Leçons de niveau 14

Matrice/Produit matriciel

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Produit matriciel
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Chapitre no 4
Leçon : Matrice
Chap. préc. :Addition et soustraction
Chap. suiv. :Transposée

Exercices :

Produit matriciel
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Matrice/Produit matriciel
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Nous allons introduire dans ce chapitre la notion de produit matriciel. Cette notion n'est pas immédiate ; il faudra prendre soin de bien la maîtriser.

Multiplication par un scalaire[modifier | modifier le wikicode]

Avant de se lancer dans les choses difficiles, on peut compléter de façon très naturelle la structure définie au chapitre précédent.




Début de l'exemple


Fin de l'exemple



Produit de matrices[modifier | modifier le wikicode]


Plus explicitement :

.



Début de l'exemple


Fin de l'exemple



Exemples[modifier | modifier le wikicode]

Le lecteur est invité à reproduire et compléter ces exemples, à titre d'exercice.

Début de l'exemple


Fin de l'exemple


Début de l'exemple


Fin de l'exemple


Matrice identité[modifier | modifier le wikicode]

Il existe une matrice carrée de taille n qui, multipliée par toute autre matrice pour laquelle le produit existe, ne la modifie pas :




Début de l'exemple


Fin de l'exemple


On montre facilement :


Structure d'anneau[modifier | modifier le wikicode]

Puisqu'en général le produit matriciel est une application de dans , il est en particulier une loi interne sur . Cette loi n'est pas commutative (cf. Exemple 3) mais elle est associative, admet un élément neutre , et elle est distributive par rapport à l'addition.

Toutes ces propriétés sont immédiates sauf peut-être l'associativité, que nous admettons provisoirement (on peut la prouver soit par un calcul élémentaire mais illisible à moins de l'écrire soi-même, soit de façon plus conceptuelle, cf. chapitre « Matrice d'une application linéaire »). On les résume par :



Remarquons de plus que dans ce contexte, le produit par un scalaire (voir supra) n'est autre que le produit par la matrice scalaire . Ainsi, si K est un corps commutatif (comme ou ), alors est une algèbre sur ce corps, et les matrices diagonales forment une sous-algèbre (en particulier : ). Tout est donc bel et bon… sauf que :



Début de l'exemple


Fin de l'exemple

Nous étudierons en détail ce problème au chapitre « Inverse ». Pour « préparer le terrain », nous parlerons, dans les deux chapitres qui suivent, du déterminant d'une matrice carrée et d'abord, plus accessoirement, de la transposée d'une matrice quelconque.

Remarques[modifier | modifier le wikicode]

Il existe d'autres « produits » de matrices, comme le produit de Hadamard ou le produit de Kronecker (ou produit tensoriel). Nous ne les aborderons pas dans le cadre de cette leçon.

Le produit d'un vecteur ligne par un vecteur colonne est un nombre. Ce nombre est le produit scalaire des deux vecteurs.

L'efficacité algorithmique du produit matriciel est toujours l’objet de recherches actuelles. L'algorithme manuel présenté dans ce chapitre possède une complexité en O(n³). L'algorithme de Coppersmith-Winograd (1990) possède une complexité en O(n2,376), mais n'est réellement efficace que pour de très grosses matrices.