Leçons de niveau 15

Réduction des endomorphismes/Valeurs et vecteurs propres - Polynôme caractéristique

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Valeurs et vecteurs propres - Polynôme caractéristique
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Chapitre no 3
Leçon : Réduction des endomorphismes
Chap. préc. : Polynômes d'endomorphismes
Chap. suiv. : Diagonalisabilité

Exercices :

Valeurs et vecteurs propres - Polynôme caractéristique
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Réduction des endomorphismes/Valeurs et vecteurs propres - Polynôme caractéristique
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Soient un corps, un -espace vectoriel et un endomorphisme de .

Valeur propre, vecteur propre[modifier | modifier le wikicode]




est donc un sous-espace vectoriel de , non réduit au vecteur nul. On se permettra de le noter simplement s'il n'y a pas d'ambiguïté.



Remarque
Cette propriété permet de construire facilement, en dimension infinie et si le corps est infini, un endomorphisme sans polynôme minimal, c'est-à-dire dont l'idéal annulateur est réduit à 0 : il suffit de faire en sorte qu'il ait une infinité de valeurs propres. On peut prendre par exemple, sur , l'endomorphisme dont les vecteurs propres sont les monômes et le spectre est .

Traduction matricielle[modifier | modifier le wikicode]

Tout ce vocabulaire s'applique en particulier aux matrices :




Panneau d’avertissement Attention

Le spectre de dépend non seulement de la matrice mais du corps de base considéré, et peut augmenter lorsqu'on étend ce corps. En cas d'ambiguïté, on le note donc plutôt .

Début de l'exemple


Fin de l'exemple


Polynôme caractéristique[modifier | modifier le wikicode]

La définition suivante va permettre de reformuler la condition () pour que soit une valeur propre de  :



Panneau d’avertissement Attention

Certains auteurs préfèrent définir le polynôme caractéristique comme le déterminant de la matrice opposée, . Ce dernier étant égal à , cela n'a aucune incidence sur le lemme suivant.


Début d'un lemme


Fin du lemme


Début d'un lemme


Fin du lemme


Le lemme 2 donne un sens à la définition suivante :



On déduit alors du lemme 1 :



Début d’un théorème


Fin du théorème


On déduit de ce théorème, joint au lien entre polynôme minimal et valeurs propres (voir supra) :