Leçons de niveau 13

Théorie des groupes/Exercices/Produit en couronne

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Produit en couronne
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Exercices no36
Leçon : Théorie des groupes
Chapitre du cours : Produit en couronne

Exercices de niveau 13.

Exo préc. :Intermède : groupes simples d'ordre 360
Exo suiv. :Théorème de Maschke
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Théorie des groupes/Exercices/Produit en couronne
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Problème 1 (facile)[modifier | modifier le wikicode]

Soient X et Y des ensembles. Pour tout élément de SX et tout élément y de Y, on définit comme dans le chapitre théorique. Prouver que, pour tout élément y de Y, définit un homomorphisme injectif du groupe SX dans le groupe S X × Y. (C'est le lemme 1 du chapitre théorique.)

Problème 2 (facile)[modifier | modifier le wikicode]

Soient X et Y des ensembles, X étant non vide. Pour tout élément de SY, on définit comme dans le chapitre théorique. Prouver que définit un homomorphisme injectif du groupe SY dans le groupe S X × Y. (C'est le lemme 2 du chapitre théorique.)


Problème 3[modifier | modifier le wikicode]

On a prouvé dans le chapitre théorique que pour tout nombre naturel n et tout nombre premier p,

désigne l'exposant de p dans la décomposition du nombre naturel non nul r et où la somme du second membre s'arrête dès qu'un terme est nul. Donner une autre démonstration, en raisonnant par récurrence sur n.