Réduction des endomorphismes/Valeurs et vecteurs propres - Polynôme caractéristique
Soient un corps, un -espace vectoriel et un endomorphisme de .
Valeur propre, vecteur propre
[modifier | modifier le wikicode]- Le scalaire est une valeur propre de l'endomorphisme lorsqu'il existe un vecteur non nul tel que , autrement dit si
.
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- Le spectre de est l’ensemble de ses valeurs propres.
Soit une valeur propre de .
- Les vecteurs propres de pour la valeur propre sont les vecteurs non nuls tels que .
- Le sous-espace propre de associé à la valeur propre est :
.
|
Il contient le vecteur nul, et ses autres éléments sont les vecteurs propres de pour la valeur propre .
est donc un sous-espace vectoriel de , non réduit au vecteur nul. On se permettra de le noter simplement s'il n'y a pas d'ambiguïté.
Si possède un polynôme minimal , alors les valeurs propres de sont les racines de .
- Si est une valeur propre, soit un vecteur propre associé. Alors, pour tout polynôme , . En particulier, donc (puisque ) .
- Réciproquement, si alors pour un certain polynôme qui, vu son degré, n'est pas divisible par , ce qui équivaut à : .
- Alors, donc est une valeur propre.
- Remarque
- Cette propriété permet de construire facilement, en dimension infinie et si le corps est infini, un endomorphisme sans polynôme minimal, c'est-à-dire dont l'idéal annulateur est réduit à 0 : il suffit de faire en sorte qu'il ait une infinité de valeurs propres. On peut prendre par exemple, sur , l'endomorphisme dont les vecteurs propres sont les monômes et le spectre est .
Traduction matricielle
[modifier | modifier le wikicode]Tout ce vocabulaire s'applique en particulier aux matrices :
Les valeurs propres, spectre, vecteurs propres, sous-espaces propres, polynôme minimal d'une matrice carrée sont ceux de l'endomorphisme .
Attention |
Le spectre de dépend non seulement de la matrice mais du corps de base considéré, et peut augmenter lorsqu'on étend ce corps. En cas d'ambiguïté, on le note donc plutôt .
Soit .
- L'endomorphisme n'a aucun vecteur propre (c'est une rotation d'un quart de tour) donc .
- L'endomorphisme a pour vecteurs propres et , et .
Polynôme caractéristique
[modifier | modifier le wikicode]La définition suivante va permettre de reformuler la condition () pour que soit une valeur propre de :
Attention |
Certains auteurs préfèrent définir le polynôme caractéristique comme le déterminant de la matrice opposée, . Ce dernier étant égal à , cela n'a aucune incidence sur le lemme suivant.
Les valeurs propres de sont les racines de son polynôme caractéristique . Plus précisément :
Soit . Transformons l'équation (d'inconnue )
- .
est une valeur propre de si et seulement si ce système linéaire homogène possède dans d'autres solutions que la solution triviale , c'est-à-dire si et seulement si le déterminant de ce système est nul. Ce déterminant est . Donc est une valeur propre de si et seulement si .
Si alors donc .
Le lemme 2 donne un sens à la définition suivante :
Si est de dimension finie, le polynôme caractéristique de , noté , est le polynôme caractéristique de sa matrice dans n'importe quelle base de .
On déduit alors du lemme 1 :
Le polynôme caractéristique d'une matrice, ou d'un endomorphisme d'un espace de dimension finie, s'annule en cette matrice, ou cet endomorphisme.
Autrement dit :
|
et (si ) .
Soient un endomorphisme d'un espace de dimension finie, et un vecteur non nul de . Il s'agit de démontrer que son image par l'endomorphisme est nulle.
Notons le plus grand entier tel que la famille soit libre, les scalaires tels que , et la restriction de à .
En complétant en une base de et en écrivant la matrice de dans cette base, on constate que est divisible par (car le déterminant d'une matrice triangulaire par blocs est le produit des déterminants des blocs diagonaux). Il suffit donc de vérifier que .
Or la matrice de dans la base est la matrice compagnon du polynôme , et son polynôme caractéristique est égal (cf. cet exercice sur les déterminants) à . Par définition des , on a donc bien .
- Remarque
- Cela démontre que pour toute matrice (carrée) à coefficients dans un corps (commutatif), en particulier pour le corps (corps des fractions rationnelles en indéterminées à coefficients rationnels) et la « matrice carrée universelle de taille », . L'identité matricielle qu'on obtient dans ce cas est un système de identités polynomiales à coefficients entiers en les coefficients de la matrice . On en déduit alors que pour toute matrice à coefficients dans un anneau commutatif quelconque, en remplaçant les indéterminées par les dans cette « identité polynomiale universelle » .
On déduit de ce théorème, joint au lien entre polynôme minimal et valeurs propres (voir supra) :
Si est de dimension finie alors le polynôme minimal existe, divise le polynôme caractéristique , et a les mêmes racines.