Leçons de niveau 13

Théorie des groupes/Exercices/Sous-groupes caractéristiques

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Sous-groupes caractéristiques
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Exercices no11
Leçon : Théorie des groupes
Chapitre du cours : Sous-groupes caractéristiques

Exercices de niveau 13.

Exo préc. :Théorèmes de Sylow
Exo suiv. :Groupes symétriques finis
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Théorie des groupes/Exercices/Sous-groupes caractéristiques
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Problème 1[modifier | modifier le wikicode]

Soient H un groupe non commutatif et K un sous-groupe commutatif de H non contenu dans le centre de H. Puisque K est sous-groupe de H, il est clair que pour tout élément (x, y) de , (1,x) appartient lui aussi à . Il est clair aussi que l’application f : est un endomorphisme de . Montrer que le centre de n’est pas stable pour cet endomorphisme, c’est -à-dire que

.

En déduire que le centre d'un groupe n’est pas forcément stable pour tout endomorphisme de ce groupe[1], ce qui montre qu'un sous-groupe caractéristique n’est pas forcément stable pour tout endomorphisme.

Problème 2 (facile)[modifier | modifier le wikicode]

Soient G un groupe fini et p un nombre premier. On a vu dans les exercices de la série Théorèmes de Sylow que l'intersection des p-sous-groupes de Sylow de G et l'intersection des normalisateurs de ces sous-groupes dans G sont des sous-groupes normaux de G. Prouver que ce sont des sous-groupes caractéristiques de G.

Références[modifier | modifier le wikicode]

  1. Pour ce dernier énoncé, voir N. Bourbaki, Algèbre, ch I, § 5, exerc. 22, Paris, 1970, p. 53 et 132.