Leçons de niveau 15

Réduction des endomorphismes/Polynômes d'endomorphismes

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Polynômes d'endomorphismes
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Chapitre no 2
Leçon : Réduction des endomorphismes
Chap. préc. :Sous-espaces stables
Chap. suiv. :Valeurs et vecteurs propres - Polynôme caractéristique
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Réduction des endomorphismes/Polynômes d'endomorphismes
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est un corps commutatif et est un -espace vectoriel (de dimension non nécessairement finie). Toutes les notions développées ici peuvent être particularisées aux matrices.

Définition et premières propriétés[modifier | modifier le wikicode]



La propriété de morphisme d'algèbres signifie que :


Début de l'exemple


Fin de l'exemple


Idéal annulateur[modifier | modifier le wikicode]


C'est bien un idéal, puisque c'est le noyau de .

On montre dans le cours sur les polynômes que est un anneau principal, ce qui permet de dire que :

Début d’un théorème


Fin du théorème


(La barre verticale signifie « divise ».) Nous verrons au chapitre suivant que si est de dimension finie alors n'est pas nul, ainsi qu'un contre-exemple en dimension infinie.

Lemme des noyaux[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème


Fin du théorème


On en déduit par récurrence le :

Début d'un lemme


Fin du lemme


Stabilité[modifier | modifier le wikicode]


Cela est dû au fait que et commutent.