après la proposition précédente, il existe une suite de sous-groupes

G = H1 ⊇ H2 ⊇ ... ⊇ Hn+1 = H,

telle que pour tout i (1 ≤ i ≤ n), Hi+1 soit distingué dans Hi. (Nous n'avons pas besoin ici de savoir que les quotients sont commutatifs.) Il existe au moins un indice i (à savoir i = 1) tel que Hi soit distinct de H. Considérons le plus grand de ces indices i. Alors H est sous-groupe distingué de Hi, donc NG(H) contient Hi. Puisque Hi ⊋ H, on a donc bien NG(H) ⊋ H.

La proposition qui suit dit trois fois la même chose sous des fomes différentes.

Démonstration. Prouvons l'assertion a). D'après une proposition précédente, il existe une suite de sous-groupes

G = H1 ⊇ H2 ⊇ ... ⊇ Hn+1 = H,

telle que pour tout i (1 ≤ i ≤ n), Hi+1 soit distingué dans Hi et Hi/Hi+1 commutatif. Il existe au moins un indice i (à savoir n + 1) tel que Hi soit distinct de G. Soit i le plus petit de ces indices. Alors i > 1 et Hi-1 = G, donc Hi convient pour N.

Prouvons l'assertion b). Si N est comme en a), alors, puisque G/N est commutatif, N contient D(G). Puisque N contient aussi H, N contient donc H D(G). Puisque N est sous-groupe propre de G, H D(G) est donc sous-groupe propre de G.

Prouvons l'assertion c). Dire que X ∪ D(G) engendre G revient à dire que ⟨X⟩D(G) = G, donc d’après b), ⟨X⟩ n’est pas sous-groupe propre de G.

Démonstration. D'après la proposition précédente, il existe un sous-groupe distingué N de G, distinct de G et contenant M, tel que G/N soit commutatif. Puisque M est maximal, N doit être égal à M, donc M est sous-groupe distingué de G et G/M est commutatif. Du fait que M est maximal résulte que le groupe quotient G/M est simple (voir section Sous-groupes d’un groupe quotient dans le chapitre Sous-groupe distingué et groupe quotient). Ainsi, G/M est simple et commutatif, donc est cyclique d'ordre premier.

Remarque. Un groupe fini non réduit à l'élément neutre admet toujours au moins un sous-groupe maximal (considérer un sous-groupe propre du plus grand ordre possible), mais ce n’est pas forcément le cas pour un groupe infini. Par exemple, il résulte du théorème précédent que si G est un groupe commutatif (et donc nilpotent) qui n'a pas d’autre sous-groupe d'indice fini que lui-même, alors G n'a pas de sous-groupe maximal. Or il existe de tels groupes G, par exemple le groupe additif Q des nombres rationnels. (Si H est un sous-groupe d'indice n de ce groupe, nx appartient à H pour tout nombre rationnel x. Comme tout nombre rationnel y est de la forme nx pour un nombre rationnel x, H est égal à Q tout entier.)

Groupes nilpotents finis[modifier | modifier le wikicode]


Début d'un lemme
Fin du lemme

Démonstration. On sait que le nombre d'éléments d'une orbite divise toujours l’ordre de G. Puisque G est un p-groupe, il en résulte que le cardinal d'une orbite non ponctuelle est de la forme pn avec n > 0, donc les cardinaux des orbites non ponctuelles sont divisibles par p. Comme X est la réunion des orbites et que les orbites sont deux à deux disjointes, la réunion des orbites non ponctuelles a donc un cardinal congru modulo p au cardinal de X. Comme la réunion des orbites ponctuelles est l’ensemble des points fixes, l'énoncé en résulte.


Début d'un lemme
Fin du lemme

Démonstration. Faisons opérer G sur son ensemble sous-jacent par conjugaison. D'après le lemme précédent, le nombre des points fixes pour cette opération est congru modulo p à l’ordre de G. D'après les hypothèses, il existe un nombre premier tel que l’ordre de G soit de la forme pn, avec n ≥ 1, donc l’ordre de G est divisible par p. Ainsi, le nombre des points fixes pour l'opération considérée est divisible par p. Ces points fixes sont les éléments du centre de G, donc l’ordre du centre de G est divisible par p et, en particulier, n’est pas égal à 1. Le centre de G n'est donc pas réduit à l'élément neutre.

Démonstration. Soit p un nombre premier. Il s'agit de prouver que pour tout nombre naturel n, tout groupe fini d'ordre pn est nilpotent. Supposons que ce soit vrai pour tout nombre naturel < n et prouvons que c’est vrai pour n. C'est banalement vrai si n = 0, donc nous pouvons supposer n ≥ 1. Soit G un groupe d'ordre pn. D'après le lemme qui précède, le centre Z(G) n’est pas réduit à l'élément neutre, donc l’ordre de G/Z(G) est de la forme pi avec i < n. Par hypothèse de récurrence, G/Z(G) est nilpotent. D'après un précédent théorème, il en résulte que G est nilpotent.

Remarque. On trouvera un énoncé un peu plus précis en exercice.

Démonstration. Soit P un sous-groupe de Sylow de G. Désignons par N le normalisateur NG(P). Il s'agit de prouver que N est G tout entier. D'après un théorème vu au chapitre Théorèmes de Sylow, N est son propre normalisateur dans G. Or nous avons vu dans le présent chapitre que, dans un groupe nilpotent, un sous-groupe propre n’est pas son propre normalisateur. Donc N n’est pas sous-groupe propre de G, ce qui prouve notre argument.


Démonstration. Soient p1, ... pn les facteurs premiers de l’ordre de G. Il résulte de la proposition précédente que, pour chaque i (1 ≤ in), G admet un seul pi-sous-groupe de Sylow, soit Pi, et que ce sous-groupe est distingué dans G. Les ordres des Pi sont premiers entre eux deux à deux et le produit de ces ordres est égal à l’ordre de G. D'après un énoncé démontré au chapitre Produit de groupes, G est donc produit direct des Pi, c'est-à-dire de ses sous-groupes de Sylow.

Démonstration. Si un groupe fini est nilpotent, il est produit direct de ses sous-groupes de Sylow d’après la proposition précédente. Comme l’ordre d'un sous-groupe de Sylow est une puissance de nombre premier, G est donc produit direct de groupes dont les ordres sont des puissances de nombres premiers. Réciproquement, supposons qu'un groupe fini G soit produit direct de groupes Hi dont les ordres sont des puissances de nombres premiers. D'après un des énoncés qui précèdent, chaque Hi est nilpotent, donc G est un produit direct de groupes nilpotents. Or, comme démontré dans un des exercices de ce chapitre, le produit direct d'une famille finie de groupes nilpotents est nilpotent, donc G est nilpotent.

Compléments[modifier | modifier le wikicode]

La présente section peut être omise en première lecture.

Groupes nilpotents de classe ≤ 2[modifier | modifier le wikicode]

Un groupe G est nilpotent de classe ≤ 2 si et seulement si le dérivé de G est contenu dans le centre de G, ce qui revient à dire que pour tous éléments x, y de G, le commutateur [x, y] = x-1y-1xy appartient au centre de G. Avec la notation az = z-1az pour a et z dans G, G est nilpotent de classe ≤ 2 si et seulement si [x, y]z = [x, y] pour tous éléments x, y, z de G. Soit G un groupe nilpotent de classe ≤ 2. Les identités

et

vraies dans tout groupe, deviennent dans G

et

Donc si a est un élément de G, l'application fa : x ↦ [a, x] et l'application ga : x ↦ [x, a] sont des endomorphismes de G. On a donc

et

pour tous éléments x, y de G et tout entier rationnel r.

De ces relations et du fait que les commutateurs d'éléments de G appartiennent au centre de G, on déduit la relation

(1)

pour tous éléments x, y de G et tout entier naturel n. Cette formule peut être démontrée directement par récurrence sur n, ou encore déduite de l'identité suivante, vraie dans tout groupe :

La formule (1) sert par exemple dans la détermination de la structure des groupes hamiltoniens[1].

Classe de résolubilité et classe de nilpotence[modifier | modifier le wikicode]

Nous avons vu plus haut que la classe de résolubilité d'un groupe nilpotent est inférieure ou égale à sa classe de nilpotence. L'objet de la présente section est de donner une majoration plus forte de la classe de résolubilté d'un groupe nilpotent en fonction de sa classe de nilpotence.

Début d'un lemme
Fin du lemme

Démonstration. On raisonne par récurrence sur j. Pour j = 1, la thèse résulte immédiatement de la définition de la suite centrale descendante. Supposons (hypothèse de récurrence) que, pour un certain j ≥ 1, on ait

[Ci(G), Cj(G)] ≤ Ci+j(G) pour tout i ≥ 1.

D'après le corollaire du théorème des trois sous-groupes,

[ [Cj(G), G], Ci(G)] ≤ [ [G, Ci(G)], Cj(G)] [ [Ci(G), Cj(G)], G],

c'est-à-dire

[Cj+1(G), Ci(G)] ≤ [Ci+1(G), Cj(G)] [ [Ci(G), Cj(G)], G].

D'après l'hypothèse de récurrence, chacun des deux facteurs du second membre est contenu dans le groupe Ci+j+1(G), donc

[Ci(G), Cj+1(G)] ≤ Ci+j+1(G),

ce qui démontre la thèse par récurrence sur j.

Remarque. Dans l'énoncé, l'inégalité (inclusion) ne peut pas être remplacée par l'égalité. On en verra un exemple dans les exercices sur les groupes diédraux.

Début d'un lemme
Fin du lemme

Démonstration. On raisonne par récurrence sur i. Pour i = 1, la thèse signifie Cj(G) ≤ Cj(G), ce qui est banalement vrai. Supposons (hypothèse de récurrence) que, pour un certain i ≥ 1, on ait

Ci(Cj(G)) ≤ Cij(G) pour tout j ≥ 1.

Nous avons

Ci+1(Cj(G)) = [Ci(Cj(G)), Cj(G)],

d'où, d’après l'hypothèse de récurrence,

(1) Ci+1(Cj(G)) ≤ [Cij(G), Cj(G)].

D'après le lemme précédent, le second membre est contenu dans Cij+j(G), autrement dit dans C(i+1)j(G). On en déduit

Ci+1(Cj(G)) ≤ C(i+1)j(G),

ce qui démontre la thèse par récurrence sur i.

Début d'un lemme
Fin du lemme

Démonstration. Pour i = 0, les deux membres de la thèse sont égaux à G, donc la thèse est banalement vraie dans ce cas. Supposons (hypothèse de récurrence) que, pour un certain nombre naturel i, on ait

.

Alors

Par définition de la suite dérivée, le premier membre est égal à et, d’après le premier des deux lemmes qui précèdent, le second membre est contenu dans Donc

ce qui démontre la thèse par récurrence sur i.

Début d’un théorème
Fin du théorème


Démonstration. Si G est un groupe nilpotent de classe ≤ 2n - 1, alors , donc, d’après le lemme qui précède, Dn(G) = 1, donc G est résoluble de classe ≤ n.

Suite centrale descendante et produit tensoriel[modifier | modifier le wikicode]

Dans cette section, on suppose que le lecteur possède les notions classiques sur le produit tensoriel d'une famille de A-modules, A étant un anneau commutatif.

G étant un groupe et n un entier naturel ≥ 1, désignons par Fn(G) le groupe quotient Cn(G)/Cn+1(G). En particulier, F1(G) est égal à G/D(G), autrement dit à l'abélianisé de G. On va montrer que la connaissance du groupe F1(G) fournit à elle seule des renseignements sur les autres groupes Fn(G).

On a vu que les quotients Fn(G) sont des groupes abéliens. Ils peuvent donc être considérés comme des ℤ-modules. On va s'intéresser aux produits tensoriels de ces modules. Quand, dans ce chapitre, on parlera du produit tensoriel d'une famille finie de groupes abéliens, il s'agira de leur produit tensoriel comme ℤ-modules. Les lois de groupe des modules considérés sont induites par la loi de groupe de G; c’est pourquoi, bien que la loi de groupe d'un module soit en général notée additivement, nous garderons ici la notion multiplicative.

Début d'un lemme
Fin du lemme

Démonstration. D'après la huitième des identités démontrées dans la section Compléments du chapitre Commutateurs, groupe dérivé, nous avons

Puisque [x, z] appartient à Cn+1(G), [ [x, z], y] appartient à Cn+2(G), d'où la première assertion de l'énoncé.
D'après la sixième des identités démontrées dans la section Compléments du chapitre Commutateurs, groupe dérivé, nous avons

​ Puisque [b, a] appartient à Cn+1(G), [c, [b, a] ] appartient à Cn+2(G), donc
La seconde assertion de l'énoncé en résulte, puisque [a, b] et [a, c] appartiennent à Cn+1(G) et que le groupe quotient Cn+1(G)/Cn+2(G) est commutatif.

Début d'un lemme
Fin du lemme


Démonstration. Commençons par prouver l'existence.
Soient a et a' deux éléments de Cn(G) congrus entre eux modulo Cn+1(G), soit b un élément de G; prouvons que
.
Nous avons a' = ax avec x dans Cn+1(G), d'où [a', b] = [ax, b]. Puisque a et x appartiennent tous deux à Cn(G), ceci entraîne, en vertu du lemme qui précède,

Puisque x appartient à Cn+1(G), [x, b] appartient à Cn+2(G), donc
.
comme annoncé.
Soient maintenant a un élément de Cn(G) et b, b' deux éléments de G congrus ente eux modulo C2(G); prouvons que .
Nous avons b' = by avec y dans C2(G), d'où [a, b'] = [a, by]. Puisque a appartient à Cn(G), ceci entraîne, en vertu du lemme qui précède,

Puisque a appartient à Cn(G) et y à C2(G), [a, y] appartient à Cn+2(G) d’après un lemme démontré dans la section Classe de résolubilité et classe de nilpotence. Donc
.
On tire facilement des deux résultats obtenus qu’il existe une application telle que dans l'énoncé. Cette application est clairement unique. Le fait qu'elle soit ℤ-bilinéaire se déduit immédiatement du lemme qui précède.

Début d’un théorème
Fin du théorème


Démonstration. D'après le lemme qui précède, il existe une (et une seule) application bilinéaire de Fn(G) × F1(G) dans Fn+1(G) qui, pour tout élément a de Cn(G) et tout élément b de G, envoie le couple (aCn+1(G), b C2(G) ) sur [a, b] Cn+2(G). En vertu de la propriété universelle du produit tensoriel, il existe donc une et une seule application linéaire du produit tensoriel dans Fn+1(G) qui, pour tout élément a de Cn(G) et tout élément b de G, envoie sur [a, b]Cn+2(G). Puisque les éléments de la forme [a, b] Cn+2(G) engendrent Fn+1(G), cette application linéaire est un homomorphisme surjectif. Ceci prouve la première assertion de l'énoncé.
Tirons-en la seconde assertion de l'énoncé par récurrence sur n. Elle est banalement vraie pour n = 1. Supposons qu'elle soit vraie pour un certain n. Il existe donc un homomorphisme surjectif gn de sur Fn. On sait que si M1, N1, M2 et N2 sont des modules sur un même annean commuatif, si f1 est un homomorphisme de M1 dans N1 et f2 est un homomorphisme de M2 dans N2, il existe un (et un seul) homomorphisme :

qui, pour tout élément a de M1 et tout élément b de M1, envoie sur . Si f1 et f2 sont surjectifs, alors, puisque les éléments de la forme engendrent , l'homomorphisme f est surjectif. En appliquant ceci au cas où , , , f1 = gn et où f2 est l'automorphisme identité de F1(G), nous trouvons que est image homomorphe de  :

D'après la première assertion de l'énoncé, il en résulte que est image homomorphe de , lequel, comme on sait, est isomorphe à . Donc est image homomorphe de , ce qui prouve la seconde assertion de l'énoncé par récurrence sur n.

Il résulte du théorème de Robinson que la structure du premier des quotients de la suite centrale descendante de G, c'est-à-dire la structure de l'abélianisé de G, fournit des renseignements sur la structure des autres quotients. C'est intéressant en particulier si G est nilpotent, comme le montre le critère suivant, qui se déduit immédiatement du théorème de Robinson :

Début d’un théorème
Fin du théorème


Avant d'appliquer ceci à la propriété « est un groupe fini », démontrons un lemme sur les produits tensoriels.

Début d'un lemme
Fin du lemme

Démonstration. On peut se limite à deux modules M et N, l' « associativité » du produit tensoriel permettant de passer au cas général. Soient donc M et N deux A-modules finis. Le produit tensoriel est engendré comme groupe par les éléments , avec a dans M et b dans N. Ces éléments sont en nombre fini. Ils sont de plus d'ordres finis, par exemple parce que chaque élément de M est d'ordre fini. Ainsi, le groupe est engendré par un nombre fini d'éléments d'ordre fini. Puisque ce groupe est commutatif, il est donc fini. (Voir un problème de la série Groupes résolubles.)

De ce lemme et du critère de Robinson, on déduit le théorème qui suit :

Début d’un théorème
Fin du théorème


Si G est un groupe, considérons l’ensemble des entiers rationnels n tels que pour tout élément x de G, on ait xn = 1. Cet ensemble est clairement un sous-groupe de ℤ et est donc de la forme e ℤ pour un certain nombre naturel e, déterminé de façon unique. Nous appellerons e l'exposant[3] de G. On peut le caractériser de la façon suivante :
1° si 0 est le seul entier naturel n tel que pour tout élément x de G, on ait xn = 1, alors l'exposant de G est 0;
2° dans le cas contraire, c'est-à-dire s'il existe au moins un entier naturel non nul n tel que pour tout élément x de G, on ait xn = 1, alors l'exposant de G est le plus petit de ces entiers naturels non nuls.

De la première définition de l'exposant de G, on déduit que pour un entier rationnel n, les deux conditions suivantes sont équivalentes :
1° pour tout élément x de G, on a xn = 1;
n est divisible par l'exposant de G.

Un groupe est appelé un groupe de torsion si chacun de ses éléments est d'ordre fini. Tout groupe d'exposant non nul est un groupe de torsion, mais un groupe de torsion n’est pas forcément un groupe d'exposant non nul (prendre la somme directe des groupes ℤ/nℤ, où n parcourt les entiers naturels non nuls).

Si un groupe H est image homomorphe d'un groupe G, l'exposant de H divise l'exposant de G. (En effet, le sous-groupe de ℤ formé par les n tels que xn = 1 pour tout élément x de G est contenu dans le sous-groupe de ℤ formé par les r tels que yr = 1 pour tout élément y de H; donc le générateur naturel du premier de ces deux sous-groupes est multiple du générateur naturel du second.)

Début d'un lemme
Fin du lemme

Démonstration. Tout élément d'un tel groupe est de la forme x = x1 ... xn, où xid = 1. Vu la commutativité, on a alors xd = x1d ... xnd = 1.

Début d'un lemme
Fin du lemme

Démonstration. Le produit tensoriel est engendré (comme groupe) par les éléments de la forme . Si, pour chaque i, ei désigne l'exposant de Gi, nous avons donc le produit tensoriel est engendré par des éléments dont les ordres divisent ei. L'énoncé résulte donc du lemme qui précède.

Début d’un théorème
Fin du théorème

Démonstration. Désignons par e l'exposant de G/D(G). Soit n un nombe naturel ≥ 1. D'après le théorème de Robinson, Cn(G)/ Cn+1(G) est image homomorphe du produit tensoriel de n groupes abéliens égaux à G/D(G). D'après une remarque faite plus haut, il en résulte que l'exposant de Cn(G)/ Cn+1(G) divise l'exposant du produit tensoriel en question. D'après le lemme qui précède, l'exposant du produit tensoriel divise e, donc l'exposant de Cn(G)/ Cn+1(G) divise e.

Début d’un théorème
Fin du théorème

Démonstration. Il résulte du théorème précédent que pour tout nombre naturel n ≥ 1, l'exposant de Cn(G)/ Cn+1(G) divise e. Pour tout élément x de G, on a donc , puis etc. et finalement , c'est-à-dire d'où l'énoncé.

Début d’un théorème
Fin du théorème

Démonstration. Les images des xi par l’application canonique de G sur G/D(G) engendrent G/D(G), sont en nombre fini et sont d'ordres finis dans G/D(G). Or, comme on l'a rappelé dans une précédente démonstration, un groupe commutatif engendré par un nombre fini d'éléments d'ordres finis est fini. Donc G/D(G) est fini. D'après un précédent théorème, il en résulte que G est fini. De plus, les ordres des images canoniques des xi divisent tous e, donc, d’après un précédent lemme, relatif aux groupes abéliens, l'exposant de G/D(G) divise e. D'après le théorème qui précède, l'exposant de G divise donc ec.

Démonstration. Appliquer le théorème précédent au groupe <a, b> (sous-groupe de G engendré par a et b), qui est nilpotent de classe ≤ c.

On a vu (exercices de la série Groupes monogènes, ordre d'un élément, problème Ordre du composé de deux éléments commutant entre eux) que les éléments d'ordre fini d'un groupe abélien G forment un sous-groupe de G. Le théorème suivant montre que cela s'étend aux groupes nilpotents.

Début d’un théorème
Fin du théorème

Démonstration. Le fait que T et Tp soient des sous-groupes de G résulte du corollaire qui précède. Il est clair que Tp est contenu dans T. On sait que l’ordre de l'image homomorphe d'un élément x est un élément dont l’ordre divise celui de x, donc T est stable par tout endomorphisme de G et Tp est stable par tout endomorphisme de T. En particulier, T est caractéristique dans G et Tp est caractéristique dans T, d'où aussi dans G.
Prouvons que T est somme restreinte des Tp.
Soit H un sous-groupe de type fini de T. D'après un exercice de la série Produit de groupes, il suffit de prouver que H est somme restreinte des H ⋂ Tp. Puisque H est un groupe de torsion nilpotent et de type fini, il résulte d'un précédent théorème que H est fini. Soit p un nombre premier. D'après ce que nous avons vu sur les groupes nilpotents finis, H n'a qu'un p-sous-groupe de Sylow, qui est donc égal à l’ensemble des éléments de H dont les ordres sont des puissances de p. Autrement dit, l'unique p-sous-groupe de Sylow de H est H ⋂ Tp. Nous avons vu aussi qu'un groupe nilpotent fini est produit direct de ses sous-groupes de Sylow, donc H est somme restreinte des H ⋂ Tp, ce qui, comme nous l'avons vu, prouve que T est somme restreinte des Tp.


Dans les exercices, on démontre quelques résultats de cette sous-section en évitant d’utiliser la notion de produit tensoriel.

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. Voir D.J.S. Robinson, A Course in the Theory of Groups, seconde édition, 1996, p. 143-145.
  2. D. J. S. Robinson, « A property of the lower central series of a group », Mathematische Zeitung, vol. 107, 1968, p. 225-231. Référence donnée dans J. C. Lennox et D. J. S. Robinson, The Theory of Infinite Soluble Groups, Oxford University Press, 2004, réimpr. 2010, p. 10 et 322.
  3. Cette définition est conforme à Hans J. Zassenhaus, The Theory of Groups, 2e édition, 1958, réimpression Dover, 1999, p. 108. La plupart des auteurs définissent l'exposant de G comme étant infini dans le cas où, selon notre définition, il est nul.