Aller au contenu

Application linéaire/Propriétés générales

Leçons de niveau 14
Une page de Wikiversité, la communauté pédagogique libre.
Début de la boite de navigation du chapitre
Propriétés générales
Icône de la faculté
Chapitre no 2
Leçon : Application linéaire
Chap. préc. :Définitions
Chap. suiv. :Projecteurs, symétries
fin de la boite de navigation du chapitre
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Application linéaire : Propriétés générales
Application linéaire/Propriétés générales
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Soient E, F et G trois K-espaces vectoriels.

Injectivité, surjectivité

[modifier | modifier le wikicode]

Puisqu'une application linéaire de E dans F est un cas particulier de morphisme de groupes de (E, +) dans (F, +), on a la caractérisation ci-dessous de son injectivité (quant à la caractérisation de la surjectivité, elle est tautologique).

Début d’un théorème
Fin du théorème


Image d'une base

[modifier | modifier le wikicode]

Une base de étant fixée, une application est entièrement déterminée par la famille de vecteurs de . Plus précisément :

Début d’un théorème
Fin du théorème


Par conséquent, toutes les propriétés de doivent pouvoir « se lire sur » l'image d'une base par . Pour l'injectivité ou la surjectivité, cette « lecture » est simple :

Début d’un théorème
Fin du théorème


Propriétés de L(E, F)

[modifier | modifier le wikicode]

À partir d'ici, le corps K des scalaires est supposé commutatif.

Structure d'espace vectoriel

[modifier | modifier le wikicode]
Début d’un théorème
Fin du théorème


Début d’un théorème
Fin du théorème

En particulier, si F est aussi de dimension finie alors L(E, F) l'est également.

Début d’un théorème
Fin du théorème


Début d’un théorème
Fin du théorème

Linéarité des inverses

[modifier | modifier le wikicode]
Début d’un théorème
Fin du théorème


Structure d'algèbre

[modifier | modifier le wikicode]
Début d’un théorème
Fin du théorème


En particulier, est un anneau unifère.