Leçons de niveau 14

Théorie des groupes/Intermède : groupes simples d'ordre 360

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Intermède : groupes simples d'ordre 360
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Chapitre no 35
Leçon : Théorie des groupes
Chap. préc. :Intermède : groupes simples d'ordre 168
Chap. suiv. :Produit en couronne

Exercices :

Intermède : groupes simples d'ordre 360
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Théorie des groupes/Intermède : groupes simples d'ordre 360
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L'objet de ce chapitre est de prouver que tous les groupes simples d'ordre 360 sont isomorphes entre eux. Ils sont donc isomorphes au groupe alterné A6 et au groupe (groupe linéaire spécial projectif d'un espace vectoriel de dimension 2 sur un corps à 9 éléments), puisque ces deux groupes sont simples et d'ordre 360. Ce n'est pas une matière classique, le lecteur peut donc omettre ce chapitre. La démonstration donnée ici est une variante de la démonstration originale de F.N. Cole[1], légèrement renforcée de façon à nous permettre de prouver dans les exercices qu'il n'y a pas de groupe simple d'ordre 720. La longueur du chapitre ne doit pas effrayer : on a voulu expliciter certaines parties relativement faciles que les auteurs laissent d'habitude au lecteur.

Notation[modifier | modifier le wikicode]

Pour un nombre naturel , on notera la permutation identique de l'ensemble

Préliminaires[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème
Fin du théorème
Début d'une démonstration
Fin de la démonstration
Début d’un théorème
Fin du théorème
Début d'une démonstration
Fin de la démonstration
Début d’un théorème
Fin du théorème


Début d'une démonstration
Fin de la démonstration
Début d’un théorème
Fin du théorème
Début d'une démonstration
Fin de la démonstration
Début d’un théorème
Fin du théorème
Début d'une démonstration
Fin de la démonstration
Début d’un théorème
Fin du théorème
Début d'une démonstration
Fin de la démonstration
Début d’un théorème
Fin du théorème

Démonstration. Utiliser les préliminaires 3, 5 et 6.

Début d’un théorème
Fin du théorème
Début d'une démonstration
Fin de la démonstration
Début d’un théorème
Fin du théorème
Début d'une démonstration
Fin de la démonstration
Début d’un théorème
Fin du théorème
Début d'une démonstration
Fin de la démonstration
Début d’un théorème
Fin du théorème
Début d'une démonstration
Fin de la démonstration
Début d’un théorème
Fin du théorème
Début d'une démonstration
Fin de la démonstration
Début d’un théorème
Fin du théorème
Début d'une démonstration
Fin de la démonstration

Démonstration du théorème de Cole[modifier | modifier le wikicode]

Après ces préliminaires qui ne concernent pas directement les groupes simples d'ordre 360, nous allons maintenant démontrer, par étapes numérotées, le théorème annoncé au début du chapitre.


Nous ne savons pas encore si les groupes coléens existent. Nous verrons plus loin que c'est bien le cas, mais nous allons d'abord démontrer des propriétés que les groupes coléens, s'ils existent, doivent nécessairement posséder.

Début d’un théorème
Fin du théorème
Début d'une démonstration
Fin de la démonstration
Début d’un théorème
Fin du théorème
Début d'une démonstration
Fin de la démonstration


Début d’un théorème
Fin du théorème
Début d'une démonstration
Fin de la démonstration
Début d’un théorème
Fin du théorème
Début d'une démonstration
Fin de la démonstration


Début d’un théorème
Fin du théorème
Début d'une démonstration
Fin de la démonstration
Début d’un théorème
Fin du théorème


Début d'une démonstration
Fin de la démonstration
Début d’un théorème
Fin du théorème


Début d'une démonstration
Fin de la démonstration
Début d’un théorème
Fin du théorème
Début d'une démonstration
Fin de la démonstration
Début d’un théorème
Fin du théorème
Début d'une démonstration
Fin de la démonstration
Début d’un théorème
Fin du théorème
Début d'une démonstration
Fin de la démonstration
Début d’un théorème
Fin du théorème
Début d'une démonstration
Fin de la démonstration
Début d’un théorème
Fin du théorème
Début d'une démonstration
Fin de la démonstration
Début d’un théorème
Fin du théorème
Début d'une démonstration
Fin de la démonstration
Début d’un théorème
Fin du théorème
Début d'une démonstration
Fin de la démonstration
Début d’un théorème
Fin du théorème
Début d'une démonstration
Fin de la démonstration
Début d’un théorème
Fin du théorème
Début d'une démonstration
Fin de la démonstration
Début d’un théorème
Fin du théorème
Début d'une démonstration
Fin de la démonstration

Le point 3° de l'étape 17 est le théorème de Cole annoncé au début du chapitre. Le point 2° nous permettra de prouver dans les exercices qu'il n'y a pas de groupe simple d'ordre 720.

Remarque. Il existe une autre démonstration du théorème de Cole, reposant sur la théorie des caractère des groupes finis[2].

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. F.N. Cole, « Simple Groups as far as Order 660 », American Journal of Mathematics, vol. 15, n° 4 (octobre 1893), p. 303-315, consultable en ligne sur le site Jstor.
  2. Cette démonstration à l'aide des caractères est donnée dans I. Martin Isaacs, Character Theory of Finite Groups, réimpression corrigée, Dover, 1994, théorème 5.20, p. 70-72.