En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Application linéaire : Propriétés générales Application linéaire/Propriétés générales », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Puisqu'une application linéaire de E dans F est un cas particulier de morphisme de groupes de (E, +) dans (F, +), on a la caractérisation ci-dessous de son injectivité (quant à la caractérisation de la surjectivité, elle est tautologique).
Une base de étant fixée, une application est entièrement déterminée par la famille de vecteurs de . Plus précisément :
Début d’un théorème
Théorème
Pour toute base de , l'application
est bijective.
Fin du théorème
Démonstration
Il s'agit de démontrer que cette application (linéaire) de dans est bijective, c'est-à-dire que pour toute famille de vecteurs de , il existe une unique application linéaire telle que .
Unicité. Soit une telle application. Pour tout vecteur de , si désigne la famille presque nulle de ses coordonnées dans la base , on a (par linéarité de ) : , ce qui détermine complètement .
Existence. Soit définie en chaque vecteur de par la formule ci-dessus. Pour tout indice , en appliquant cette formule à , on trouve bien . D'autre part, est bien linéaire car pour tous vecteurs de , de coordonnées dans , et pour tout scalaire , la définition de donne :
.
Par conséquent, toutes les propriétés de doivent pouvoir « se lire sur » l'image d'une base par . Pour l'injectivité ou la surjectivité, cette « lecture » est simple :
Début d’un théorème
Théorème
Soit .
est surjective si et seulement si l'image par d'au moins une famille génératrice de est génératrice de (de plus, l'image par de toute famille qui engendre est alors génératrice de ) ;
est injective si et seulement si l'image par d'au moins une base de est libre (de plus, l'image par de toute famille libre est alors libre) ;
est un isomorphisme si et seulement si l'image par d'au moins une base (ou de toute base) de est une base de .
Fin du théorème
Démonstration
Les assertions concernant la surjectivité viennent simplement du fait que pour toute famille qui engendre , .
Supposons injective et libre. Alors, pour toute famille presque nulle de scalaires, , ce qui prouve que est libre.
Supposons maintenant qu'il existe une base de dont l'image par est libre. Alors, pour tout , de coordonnées dans cette base, , donc , ce qui prouve que est injective.
Finalement, est un sous-espace vectoriel de FE, donc est un K-espace vectoriel.
Début d’un théorème
Théorème
Si est de dimension finie alors
.
Fin du théorème
En particulier, si F est aussi de dimension finie alors L(E, F) l'est également.
Démonstration
Soit . On utilise la bijection de sur fournie par le choix d'une base de (voir supra). Puisque K est supposé commutatif, est un K-espace vectoriel et cette bijection est linéaire donc est un isomorphisme. On en déduit :