Équation différentielle/Équation différentielle linéaire du deuxième ordre à coefficients variables
Équation différentielle linéaire du deuxième ordre avec second membre[modifier | modifier le wikicode]
Définition[modifier | modifier le wikicode]
On appelle équation différentielle linéaire du second ordre normalisée sur toute équation de la forme
où est un intervalle de et appartiennent à C⁰(I, K).
Théorème fondamental : existence et unicité[modifier | modifier le wikicode]
Si t₀ ∈ I et (x₀, x₁) ∈ K², l’équation
- (E) :
où ∈ C⁰ (I,K) possède une unique solution, définie sur , vérifiant la condition initiale :
- ;
- .
Ce théorème est démontré dans Calcul différentiel/Équations différentielles#Équations différentielles linéaires.
Équation homogène, résolution[modifier | modifier le wikicode]
Définition[modifier | modifier le wikicode]
On appelle équation homogène associée à l'équation différentielle (E) normalisée sur I l'équation
- .
Dimension de l'espace des solutions[modifier | modifier le wikicode]
Soit cet espace vectoriel. Fixons . L'application
est clairement linéaire, et elle est bijective d'après le théorème d'existence et d'unicité.
Par conséquent, c'est un isomorphisme donc .
Ainsi, on peut déterminer l’ensemble des solutions de en connaissant 2 solutions particulières et linéairement indépendantes.
Toute solution de s'écrit alors : .
Le wronskien[modifier | modifier le wikicode]
Si et sont deux solutions de , alors les propositions suivantes sont équivalentes :
- et sont linéairement indépendantes ;
- ;
- .
est immédiat, et résulte de l'isomorphisme mis en évidence au paragraphe précédent, pour arbitraire (ici, seule l'injectivité de cette application est utilisée, c'est-à-dire la partie « unicité » du théorème d'existence et d'unicité).
Faites ces exercices : Théorèmes de Sturm : étude qualitative. |
On peut aussi démontrer directement, en remarquant que .
donc , où est une primitive de . Si alors donc .
Résolution par changement de fonction, si l'on connait une solution particulière[modifier | modifier le wikicode]
Soit une solution particulière de , ne s'annulant pas sur I. Pour trouver une seconde solution linéairement indépendante, on réalise le changement de fonction :
- , avec z la seconde fonction à trouver, de classe C2.
On a alors :
- et .
En reportant dans , on obtient :
et comme est solution de , le terme en z s'annule, et il reste à déterminer z solution de
- ,
qui est une équation différentielle linéaire du premier ordre en z' normalisée sur I. On déduit ainsi z en intégrant z'.
Équation complète, résolution[modifier | modifier le wikicode]
L'ensemble des solutions d’une équation différentielle du second ordre normalisée sur I forme un espace affine , de dimension 2 avec l’ensemble des solutions de l'équation homogène, et une solution particulière de (E).
L'application est linéaire, car est une équation différentielle linéaire. L'équation différentielle devient alors : .
Soit y₀ une solution particulière de , on a alors .
Soit , car est linéaire.
On a donc : . De plus dim S = dim S₀ = 2.
À présent, on connait deux solutions particulières et de , linéairement indépendantes.
On sait que toute solution de se met sous la forme .
On applique alors la méthode de variation des deux constantes pour trouver une solution particulière de .