Leçons de niveau 14

Application linéaire/Propriétés générales

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Propriétés générales
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Chapitre no 2
Leçon : Application linéaire
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Soient E, F et G trois K-espaces vectoriels.

Injectivité, surjectivité[modifier | modifier le wikicode]

Puisqu'une application linéaire de E dans F est un cas particulier de morphisme de groupes de (E, +) dans (F, +), on a la caractérisation ci-dessous de son injectivité (quant à la caractérisation de la surjectivité, elle est tautologique).

Début d’un théorème


Fin du théorème


Image d'une base[modifier | modifier le wikicode]

Une base de étant fixée, une application est entièrement déterminée par la famille de vecteurs de . Plus précisément :

Début d’un théorème


Fin du théorème


Par conséquent, toutes les propriétés de doivent pouvoir « se lire sur » l'image d'une base par . Pour l'injectivité ou la surjectivité, cette « lecture » est simple :

Début d’un théorème


Fin du théorème


Propriétés de L(E, F)[modifier | modifier le wikicode]

À partir d'ici, le corps K des scalaires est supposé commutatif.

Structure d'espace vectoriel[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème


Fin du théorème


Début d’un théorème


Fin du théorème

En particulier, si F est aussi de dimension finie alors L(E, F) l'est également.

Début d’un théorème


Fin du théorème


Composition[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème


Fin du théorème

Linéarité des inverses[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème


Fin du théorème


Structure d'algèbre[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème


Fin du théorème


En particulier, est un anneau unifère.