Leçons de niveau 15

Fonction génératrice/Exercices/Série génératrice d'une suite

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Série génératrice d'une suite
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Exercices no1
Leçon : Fonction génératrice
Chapitre du cours : Fonction génératrice d'une suite numérique

Ces exercices sont de niveau 15.

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Exo suiv. :Sommaire
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Fonction génératrice/Exercices/Série génératrice d'une suite
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Exercice 1-1[modifier | modifier le wikicode]

Calculer le carré de la série formelle , puis vérifier que son produit par est bien égal à .

Retrouver ce résultat par dérivation formelle.

Exercice 1-2[modifier | modifier le wikicode]

Soit la suite définie par et .

  1. On pose . Montrer que .
  2. Montrer que .
  3. En utilisant l'exercice précédent, en déduire une expression explicite de .
  4. La vérifier par récurrence.

Exercice 1-3[modifier | modifier le wikicode]

Reprendre la méthode précédente pour déterminer l’expression explicite du terme général de la suite définie par et .

Exercice 1-4[modifier | modifier le wikicode]

Wikipédia possède un article à propos de « Formule du binôme négatif ».

I) Pour tout entier , on pose :

.

Démontrer par récurrence, de deux façons, que  :

  1. en utilisant que  ;
  2. en utilisant que .

II) On considère la suite des polynômes de Tchebychev de seconde espèce,

(cf. Sommation/Exercices/Formule du binôme#Exercice 5-11). À l'aide de la question I, montrer que sa série génératrice,

, est égale à .

III) Pour tous entiers naturels m, n, en développant de deux façons , déduire de la question I que pour tout entier rm + n,

.

Pour une preuve combinatoire du III, voir la question II de Sommation/Exercices/Sommations plus compliquées#Exercice 7-1.

Exercice 1-5[modifier | modifier le wikicode]

Wikipédia possède un article à propos de « Formule du binôme généralisée ».

Cet exercice constitue la démonstration par Euler (en 1773) de la formule du binôme généralisée, dans le cas d'un exposant rationnel.

On définit (pour tout ) les coefficients binomiaux généralisés :

,

puis la série formelle

.

Pour tous réels (et tout ), on note le -ième coefficient de la série formelle produit  :

.
  1. Vérifier que si alors .
  2. Démontrer que est un polynôme en et (à coefficients rationnels).
  3. Déduire des deux questions précédentes que (pour tout ), donc .
  4. En déduire que , en commençant par traiter le cas .
Remarque
Si , d'après le critère de D'Alembert, le rayon de convergence de la série entière associée à est égal à .
Références 
  • Ranjan Roy, Sources in the Development of Mathematics: Series and Products from the Fifteenth to the Twenty-first Century, Cambridge University Press, 2011 [lire en ligne], chap.4.3 (« Euler's proof for rational indices »)  ;
  • L. Euler, « Demonstratio theorematis Neutoniani de evolutione potestatum binomii pro casibus, quibus exponentes non sunt numeri integri », Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae, vol. 19, 1775, p. 103-111 [texte intégral] (E465, présenté à l'Académie de Saint-Pétersbourg le 1er juillet 1773).
Cette preuve est moins bien expliquée sur xymaths.free.fr, et carrément comprise de travers par R. F. Muirhead, « Against Euler's proof of the binomial theorem for negative and fractional exponents », Proc. Edinburgh Math. Soc., vol. 17, 1898, p. 38-41 [lien DOI].