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Exercice : Projecteurs, symétries
Application linéaire/Exercices/Projecteurs, symétries », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Donner une base de constituée de projecteurs.
Solution
Une solution malheureusement difficile à intuiter : la base convient.
- Soient un espace vectoriel sur (ou plus généralement, sur un corps de caractéristique différente de 2), une symétrie, un vecteur de , et sa décomposition suivant la somme directe . Exprimer et en fonction de et .
- Soient tel que , et . Déduire de la question précédente qu'il existe un unique couple de fonctions de somme tel que soit paire et impaire, et l'expliciter.
Soit un endomorphisme d'un -espace vectoriel .
On rappelle (voir cet exercice) que si
- ,
alors est une homothétie.
En déduire que si commute avec tous les projecteurs de , alors est une homothétie.
Dans muni de sa base canonique , on considère les trois vecteurs , et , le plan d'équation et la droite engendrée par .
-
- Montrer que et sont supplémentaires.
- En déduire que le triplet est une base de .
- Donner la matrice de passage de la base à la base et calculer son inverse.
- On considère la projection sur le plan de direction . Donner la matrice de dans la base , puis dans la base .
- Soient le plan engendré par et , la droite vectorielle engendrée par , et la projection sur de direction .
- Calculer et .
- Donner la matrice de et de dans la base .
- En déduire que est une projection, dont on précisera le noyau, l'image et le rang.
Soient et . On désigne par , la base canonique de .
- Donner une base de et une base de . Montrer que puis, que est une base de .
- Soit la projection de sur parallèlement à . Déterminer puis . Vérifier que .
- Soit la symétrie de par rapport à parallèlement à . Déterminer puis . Vérifier que , et .
Solution
- avec et donc . Ces deux vecteurs sont non colinéaires donc forment une base de .
avec donc . Ce vecteur est non nul donc forme une base de .
donc . Par ailleurs, . Donc .
Le triplet est une base de puisqu'il est une juxtaposition de bases de sous-espaces supplémentaires.
- , et donc . est caractérisée par :
et
donc . On vérifie par le calcul que , ce qui est normal puisque .
- Si avec et alors et , donc
, et .
On vérifie par le calcul que et , ce qui est normal puisque et .
Soient l'espace euclidien usuel et .
- Montrer que est linéaire et donner sa matrice dans la base canonique de .
- Donner une base de son noyau et une base de son image.
- Donner une base du supplémentaire orthogonal de .
- Montrer qu'il existe une base orthonormée de dans laquelle la matrice de est .