Leçons de niveau 13

Théorie des groupes/Exercices/Sous-groupes caractéristiques

Une page de Wikiversité.
Aller à la navigation Aller à la recherche
Sous-groupes caractéristiques
Image logo représentative de la faculté
Exercices no11
Leçon : Théorie des groupes
Chapitre du cours : Sous-groupes caractéristiques

Exercices de niveau 13.

Exo préc. :Théorèmes de Sylow
Exo suiv. :Groupes symétriques finis
Icon falscher Titel.svg
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Sous-groupes caractéristiques
Théorie des groupes/Exercices/Sous-groupes caractéristiques
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.




Problème 1[modifier | modifier le wikicode]

Soient H un groupe non commutatif et K un sous-groupe commutatif de H non contenu dans le centre de H. Puisque K est sous-groupe de H, il est clair que pour tout élément (x, y) de , (1,x) appartient lui aussi à . Il est clair aussi que l’application f : est un endomorphisme de . Montrer que le centre de n’est pas stable pour cet endomorphisme, c’est -à-dire que

.

En déduire que le centre d'un groupe n’est pas forcément stable pour tout endomorphisme de ce groupe[1], ce qui montre qu'un sous-groupe caractéristique n’est pas forcément stable pour tout endomorphisme.

Problème 2[modifier | modifier le wikicode]

Soient G un groupe fini et p un nombre premier. On a vu dans les exercices de la série Théorèmes de Sylow que l'intersection des p-sous-groupes de Sylow de G et l'intersection des normalisateurs de ces sous-groupes dans G sont des sous-groupes normaux de G. Prouver que ce sont des sous-groupes caractéristiques de G.

Problème 3[modifier | modifier le wikicode]

Soient G un groupe et K un sous-groupe caractéristique de G.
a) Prouver que pour tout automorphisme de G, il existe un et un seul automorphisme de G/K qui, pour tout élément de G, applique l'élément gK de G/K sur l'élément de G/K.

b) Pour tout automorphisme de G, on désigne, comme dans la solution du point a), par l'unique automorphisme de G/K qui, pour tout élément de G, applique l'élément gK de G/K sur l'élément de G/K. Prouver que l'application

est un homomorphisme de Aut(G) dans Aut(G/K).

Remarque. Cet exercice nous servira dans un (futur) chapitre sur le sous-groupe de Frattini.

Références[modifier | modifier le wikicode]

  1. Pour ce dernier énoncé, voir N. Bourbaki, Algèbre, ch I, § 5, exerc. 22, Paris, 1970, p. 53 et 132.