Réduction des endomorphismes/Polynômes d'endomorphismes
est un corps commutatif et est un -espace vectoriel (de dimension non nécessairement finie). Toutes les notions développées ici peuvent être particularisées aux matrices.
Définition et premières propriétés
[modifier | modifier le wikicode]Soient et .
- On définit et .
- L'évaluation de en est l'endomorphisme de , soit : .
- On a ainsi un morphisme d'évaluation en , qui est un morphisme de -algèbres, à savoir :
- .
La propriété de morphisme d'algèbres signifie que :
Idéal annulateur
[modifier | modifier le wikicode]On appelle idéal annulateur d'un endomorphisme l’ensemble des polynômes qui annulent , c'est-à-dire :
C'est bien un idéal, puisque c'est le noyau de .
On montre dans le cours sur les polynômes que est un anneau principal, ce qui permet de dire que :
Si l'idéal n'est pas nul, son unique générateur unitaire est appelé le polynôme minimal de . Cela signifie que :
(La barre verticale signifie « divise ».) Nous verrons au chapitre suivant que si est de dimension finie alors n'est pas nul, ainsi qu'un contre-exemple en dimension infinie.
Lemme des noyaux
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On va montrer d’une part l'égalité (par double inclusion) et d’autre part le fait que les noyaux de et sont en somme directe.
Le point-clé de la démonstration est le théorème de Bézout : comme et sont premiers entre eux, il existe deux polynômes et tels que et donc :
- Montrons que
- Tout vecteur s'écrit avec et .
- Or donc si alors .
- De même, si alors alors .
- Par conséquent, si alors est la somme d'un vecteur et d'un vecteur .
- Montrons que
- donc . De même, . Puisque et sont inclus dans le sous-espace vectoriel , leur somme l'est aussi.
- Montrons que les sous-espaces et sont en somme directe.
- donc . De même, . Par conséquent,
On en déduit par récurrence le :
Stabilité
[modifier | modifier le wikicode]Cela est dû au fait que et commutent.