Leçons de niveau 15

Suites et séries de fonctions/Séries de fonctions

Une page de Wikiversité.
Sauter à la navigation Sauter à la recherche
Début de la boite de navigation du chapitre
Séries de fonctions
Icône de la faculté
Chapitre no 2
Leçon : Suites et séries de fonctions
Chap. préc. :Suites de fonctions
Chap. suiv. :Approximation de fonctions

Exercices :

Séries de fonctions
fin de la boite de navigation du chapitre
Icon falscher Titel.svg
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Suites et séries de fonctions : Séries de fonctions
Suites et séries de fonctions/Séries de fonctions
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

On considère là encore des fonctions d'une variable réelle.


(exemple à faire)

Convergence simple[modifier | modifier le wikicode]



On remarquera qu'une série de fonctions est une suite de fonctions particulière au même titre qu'une série numérique est une suite numérique particulière. De plus, la convergence simple d'une série de fonctions n'est en fait rien d’autre que la convergence simple de la suite de ses sommes partielles. (exemple à faire)

Convergence uniforme[modifier | modifier le wikicode]



Convergence normale[modifier | modifier le wikicode]



Cela équivaut à dire qu'il existe une série numérique convergente telle que .

Propriétés des séries de fonctions[modifier | modifier le wikicode]

Ces théorèmes se démontrent en utilisant les théorèmes correspondants sur les suites de fonctions.

Début d’un théorème


Fin du théorème

Dans chaque cas, la réciproque est fausse.

Début d’un théorème


Fin du théorème

On parle aussi de passage à la limite terme à terme.




Début d’un théorème


Fin du théorème




La théorie de Lebesgue donne un théorème d'intégration terme à terme des séries de fonctions intégrables :

Début d’un théorème


Fin du théorème