Leçons de niveau 15

Fonctions d'une variable complexe/Le logarithme complexe

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Le logarithme complexe
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Chapitre no 2
Leçon : Fonctions d'une variable complexe
Chap. préc. :Fonctions holomorphes
Chap. suiv. :Intégrales curvilignes
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L'exponentielle complexe[modifier | modifier le wikicode]

Avant de définir le logarithme complexe, rappelons la définition de l'exponentielle complexe par une série entière de rayon de convergence infini.




Panneau d’avertissement Contrairement à l'exponentielle réelle l'exponentielle complexe n’est pas injective dans puisque .

Par conséquent on ne peut définir un logarithme dans comme un logarithme dans

Fonctions hyperboliques[modifier | modifier le wikicode]

Grâce à l'exponentielle complexe nous pouvons étendre la définition des fonctions hyperboliques à  :

Propriétés de l'exponentielle complexe[modifier | modifier le wikicode]

 :

  •  ;
  •  ;
  • .

La fonction « argument » : Arg[modifier | modifier le wikicode]

Pour des raisons purement géométriques, l'argument d'un nombre complexe n'est jamais défini que modulo et on ne peut définir de façon naturelle de fonction argument à valeurs réelles.

Ici, on se fixera un choix de l'argument, de sorte que l’on ait les propriétés suivantes :




On constate que cette fonction Arg(z) n’est pas prolongeable continument aux , car si elle était définie sur , on aurait un saut de et elle serait alors discontinue sur son ouvert de définition.

On appelle cette fonction détermination principale de l'argument.

Le logarithme complexe[modifier | modifier le wikicode]



Alors, est holomorphe sur .



Dérivées partielles du logarithme complexe[modifier | modifier le wikicode]

On note , pour , on a :

  •  ;
  • .

Ainsi est holomorphe, puisque :

.

La dérivée de se calcule en appliquant la règle de dérivation des fonctions composées :

,

ce qui donne :

.

Puissance généralisée[modifier | modifier le wikicode]