Leçons de niveau 14

Matrice/Trace

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Trace
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Chapitre no 7
Leçon : Matrice
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Matrice/Trace
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Dans tout le chapitre, on ne traitera que de matrices carrées. Nous allons introduire la trace, qui constitue un outil de base d'étude des matrices.

Définition[modifier | modifier le wikicode]



Début de l'exemple


Fin de l'exemple


Panneau d’avertissement Il s'agit bien de la diagonale qui va du coin en haut à gauche au coin en bas à droite.

Propriétés[modifier | modifier le wikicode]


Les deux premières propriétés se résument en disant que l'application trace est linéaire. Comme elle est à valeurs dans le corps K des scalaires, on dit que c'est une forme linéaire sur le K-espace vectoriel Mn(K).




Compléments[modifier | modifier le wikicode]

Pour plus de détails sur la trace, voir la leçon de niveau 15 : Trace et transposée de matrice. On y verra en particulier que :

  • Réciproquement, toute forme linéaire invariante par similitude est proportionnelle à la trace (exercice corrigé).
  • Le fait que la trace soit identique pour deux matrices semblables signifie que la trace d'un endomorphisme est une propriété intrinsèque de l'endomorphisme, peu importe la base dans laquelle on l'exprime. Elle est donc l'« empreinte », la « trace » de l'endomorphisme.
  • Le produit scalaire canonique sur peut s'exprimer à l'aide de la trace.