Aller au contenu

Application linéaire/Exercices/Projecteurs, symétries

Leçons de niveau 14
Une page de Wikiversité, la communauté pédagogique libre.
Projecteurs, symétries
Image logo représentative de la faculté
Exercices no3
Leçon : Application linéaire
Chapitre du cours : Projecteurs, symétries

Exercices de niveau 14.

Exo préc. :Noyau et image
Exo suiv. :Rang
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Projecteurs, symétries
Application linéaire/Exercices/Projecteurs, symétries
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.



Donner une base de constituée de projecteurs.

  1. Soient un espace vectoriel sur (ou plus généralement, sur un corps de caractéristique différente de 2), une symétrie, un vecteur de , et sa décomposition suivant la somme directe . Exprimer et en fonction de et .
  2. Soient tel que , et . Déduire de la question précédente qu'il existe un unique couple de fonctions de somme tel que soit paire et impaire, et l'expliciter.

Soit un endomorphisme d'un -espace vectoriel . On rappelle (voir cet exercice) que si

,

alors est une homothétie.

En déduire que si commute avec tous les projecteurs de , alors est une homothétie.

Dans muni de sa base canonique , on considère les trois vecteurs , et , le plan d'équation et la droite engendrée par .

    1. Montrer que et sont supplémentaires.
    2. En déduire que le triplet est une base de .
    3. Donner la matrice de passage de la base à la base et calculer son inverse.
  1. On considère la projection sur le plan de direction . Donner la matrice de dans la base , puis dans la base .
  2. Soient le plan engendré par et , la droite vectorielle engendrée par , et la projection sur de direction .
    1. Calculer et .
    2. Donner la matrice de et de dans la base .
    3. En déduire que est une projection, dont on précisera le noyau, l'image et le rang.

Soient et . On désigne par , la base canonique de .

  1. Donner une base de et une base de . Montrer que puis, que est une base de .
  2. Soit la projection de sur parallèlement à . Déterminer puis . Vérifier que .
  3. Soit la symétrie de par rapport à parallèlement à . Déterminer puis . Vérifier que , et .

Soient l'espace euclidien usuel et .

  1. Montrer que est linéaire et donner sa matrice dans la base canonique de .
  2. Donner une base de son noyau et une base de son image.
  3. Donner une base du supplémentaire orthogonal de .
  4. Montrer qu'il existe une base orthonormée de dans laquelle la matrice de est .