Théorie des groupes/Intermède : groupes simples d'ordre 360
L'objet de ce chapitre est de prouver que tous les groupes simples d'ordre 360 sont isomorphes entre eux. Ils sont donc isomorphes au groupe alterné A6 et au groupe (groupe linéaire spécial projectif d'un espace vectoriel de dimension 2 sur un corps à 9 éléments), puisque ces deux groupes sont simples et d'ordre 360. Ce n'est pas une matière classique, le lecteur peut donc omettre ce chapitre. La démonstration donnée ici est une variante de la démonstration originale de F.N. Cole[1], légèrement renforcée de façon à nous permettre de prouver dans les exercices qu'il n'y a pas de groupe simple d'ordre 720. La longueur du chapitre ne doit pas effrayer : on a voulu expliciter certaines parties relativement faciles que les auteurs laissent d'habitude au lecteur.
Notation
[modifier | modifier le wikicode]Pour un nombre naturel , on notera la permutation identique de l'ensemble
Préliminaires
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a) pour tout p-sous-groupe de Sylow P du groupe opérant G, il existe un et un seul point de qui est fixé par tout élément de P;
b) pour tout point x de , il existe un et un seul p-sous-groupe de Sylow P du groupe opérant G tel que tout élément de P fixe x;
c) si P est un p-sous-groupe de Sylow du groupe opérant G, si x désigne l'unique point de fixé par tout élément de P (voir propriété a)), le stabilisateur de x dans le groupe opérant G est NG(P);
d) si on suppose de plus que deux différents p-sous-groupes de G se coupent toujours trivialement, alors tout élément de G \ {1} dont l'ordre est une puissance de p fixe un et un seul point de .a) pour tout p-sous-groupe de Sylow P de , il existe un et un seul point de qui est fixé par tout élément de P;
b) pour tout point x de , il existe un et un seul p-sous-groupe de Sylow P de tel que tout élément de P fixe x;
c) si P est un p-sous-groupe de Sylow de G, si x désigne l'unique point de fixé par tout élément de P (voir propriété a)), le stabilisateur de x dans le groupe G est NG(P);
d) si on suppose de plus que deux différents p-sous-groupes de G se coupent toujours trivialement, alors tout élément de dont l'ordre est une puissance de p fixe un et un seul point deDémonstration. Utiliser les préliminaires 3, 5 et 6.
- (i) chaque élément de (où désigne la permutation identique de l'ensemble ) a pour structure cyclique complète 3-3-3-1 (autrement dit est d'ordre 3 et a un unique point fixe);
- (ii) tous les éléments de ont le même point fixe. (On pourrait prouver que la condition (ii) est entraînée par la condition (i), mais cela ne nous servira pas.)
Soient et deux éléments de qui ne soient ni égaux ni inverses l'un de l'autre. (Autrement dit, )
- (1) ait dans sa décomposition canonique le cycle (k, l, m)
et que
- ait dans sa décomposition canonique ou bien le cycle (k l n) ou bien le cycle (l k n). (On ne dit pas que m et n soient distincts.)
- (i) chaque élément de (où désigne la permutation identique de l'ensemble ) a pour structure cyclique complète 3-3-3-1 (autrement dit est d'ordre 3 et a un unique point fixe);
- (ii) tous les éléments de ont le même point fixe.
Soient et deux éléments de qui ne soient ni égaux ni inverses l'un de l'autre.
Soit j l'unique élément de {1, 2, ... , 10} fixé par tous les éléments de P. (L'existence et l'unicité de j résulte des hypothèses de l'énoncé.)
Soit a un élément de {1, 2, ... , 10} \ {j}. (D'après les hypothèses de l'énoncé, a n'est fixé par aucun élément de .)
Désignons par (a b c) le 3-cycle déplaçant a qui apparaît dans la décomposition canonique de et par (a e i) le 3-cycle déplaçant a apparaissant dans la décomposition de .
Alors
- 1° ;
- 2° il existe une énumération {d, f, g, h} de {1, 2, ... , 10} \ {a, b, c, e, i, j} telle que
- = (a b c) (d e f) (g h i)
et
- = (a e i) (b f g) (c d h);
(La seconde décomposition s'obtient à partir de la première de la façon suivante : pour former le n-ième 3-cycle de la seconde écriture (), on écrit d'abord l'élément qui est en n-ième position dans le premier cycle de la première écriture, puis l'élément qui est en (n+1)-ième position dans le second cycle, puis l'élément qui est en (n+2)-ième position dans le troisième cycle, n+1 et n+2 étant calculés modulo 3.)
- 3° les huit éléments de sont alors (avec et )
- = (a b c) (d e f) (g h i)
- = (a e i) (b f g) (c d h)
- = (a f h) (e g c) (i b d)
- = (a g d) (f c i) (h e b)
- = (a c b) (g i h) (d f e)
- = (a i e) (c h d) (b g f)
- = (a h f) (i d b) (e c g)
- = (a d g) (h b e) (f i c)
- (1)
pour une certaine énumération de De même, la décomposition canonique de en cycles est de la forme
- (2)
pour une certaine énumération de
(Les 9 éléments de apparaissent dans chacune des deux décompositions.)
D'après (1), et appartiennent au support du 3-cycle , qui apparaît dans la décomposition canonique de en cycles. Donc, d'après le préliminaire 12 et le fait que, d'après (2), la décomposition canonique de en cycles comporte le cycle (a, e, i),
- (3) et sont distincts de et de ,
ce qui démontre le point 1° de l'énoncé.
D'autre part, d'après (1),
- (4) et sont distincts de
D'après les hypothèses de l'énoncé, et ont le même support, donc et , qui appartiennent au support de , appartiennent au support de
Dès lors, d'après (2), (3) et (4), appartient à un des deux ensembles , et appartient lui aussi à un de ces deux ensembles.
Si et appartenaient tous deux à un même de ces deux ensembles, il y aurait un cycle apparaissant dans la décomposition de dont le support aurait deux éléments communs avec le support du cycle apparaissant dans la décomposition canonique de , ce qui est contraire au préliminaire 12. Donc appartient à un des deux ensembles , et appartient à l'autre. Quitte à changer les notations, nous pouvons mettre (2) sous la forme
- (5)
En échangeant les rôles de et de dans les raisonnements qui précèdent, nous voyons que la relation (1) peut s'écrire
- (6)
Le groupe P, étant d'ordre 9, est abélien, donc et commutent. Or, d'après (5) et (6), applique sur et applique sur . Donc v = f, donc (5) peut s'écrire
- (7)
D'après (6) et (7), applique sur et applique sur , donc et (7) peut être mise sous la forme
- (8)
D'après (6) et (8), applique sur et applique sur , donc , donc (8) peut s'écrire
- (9)
Comme et ont le même support, la comparaison de (6) et de (9) donne , donc (9) peut s'écrire
- (10)
Les relations (6) et (10, à savoir
et
prouvent le point 2° de l'énoncé.
Pour démontrer le point 3° de l'énoncé, on pourrait calculer les permutations , avec , et non tous deux nuls, et voir que ce sont les permutations énumérées au point 3° de l'énoncé. Voici une autre façon de procéder.
La façon dont sont définis dans le point 3° de l'énoncé montre qu'il existe huit 9-uplets
tels que
- 1° pour chaque dans ,
- (11)
- 2° pour chaque dans
- (12)
Pour tout , l'écriture de se déduit de celle de comme celle de se déduit de celle de , donc
- (13).
De (11), (12) et (13) résulte, pour tout ,
- ,
Démonstration du théorème de Cole
[modifier | modifier le wikicode]Après ces préliminaires qui ne concernent pas directement les groupes simples d'ordre 360, nous allons maintenant démontrer, par étapes numérotées, le théorème annoncé au début du chapitre.
a) G est un groupe simple fini dont les 3-sous-groupes de Sylow sont isomorphes à ; en particulier, l'ordre de G est divisible par 9 et non par 27;
b) les 3-sous-groupes de Sylow de G sont en nombre 10;
c) les 3-sous-groupes de Sylow de G se coupent trivialement deux à deux.
Nous ne savons pas encore si les groupes coléens existent. Nous verrons plus loin que c'est bien le cas, mais nous allons d'abord démontrer des propriétés que les groupes coléens, s'ils existent, doivent nécessairement posséder.
- (1) est divisible par 10.
En particulier,
- (2) G est d'ordre composé (ce qui, G étant supposé simple, revient à dire que G est non abélien).
D'après (1), est d'ordre pair. Or, par exemple d'après un théorème démontré dans le chapitre Transfert, théorème du complément normal de Burnside, un groupe simple fini non abélien d'ordre pair est toujours d'ordre divisible par 4, donc
- (3) est divisible par 4.
- (hyp. 1)H ait plusieurs sous-groupes d'ordre 9.
Il s'agit de prouver que H est égal à G.
Puisque G est un groupe coléen, la plus grande puissance de 3 divisant est 9, donc
- (2)les sous-groupes de Sylow d'ordre 9 de H sont les 3-sous-groupes de Sylow de H.
Donc l'hypothèse (1) revient à dire que
- (3) a plusieurs 3-sous-groupes de Sylow.
D'autre part, puisque, par définition d'un groupe coléen, les sous-groupes d'ordre 9 de G se coupent trivialement deux à deux, il résulte de (2) que les 3-sous-groupes de Sylow de H se coupent trivialement deux à deux. Dès lors, d'après un théorème qu'on a appelé « congruence de Sylow à module renforcé » dans les exercices sur le chapitre Théorèmes de Sylow,
- le nombre des 3-sous-groupes de Sylow de H est congru à 1 modulo 9.
Donc, d'après (3),
- (4)H a au moins dix 3-sous-groupes de Sylow.
Mais les 3-sous-groupes de Sylow de H sont d'ordre 9 et sont donc des 3-sous-groupes de Sylow de G, donc, puisque G n'a que dix 3-sous-groupes de Sylow (par définition d'un groupe coléen), il résulte de (4) que
- (5)H contient tous les 3-sous-groupes de Sylow de G.
- 1° pour tout 3-sous-groupe de Sylow P de G (autrement dit pour tout sous-groupe P d'ordre 9 de G), il existe un et un seul élément de qui est fixé par tout élément de P;
- 2° pour tout élément de , il existe un et un seul 3-sous-groupe de Sylow P de G dont tous les éléments fixent ;
- 3° si P est un 3-sous-groupe de Sylow de G, si désigne l'unique élément de fixé par tout élément de P (voir point 1°), le stabilisateur de pour l'opération naturelle de G sur est ;
- 4° tout élément d'ordre 3 de G fixe un et un seul élément de , autrement dit tout élément d'ordre 3 de G a pour structure cyclique complète 3-3-3-1.
Si les éléments de sont énumérés comme dans l'énoncé du préliminaire 13, alors
- = (b c) (d g) (e i) (f h).
- (0)les huit éléments de peuvent être énumérés comme suit :
- = (a b c) (d e f) (g h i)
- = (a e i) (b f g) (c d h)
- = (a f h) (e g c) (i b d)
- = (a g d) (f c i) (h e b)
- = (a c b) (g i h) (d f e)
- = (a i e) (c h d) (b g f)
- = (a h f) (i d b) (e c g)
- = (a d g) (h b e) (f i c)
Cette énumération montre que l'opération naturelle de sur {1, 2, ... , 10} \ {j} est transitive. (Chaque élément de est dans la même orbite que .) A fortiori,
- (1)l'opération naturelle de sur est transitive.
(D'après un exercice de la série Opérations transitives, plusieurs fois transitives et primitives, il en résulte que l'action de G sur est doublement transitive, mais cela ne nous servira pas.)
Puisque l'indice du stabilisateur d'un point dans le groupe opérant est toujours égal au cardinal de l'orbite de ce point (voir chapitre Action de groupe), il résulte de (1) que
- (2) le stabilisateur du point pour l'opération naturelle de sur est d'indice 9 dans .
D'autre part, par définition d'un groupe coléen, les 3-sous-groupes de Sylow de G sont en nombre 10, donc
- (3) est d'indice 10 dans G.
De plus, d'après l'étape 1, est divisible par 4. Donc, d'après (3), est pair, donc, d'après (2),
- (4)le stabilisateur du point pour l'opération naturelle de sur est d'ordre pair et comprend donc (au moins) un élément d'ordre 2.
On va prouver que
- (thèse 5)cet élément d'ordre 2 est unique,
ce qui revient à dire qu'il y a un et un seul élément d'ordre 2 de G qui fixe à la fois et
Soit un élément d'ordre 2 de fixant , autrement dit un élément d'ordre 2 de G fixant à la fois et .
Soit un des 8 éléments de Prouvons que si on note (a r s) le 3-cycle déplaçant qui apparaît dans la décomposition canonique de en cycles, alors
- (thèse 6)la transposition (r s) apparaît dans la décomposition canonique de en cycles.
Pj (étant normal dans ) est le seul 3-sous-groupe de Sylow de ; de plus, d'après l'étape 4, n'a pas d'élément d'ordre 6. Donc, d'après le préliminaire 10,
Cette relation peut s'écrire (avec dans chaque membre un produit de 3-cycles à supports disjoints)
d'où, puisque est supposée fixer ,
- , d'où
- et
Donc la décomposition canonique de en cycles comprend la transposition (r, s), ce qui prouve notre thèse (6).
Ainsi, dans la notation (0) des éléments de , les transpositions et apparaissent dans la décomposition canonique de en cycles. Puisque est supposée fixer et , on doit donc avoir
- (b c) (d g) (e i) (f h).
- 1° tout élément d'ordre 3 de G fixe un seul élément de ;
- 2° tout élément d'ordre 2 de G fixe exactement deux points de
Soit maintenant un élément d'ordre 2 de G. Puisque est une permutation paire d'ordre 2 d'un ensemble à 10 éléments, fixe au moins deux points. Choisissons deux points distincts et fixés par Dans les notations de l'étape 5, , donc, d'après l'étape 5, et sont les deux seuls points fixes de , ce qui prouve le point 2° de l'énoncé.
et
et que Q soit engendré par
et
- .
- (0)
D'après le préliminaire 13, il existe une énumération des éléments de telle que
- (1) les huit éléments de soient
D'après l'étape 5,
- (2) le seul élément d'ordre 2 de G qui fixe et est
En appliquant de nouveau le préliminaire 13 et l'étape 5, mais en échangeant les rôles de et , nous trouvons, compte tenu de (2), que
- (3)les décompositions canoniques des éléments de en produits de 3-cycles sont de la forme
Les cycles et ne sont ni égaux ni inverses l'un de l'autre, donc d'après le préliminaire 13 (où on remplace par , par et par ), il existe une énumération de telle que
et
Toujours d'après le préliminaire (13),
- (4) les éléments de sont
et leurs inverses.
Dès lors, et figurent parmi les huit permutations énumérées en (3). On a donc
- (5)ou bien ( {s, u} = {f, h} et {r, t} = {d, g} )
- ou bien ( {s, u} = {d, g} et {r, t} = {f, h} ).
Cas 1 : {s, u} = {f, h} et {r, t} = {d, g}.
Cas 1-1 : s = f, d'où u = h.
Alors, d'après (4),
- (6)
Cas 1-1-1 : s = f, u = h et r = d, d'où t = g.
Alors (6) s'écrit
donc, d'après (1), la décomposition canonique de en cycles est
- ,
ce qui est impossible puisque, comme rappelé à l'étape 6, un élément d'ordre 3 de G n'a qu'un point fixe.
Cas 1-1-2 : s = f, u = h et r = g, d'où t = d.
Alors (6) s'écrit
donc, d'après (1), la décomposition canonique de en cycles est
- ,
donc est d'ordre 6, ce qui contredit l'étape 4.
Nous avons donc prouvé que le cas 1-1 est impossible.
Cas 1-2 : s = h, d'où u = f, et toujours {r, t} = {d, g}.
Alors, d'après (4),
- (7)
Cas 1-2-1 : s = h, u = f, r = d, d'où t = g.
Alors (7) s'écrit
donc, d'après (1), la décomposition canonique de en cycles est
- ,
donc est d'ordre 6, ce qui contredit l'étape 4.
Nous avons donc prouvé que dans le cas 1-2, il faut
Cas 1-2-2 : s = h, u = f, r = g, d'où t = d.
Alors (7) s'écrit
- (8)
et, d'autre part, (4) donne
- (9)
Il en résulte que l'énoncé est vrai avec
En effet, on a alors
- d'après (1),
- d'après (1),
- d'après (9),
- d'après (8)
et de plus, et engendrent P (puisqu'ils ne sont ni égaux ni inverses l'un de l'autre) et, de même, et engendrent Q. L'énoncé est donc démontré dans le cas 1. D'après (5),
- il reste à démontrer l'énoncé dans le
- Cas 2 :
- (10) {s, u} = {d, g} et {t, r} = {f, h}.
Examinons d'abord le
- Cas 2 - 1 : s = d, d'où u = g.
Alors, d'après (4)
- (11)
- (12)
Rappelons que dans les hypothèses (10) du cas 2,
- (13)
Si r = f, d'où t = h, alors (11) donne
donc, d'après (1), la décomposition canonique de en cycles est
- ,
donc est un élément d'ordre 2 de G qui fixe 6 points, ce qui contredit l'étape 6.
Donc (dans le cas 2-1), , donc, d'après (13),
- r = h et t = f, d'où, d'après (11),
- (14)
et, d'après (12)
- (15)
L'énoncé est alors vrai avec
En effet, on a alors
- d'après (1),
- d'après (1),
- d'après (14),
- d'après (15)
et de plus, et engendrent P (puisqu'ils ne sont ni égaux ni inverses l'un de l'autre) et, de même, et engendrent Q. L'énoncé est donc vrai dans le cas 2-1. D'après (10), il reste à le démontrer dans le
- Cas 2-2 : s = g et u = d.
Alors, d'après (4)
- (16)
et
- (17)
Rappelons que d'après les hypothèses du cas (2),
- (18)
Si t = f, d'où r = h, alors, d'après (16),
- ,
donc, d'après (1), la décomposition canonique de
donc est un élément d'ordre 6 de G, ce qui contredit l'étape 4.
Donc donc, d'après (18), t = h et r = f, d'où, d'après (16),
- (19)
et, d'après (17)
- (20)
Il en résulte que l'énoncé est vrai dans ce cas avec
En effet, on a alors
- d'après (1),
- d'après (1),
- d'après (19),
- d'après (20)
et
D'après l'étape 7, il existe une énumération de telle que P soit engendré par
et
et que Q soit engendré par
et
- .
- (1)
- (2)
- (3)
et
- (4) .
- (thèse 1) tout groupe coléen propre est isomorphe au sous-groupe de A10 engendré par les permutations (1) à (4) de l'énoncé.
Soit donc G un groupe coléen propre. D'après l'étape 8, il existe une énumération de telle que G soit engendré par
- (5)
- (6)
- (7)
et
- (8) .
Il en résulte que G est un conjugué dans du sous-groupe de dont question dans l'énoncé. En voici une justification détaillée.
Puisque l'ordre de P et de Q est le carré d'un nombre premier, ces deux groupes sont commutatifs, donc ils sont tous deux contenus dans A fortiori,
- (1) P et Q sont tous deux contenus dans
Donc
- (2) contient au moins deux sous-groupes d'ordre 9.
Désignons par n le nombre des 3-sous-groupes de Sylow de Puisque 9 est la plus grande puissance de 3 qui divise et que, d'après 2, l'ordre de est divisible par 9, les 3-sous-groupes de Sylow de sont ses sous-groupes d'ordre 9. Donc notre résultat (2) signifie que n > 1. D'autre part, d'après les théorèmes de Sylow, n est congru à 1 modulo 3 et divise , lequel divise . Étant congru à 1 modulo 3, n est premier avec 3, donc, divisant 360, il divise 40.
Donc n est > 1, est congru à 1 modulo 3 et divise 40, ce qui n'est possible qu'avec n = 4, 10 ou 40. Si n est égal à 10 ou à 40, alors (puisqu'on a noté que n divise ) est divisible par 10. On a vu qu'il est également divisible par 9, donc il est divisible par 90, ce qui contredit l'étape 11 (compte tenu que ).
Donc n = 4, donc est divisible par 36. S'il n'est pas égal à 36, il est , ce qui contredit l'étape 11. Donc
- (3)
Puisque, d'après(2) a plus d'un 3-sous-groupe de Sylow, il n'a pas de 3-sous-groupe de Sylow normal, donc, d'après (3) et le préliminaire 9, il a un sous-groupe normal d'ordre 4, soit A. Puisque A est normal dans , est contenu dans , donc, d'après (3),
- (4) est divisible par 36.
- (thèse 1) G n'a pas d'élément d'ordre 6.
On va refaire des raisonnements déjà tenus dans la démonstration de l'étape 4.
Soit, par absurde,
- (hyp. 2) un élément d'ordre 6 de G.
Désignons par X l'ensemble des 3-sous-groupes de Sylow de G. D'après l'étape 13,
Puisque G est simple, l'homomorphisme de G dans qui applique l'élément de G sur la permutation est injectif et prend ses valeurs dans (voir le chapitre Premiers résultats sur les groupes simples), donc
- la permutation de X
Soit P un 3-sous-groupe de Sylow de G.
Supposons que, par absurde,
- (hyp. 1) P soit cyclique.
Alors, d'après le préliminaire 1,
- (2) divise 2.
D'autre part, d'après l'étape 13,
Donc, d'après (2), est pair, donc, d'après le théorème de Cauchy,
- comprend au moins un élément d'ordre 2, soit .
2° tout groupe coléen est isomorphe à ;
Puisque est un groupe simple d'ordre 360, il résulte du point 1° que est un groupe coléen, donc, d'après l'étape 9, tout groupe coléen est isomorphe à , ce qui démontre le point 2° de l'énoncé.
Le point 3° de l'étape 17 est le théorème de Cole annoncé au début du chapitre. Le point 2° nous permettra de prouver dans les exercices qu'il n'y a pas de groupe simple d'ordre 720.
Remarque. Il existe une autre démonstration du théorème de Cole, reposant sur la théorie des caractère des groupes finis[2].
Notes et références
[modifier | modifier le wikicode]- ↑ F.N. Cole, « Simple Groups as far as Order 660 », American Journal of Mathematics, vol. 15, n° 4 (octobre 1893), p. 303-315, consultable en ligne sur le site Jstor.
- ↑ Cette démonstration à l'aide des caractères est donnée dans I. Martin Isaacs, Character Theory of Finite Groups, réimpression corrigée, Dover, 1994, théorème 5.20, p. 70-72.