Leçons de niveau 14

Matrice/Transposée

Une page de Wikiversité.
Sauter à la navigation Sauter à la recherche
Début de la boite de navigation du chapitre
Transposée
Icône de la faculté
Chapitre no 5
Leçon : Matrice
Chap. préc. :Produit matriciel
Chap. suiv. :Déterminant
fin de la boite de navigation du chapitre
Icon falscher Titel.svg
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Matrice : Transposée
Matrice/Transposée
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
La transposée AT d'une matrice A s'obtient par symétrie axiale par rapport à la diagonale principale de la matrice. La transposée de la transposée (AT)T est la matrice A d'origine.
Wikipédia possède un article à propos de « Matrice transposée ».

Définition[modifier | modifier le wikicode]

La matrice transposée (on dit aussi la transposée) d'une matrice est la matrice notée (aussi parfois notée ou ), obtenue en échangeant les lignes et les colonnes de .

Si B = tA alors .

Propriétés[modifier | modifier le wikicode]

On suppose ici que K est un corps commutatif (par exemple ou ).

  • L'application « transposition » est linéaire :
    .
  • La transposée de est . L'application « transposition » est par conséquent (non seulement linéaire, mais aussi) bijective. C'est donc un isomorphisme d'espaces vectoriels. Sur l'espace de matrices carrées , c'est une involution donc une symétrie.
  • La transposée du produit de deux matrices est égale au produit des transposées de ces deux matrices, mais dans l’ordre inverse :
    .
  • Si une matrice carrée est inversible, alors sa transposée l'est aussi, et la transposée de l'inverse de est égale à l'inverse de sa transposée :
    .
  • Une matrice carrée et sa transposée ont même diagonale principale (et par conséquent même trace).
  • Plus généralement, deux matrices carrées transposées l'une de l'autre ont même polynôme caractéristique donc mêmes valeurs propres, comptées avec leurs multiplicités (en particulier, non seulement même trace mais aussi même déterminant), et même polynôme minimal.
Panneau d’avertissement Pour plus de détails sur la transposée, voir la leçon Trace et transposée de matrice (de niveau 15).