Leçons de niveau 13

Combinatoire/Exercices/Combinaisons

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Combinaisons
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Exercices no4
Leçon : Combinatoire
Chapitre du cours : Combinaisons sans répétition et Combinaisons avec répétition

Ces exercices sont de niveau 13.

Exo préc. :Permutations
Exo suiv. :Sommaire
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Combinatoire/Exercices/Combinaisons
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Exercice 4-1[modifier | modifier le wikicode]

Soient . Montrer les propriétés suivantes de deux façons : par le calcul et par un raisonnement combinatoire.

a)    ;

b)   et plus généralement, (identité de Vandermonde) ;

c)   puis  ;

d)    ;

e)   si , .

Exercice 4-2[modifier | modifier le wikicode]

Grâce à la question a) de l'exercice précédent, calculer :

.

Exercice 4-3[modifier | modifier le wikicode]

De combien de manières peut-on distribuer pièces de 1 euro :

  1. à enfants de sorte que chaque enfant ait au moins un euro ?
  2. à enfants ? (à présent, un enfant peut ne rien recevoir).
  3. à filles et garçons de sorte que chaque fille ait au moins un euro ?
  4. à filles et garçons de sorte que chaque fille ait au moins euros ?
  5. à filles et garçons de sorte que chaque fille ait exactement euros ?

Exercice 4-4[modifier | modifier le wikicode]

  1. Une urne contient boules distinctes et l'on veut sélectionner boules. Cette sélection peut se faire de quatre manières différentes (avec ou sans remise de la boule qui vient d'être tirée, en tenant compte ou non de l'ordre dans lequel les boules ont été sélectionnées). Compléter le tableau suivant en indiquant dans chaque cas le nombre de sélections possibles.
  2. Soient et . On considère les ensembles :
     ;
     ;
    .
    Vérifier que , , et remplissent les cases du tableau de la question 1.

Exercice 4-5[modifier | modifier le wikicode]

Soient . Combien existe-t-il de -uplets tels que  ?

Exercice 4-6[modifier | modifier le wikicode]

Soient . Combien existe-t-il de -uplets de somme tels que  ?

Exercice 4-7[modifier | modifier le wikicode]

Pour , on note le nombre de surjections de dans .

  1. Démontrer que .
  2. En déduire que .