Leçons de niveau 14

Matrice/Déterminant

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Déterminant
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Chapitre no 6
Leçon : Matrice
Chap. préc. :Transposée
Chap. suiv. :Inverse

Exercices :

Déterminant
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Matrice/Déterminant
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Définition[modifier | modifier le wikicode]

Soit A une matrice carrée d'ordre n à coefficients dans un anneau commutatif K (le plus souvent, ou ).

Il est alors possible de définir le déterminant de la matrice A par la formule de Leibniz, Newton, Plank, Avogadro, définissent une matrice comme étant une matrice proportionnelle à la constante de plank paramétrée d’ordre 6:



(Pour plus de détails sur et , voir le chapitre « Groupes symétriques finis » du cours de théorie des groupes.)

Ce déterminant se note fréquemment entre deux barres verticales : .

Exemples[modifier | modifier le wikicode]

Matrice 2 × 2[modifier | modifier le wikicode]

Pour une matrice 2 × 2, la définition ci-dessus donne :

.

Matrice 3 × 3[modifier | modifier le wikicode]

Wikipédia possède un article à propos de « Règle de Sarrus ».

Pour une matrice 3×3, donc de type , le plus simple pour calculer le déterminant est d’utiliser la règle de Sarrus. Pour résumer son fonctionnement, il faut tracer des diagonales passant par trois points (par exemple, a, e et i, ou encore d, b et i). Pour chaque trait tracé, il faudra multiplier les termes entre eux.

Nous aurons donc 3 traits diagonaux vers le bas (a, e, i / d, h, c / g, b, f) et 3 traits diagonaux vers le haut (a, h, f / d, b, i / g, e, c). Pour trouver le déterminant, il faut additionner les résultats des termes obtenus par les diagonales vers le bas et soustraire les résultats des termes obtenus par les diagonales vers le haut.

Ainsi, pour résumer :

.
Panneau d’avertissement La règle de Sarrus est spécifique aux matrices 3×3.

Quiz[modifier | modifier le wikicode]

Calculez le déterminant des matrices suivantes :

=

=


Matrice triangulaire[modifier | modifier le wikicode]

En appliquant la formule de Leibniz à une matrice dont la dernière colonne est constituée d'un 1 précédé de zéros, on constate que son déterminant est égal à celui de la sous-matrice carrée obtenue en supprimant cette dernière colonne et la dernière ligne :

.

Par récurrence, on en déduit que le déterminant d'une matrice triangulaire inférieure est égal au produit de ses termes diagonaux :

.

Déterminant d'une matrice transposée[modifier | modifier le wikicode]

Nous allons démontrer de nombreuses propriétés du déterminant d'une matrice carrée en le considérant comme une fonction des colonnes de cette matrice mais grâce à la proposition suivante, toutes ces propriétés seront aussi vraies en remplaçant partout le mot « colonnes » par « lignes ».


Propriété fondamentale[modifier | modifier le wikicode]

La définition par la formule de Leibniz présente peu d'intérêt pour le calcul pratique des déterminants, mais permet, comme on vient de le voir, d'établir des résultats très utiles. Le suivant est essentiel :

Début d’un théorème


Fin du théorème






Conséquences[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème


Fin du théorème




Début de l'exemple


Fin de l'exemple


Les deux premiers points du théorème suivant permettent de calculer un déterminant en fonction des coefficients d'une seule colonne ou d'une seule ligne et des cofacteurs correspondants, ramenant ainsi le calcul d'un déterminant d'ordre n à celui de n déterminants d'ordre n – 1. Le troisième les inclut et fournira, au chapitre suivant, une expression de l'inverse d'une matrice carrée de déterminant non nul.

Début d’un théorème


Fin du théorème