Leçons de niveau 14

Application linéaire/Exercices/Projecteurs, symétries

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Projecteurs, symétries
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Exercices no3
Leçon : Application linéaire
Chapitre du cours : Projecteurs, symétries

Exercices de niveau 14.

Exo préc. :Noyau et image
Exo suiv. :Rang
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Application linéaire/Exercices/Projecteurs, symétries
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Exercice 3-1[modifier | modifier le wikicode]

Donner une base de constituée de projecteurs.

Exercice 3-2[modifier | modifier le wikicode]

  1. Soient un espace vectoriel sur (ou plus généralement, sur un corps de caractéristique différente de 2), une symétrie, un vecteur de , et sa décomposition suivant la somme directe . Exprimer et en fonction de et .
  2. Soient tel que , et . Déduire de la question précédente qu'il existe un unique couple de fonctions de somme tel que soit paire et impaire, et l'expliciter.

Exercice 3-3[modifier | modifier le wikicode]

Soit un endomorphisme d'un -espace vectoriel . On rappelle (voir cet exercice) que si

,

alors est une homothétie.

En déduire que si commute avec tous les projecteurs de , alors est une homothétie.

Exercice 3-4[modifier | modifier le wikicode]

Dans muni de sa base canonique , on considère les trois vecteurs , et , le plan d'équation et la droite engendrée par .

    1. Montrer que et sont supplémentaires.
    2. En déduire que le triplet est une base de .
    3. Donner la matrice de passage de la base à la base et calculer son inverse.
  1. On considère la projection sur le plan de direction . Donner la matrice de dans la base , puis dans la base .
  2. Soient le plan engendré par et , la droite vectorielle engendrée par , et la projection sur de direction .
    1. Calculer et .
    2. Donner la matrice de et de dans la base .
    3. En déduire que est une projection, dont on précisera le noyau, l'image et le rang.

Exercice 3-5[modifier | modifier le wikicode]

Soient et . On désigne par , la base canonique de .

  1. Donner une base de et une base de . Montrer que puis, que est une base de .
  2. Soit la projection de sur parallèlement à . Déterminer puis . Vérifier que .
  3. Soit la symétrie de par rapport à parallèlement à . Déterminer puis . Vérifier que , et .

Exercice 3-6[modifier | modifier le wikicode]

Soient l'espace euclidien usuel et .

  1. Montrer que est linéaire et donner sa matrice dans la base canonique de .
  2. Donner une base de son noyau et une base de son image.
  3. Donner une base du supplémentaire orthogonal de .
  4. Montrer qu'il existe une base orthonormée de dans laquelle la matrice de est .