Leçons de niveau 14

Équation différentielle/Équation différentielle linéaire du deuxième ordre à coefficients variables

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Équation différentielle linéaire du deuxième ordre à coefficients variables
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Chapitre no 6
Leçon : Équation différentielle
Chap. préc. :Équation différentielle du premier ordre
Chap. suiv. :Sommaire

Exercices :

Équation différentielle linéaire du deuxième ordre à coefficients variables
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Équation différentielle/Équation différentielle linéaire du deuxième ordre à coefficients variables
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Équation différentielle linéaire du deuxième ordre avec second membre[modifier | modifier le wikicode]

Définition[modifier | modifier le wikicode]

Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Théorème fondamental : existence et unicité[modifier | modifier le wikicode]


Début d’un théorème
Fin du théorème


Ce théorème est démontré dans Calcul différentiel/Équations différentielles#Équations différentielles linéaires.

Équation homogène, résolution[modifier | modifier le wikicode]

Définition[modifier | modifier le wikicode]


Dimension de l'espace des solutions[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème
Fin du théorème

Ainsi, on peut déterminer l’ensemble des solutions de en connaissant 2 solutions particulières et linéairement indépendantes.

Toute solution de s'écrit alors : .

Le wronskien[modifier | modifier le wikicode]



Image logo représentative de la faculté Voir les exercices sur : Théorèmes de Sturm : étude qualitative.




Résolution par changement de fonction, si l'on connait une solution particulière[modifier | modifier le wikicode]

Soit une solution particulière de , ne s'annulant pas sur I. Pour trouver une seconde solution linéairement indépendante, on réalise le changement de fonction :

, avec z la seconde fonction à trouver, de classe C2.

On a alors :

et .

En reportant dans , on obtient :

et comme est solution de , le terme en z s'annule, et il reste à déterminer z solution de

,

qui est une équation différentielle linéaire du premier ordre en z' normalisée sur I. On déduit ainsi z en intégrant z'.

Équation complète, résolution[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème
Fin du théorème

À présent, on connait deux solutions particulières et de , linéairement indépendantes.

On sait que toute solution de se met sous la forme .

On applique alors la méthode de variation des deux constantes pour trouver une solution particulière de .