Théorie des groupes/Exercices/Produit en couronne

Problème 1 (facile)

Soient X et Y des ensembles. Pour tout élément $\eta$ de S_X et tout élément y de Y, on définit $\eta _{Y,y}$ comme dans le chapitre théorique. Prouver que, pour tout élément y de Y, $\eta \mapsto \eta _{Y,y}$ définit un homomorphisme injectif du groupe S_X dans le groupe S _{X × Y}. (C'est le lemme 1 du chapitre théorique.)

Solution

Soient $\gamma ,\delta$ des éléments de S_X, soient $y,y'$ deux différents éléments de Y. Nous avons d'une part

$(\gamma \delta )_{Y,y}(x,y)=((\gamma \delta )(x),y)$

$(\gamma \delta )_{Y,y}(x,y)=(\gamma (\delta x),y)$

$(\gamma \delta )_{Y,y}(x,y)=\gamma _{Y,y}(\delta x,y)$

(1) $(\gamma \delta )_{Y,y}(x,y)=\gamma _{Y,y}(\delta _{Y,y}(x,y))$

et d'autre part

$(\gamma \delta )_{Y,y}(x,y')=(x,y')$

$(\gamma \delta )_{Y,y}(x,y')=\gamma _{Y,y}(x,y')$

(2) $(\gamma \delta )_{Y,y}(x,y')=\gamma _{Y,y}(\delta _{Y,y}(x,y'))$

Les résultats (1) et (2) montrent que

$(\gamma \delta )_{Y,y}=\gamma _{Y,y}\circ \delta _{Y,y},$

donc $\eta \mapsto \eta _{Y,y}$ définit un homomorphisme du groupe S_X dans le groupe S _{X × Y}.

Prouvons que cet homomorphisme est injectif.
Si $\eta$ appartient au noyau de cet homomorphisme, alors

$\eta _{Y,y}(x,y)=(x,y)$ pour tout x dans X.

Par définition de $\eta _{Y,y},$ le premier membre égale $(\eta x,y).$ Nous avons donc $\eta x=x$ pour tout x dans X, autrement dit $\eta =\mathrm {id} _{X}$, ce qui prouve que, comme annoncé, l'homomorphisme $\eta \mapsto \eta _{Y,y}$ du groupe S_X dans le groupe S _{X × Y} est injectif.

 

Problème 2 (facile)

Soient X et Y des ensembles, X étant non vide. Pour tout élément $\kappa$ de S_Y, on définit $\kappa _{X}^{*}$ comme dans le chapitre théorique. Prouver que $\kappa \mapsto \kappa _{X}^{*}$ définit un homomorphisme injectif du groupe S_Y dans le groupe S _{X × Y}. (C'est le lemme 2 du chapitre théorique.)

Solution

Soient $\kappa$ et $\lambda$ des éléments de S_Y, soit $(x,y)\in X\times Y.$ Alors

$(\kappa \lambda )_{X}^{*}(x,y)=(x,(\kappa \lambda )y)$

$(\kappa \lambda )_{X}^{*}(x,y)=(x,\kappa (\lambda y))$

$(\kappa \lambda )_{X}^{*}(x,y)=\kappa _{X}^{*}(x,\lambda y)$

$(\kappa \lambda )_{X}^{*}(x,y)=\kappa _{X}^{*}(\lambda _{X}^{*}(x,y)),$

donc

$(\kappa \lambda )_{X}^{*}=\kappa _{X}^{*}\circ \lambda _{X}^{*},$

ce qui montre que $\kappa \mapsto \kappa _{X}^{*}$ définit un homomorphisme du groupe S_Y dans le groupe S _{X × Y}.

Prouvons que cet homomorphisme est injectif.
Si $\kappa$ appartient au noyau de cet homomorphisme, alors

$\kappa _{X}^{*}(x,y)=(x,y)$ pour tout $(x,y)\in X\times Y.$

Par définition de $\kappa _{X}^{*}$, cela signifie que

$(x,\kappa y)=(x,y)$ pour tout x dans X et tout ydans Y.

Puisque X est supposé non vide, cela entraîne $\kappa y=y$ pour tout y dans Y, autrement dit $\kappa =\mathrm {id} _{Y},$ ce qui prouve que, comme annoncé, l'homomorphisme $\kappa \mapsto \kappa _{X}^{*}$ du groupe S_Y dans le groupe S _{X × Y} est injectif.

 

Problème 3

On a prouvé dans le chapitre théorique que pour tout nombre naturel n et tout nombre premier p,

$v_{p}(n!)=[n/p]+[n/p^{2}]+[n/p^{3}]+\cdots$

où $v_{p}(r)$ désigne l'exposant de p dans la décomposition du nombre naturel non nul r et où la somme du second membre s'arrête dès qu'un terme est nul. Donner une autre démonstration, en raisonnant par récurrence sur n.

Solution

L'assertion étant banale pour n = 0, on peut supposer n > 0.
Par définition de $v_{p}$, $v_{p}(n!)$ est l'exposant de p dans le produit $1\cdot 2\cdots (n-1)\cdot n.$ On peut faire abstraction des facteurs non divisibles par p, donc $v_{p}(n!)$ est l'exposant de p dans $(1p)(2p)\ldots ([{\frac {n}{p}}]p),$ c'est-à-dire dans

$p^{[n/p]}(1\cdot 2\cdots [{\frac {n}{p}}])=p^{[n/p]}[{\frac {n}{p}}]!$

Donc

(1) $v_{p}(n!)=[{\frac {n}{p}}]+v_{p}([{\frac {n}{p}}]!).$

Puisque n est supposé non nul, nous avons $[{\frac {n}{p}}]<n$, donc, par hypothèse de récurrence,

$v_{p}([{\frac {n}{p}}]!)=[{\frac {[{\frac {n}{p}}]}{p}}]+[{\frac {[{\frac {n}{p}}]}{p^{2}}}]+\cdots$

donc (1) peut s'écrire

(2) $v_{p}(n!)=[{\frac {n}{p}}]+[{\frac {[{\frac {n}{p}}]}{p}}]+[{\frac {[{\frac {n}{p}}]}{p^{2}}}]+\cdots$

Prouvons que, pour tout nombre naturel s,

(thèse 3) $[{\frac {[{\frac {n}{p}}]}{p^{s}}}]=[{\frac {n}{p^{s+1}}}].$

Plus généralement, prouvons que si n est un nombre naturel et a, b des nombres naturels non nuls, alors

(thèse 4) $[{\frac {[{\frac {n}{a}}]}{b}}]=[{\frac {n}{ab}}].$

Le premier membre est le plus grand nombre naturel t tel que $bt\leq [{\frac {n}{a}}],$ c'est-à-dire le plus grand nombre naturel ttel que $bt\leq n/a,$ autrement dit tel que $t\leq n/ab$, d'où la thèse (4) et en particulier la thèse (3). En portant (3) dans (2), nous obtenons l'énoncé.