Leçons de niveau 14

Mécanique 1 (PCSI)/Description et paramétrage du mouvement d'un point : Mouvement de vecteur accélération constant

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Description et paramétrage du mouvement d'un point : Mouvement de vecteur accélération constant
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Chapitre no 3
Leçon : Mécanique 1 (PCSI)
Chap. préc. :Description et paramétrage du mouvement d'un point : Systèmes de coordonnées
Chap. suiv. :Description et paramétrage du mouvement d'un point : Mouvement circulaire uniforme ou non
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Expression du vecteur vitesse en fonction du temps, déduction de ses composantes cartésiennes[modifier | modifier le wikicode]

Mouvement à vecteur accélération constant[modifier | modifier le wikicode]

......Se dit du mouvement d'un point ayant, dans le référentiel d'étude , un vecteur accélération constant noté , soit

.

Expression du vecteur vitesse du point M[modifier | modifier le wikicode]

......Le vecteur vitesse de , noté , étant lié au vecteur accélération par , on en déduit par intégration , le vecteur se déterminant à l'aide des C.I. à savoir d'où et par suite


avec le vecteur vitesse initiale du point .

Expression du vecteur position en fonction du temps, déduction de ses composantes cartésiennes[modifier | modifier le wikicode]

Expression du vecteur position du point M[modifier | modifier le wikicode]

......Le vecteur position de , noté , étant lié au vecteur vitesse par , on en déduit par intégration , le vecteur se déterminant à l'aide des C.I. à savoir d'où et par suite la loi horaire vectorielle de position s'écrit


avec les vecteurs vitesse initiale et position initiale du point .

Choix du repère cartésien associé au référentiel d'étude[modifier | modifier le wikicode]

......On choisit [1]

  • l'origine en la position initiale ,
  • l'axe colinéaire au vecteur accélération et de même sens,
  • l'axe perpendiculaire à l'axe tel que le vecteur vitesse initiale soit dans le plan [2], la composante de sa projection sur étant positive ou nulle [3] et
  • l'axe perpendiculaire au plan formé par [4] et tel que le trièdre soit direct [5], [6] (voir schéma du paragraphe « cas où le vecteur vitesse initiale n'est pas colineaire au vecteur accélération » suivant dans le cas où [7]).

Déduction des composantes cartésiennes du vecteur position du point M[modifier | modifier le wikicode]

Cas où le vecteur vitesse initiale n'est pas colinéaire au vecteur accélération[modifier | modifier le wikicode]

Choix du repère cartésien dans le référentiel d'étude pour décrire le mouvement d'un point à vecteur accélération constant ayant un vecteur vitesse initiale non colinéaire au précédent

......Voir le « choix du repère cartésien associé au référentiel d'étude dans le paragraphe précédent » utilisé dans le schéma ci-contre, l'angle que fait le vecteur vitesse initiale avec le vecteur accélération étant [8] les angles du plan étant orientés par le sens précisé sur le schéma et défini par le vecteur unitaire qui lui est perpendiculaire ; ci-dessous les composantes cartésiennes

  • du vecteur accélération et
  • du vecteur vitesse initiale  ;

......les projections respectives sur chaque axe de la loi horaire vectorielle de position conduisent à


correspondant aux trois lois horaires scalaires de position [9],
la 2ème établissant la nature plane du mouvement dans le plan [10]

Cas où le vecteur vitesse initiale est colinéaire au vecteur accélération[modifier | modifier le wikicode]

......On rappelle que les conditions du problème définissent une direction, celle qui est commune à et , sur laquelle on a choisi un axe orienté dans le sens de , le vecteur vitesse initiale étant alors dans le même sens ou dans le sens opposé, les deux autres axes et respectivement perpendiculaires étant choisis à avec l'origine en  ; ci-dessous les composantes cartésiennes

  • du vecteur accélération et
  • du vecteur vitesse initiale [11] ;

......les projections respectives sur chaque axe de la loi horaire vectorielle de position conduisent à


correspondant aux trois lois horaires scalaires de position [9],
les deux 1ères établissant la nature rectiligne du mouvement le long de .

Équations cartésiennes paramétrées de la trajectoire, nature de celle-ci[modifier | modifier le wikicode]

Cas où le vecteur vitesse initiale n'est pas colinéaire au vecteur accélération[modifier | modifier le wikicode]

......Les lois horaires scalaires sont aussi les équations cartésiennes paramétriques de la trajectoire,

  • celle-ci est donc plane dans le plan d'équation cartésienne et
  • sa 2ème équation cartésienne [12] s'obtient en exprimant à l'aide de la 1ère équation paramétrique et en reportant dans la 3ème soit, après simplification évidente
    [13] ;

......le système des deux équations cartésiennes de la trajectoire définit une

« parabole de concavité vers les [14] »
[voir « retour sur le cas où le vecteur vitesse initiale n'est pas colinéaire au vecteur accélération »
dans lequel les figures présentées dépendent du signe de .

Cas où le vecteur vitesse initiale est colinéaire au vecteur accélération[modifier | modifier le wikicode]

......Les lois horaires scalaires sont aussi les équations cartésiennes paramétriques de la trajectoire dont on tire, sans faire quoi que soit, les deux équations cartésiennes de cette dernière , système d'équations cartésiennes définissant

une « trajectoire rectiligne le long de  ».

Retour sur le cas où le vecteur vitesse initiale n'est pas colinéaire au vecteur accélération[modifier | modifier le wikicode]

......La trajectoire étant parabolique d'équation cartésienne dans le plan de la trajectoire , nous allons déterminer quelques propriétés de cette parabole :

  • elle possède un axe de symétrie parallèle à l'axe sur lequel se trouve son sommet , l'abscisse de ce dernier étant déterminée par la nullité du cœfficient directeur de la tangente à la parabole en ce point soit avec et par suite soit
    l'axe de symétrie d'équation [15] ;
  • son sommet a pour abscisse et sa cote s'obtient par report de son abscisse dans l'équation cartésienne de la parabole soit d'où
    les coordonnées du sommet de la parabole : [15].

......Ci-dessous la trajectoire dans le cas où et , l'angle entre vecteur vitesse initiale et vecteur accélération étant

  • pour le graphe de gauche [16],
  • pour le graphe de droite [17].
Trajectoire d'un point de vecteur accélération constant, l'axe Oz ayant été choisi le long de ce dernier et étant orienté dans le même sens, le vecteur vitesse initiale faisant l'angle 60° avec lui et l'origine du repère étant choisi en la position initiale : trajectoire parabolique de concavité dans le sens du vecteur accélération, le sommet étant d'abscisse négative
Trajectoire d'un point de vecteur accélération constant, l'axe Oz ayant été choisi le long de ce dernier et étant orienté dans le même sens, le vecteur vitesse initiale faisant l'angle 120° avec lui et l'origine du repère étant choisi en la position initiale : trajectoire parabolique de concavité dans le sens du vecteur accélération, le sommet étant d'abscisse positive (et de cote négative)

En complément, équations cartésiennes paramétrées de l'hodographe de pôle O du mouvement, nature de celui-ci[modifier | modifier le wikicode]

Équations cartésiennes paramétrées de l’hodographe de pôle O du mouvement du point M[modifier | modifier le wikicode]

......L'hodographe de pôle [18] du mouvement du point étant l'ensemble des positions tel que [19], [20] et appelant les coordonnées cartésiennes du point générique de l'hodographe nous obtenons, en projetant sur chaque axe :

[19], [21].

Équations cartésiennes de l’hodographe de pôle O du mouvement du point M[modifier | modifier le wikicode]

......Les équations cartésiennes paramétriques [19] de l'hodographe de pôle du mouvement de permettent d'obtenir, sans aucun calcul, les deux équations cartésiennes de l'hodographe de pôle du mouvement de à savoir

[19].

Nature de l’hodographe de pôle O du mouvement du point M[modifier | modifier le wikicode]

......L'hodographe de pôle du mouvement de étant d'équations cartésiennes [19] est

porté par la droite parallèle à (OZ) et passant par le point de de coordonnées représentées par ,
voir schémas ci-dessous représentés dans le plan , avec et ,
l'angle entre vecteur vitesse initiale et vecteur accélération étant
  • pour l'hodographe de gauche correspondant à une demi-droite issue de du quadrant supérieur droite du plan et allant vers d'ordonnée [22],
  • pour l'hodographe de droite correspondant à une demi-droite issue de du quadrant inférieur droite du plan et allant vers d'ordonnée [22] ; dans ce cas le point correspondant au sommet de la trajectoire est observable, c'est le point de placé sur l'axe .
Hodographe de pôle O du mouvement d'un point de vecteur accélération constant, l'axe Oz ayant été choisi le long de ce dernier et étant orienté dans le même sens, le vecteur vitesse initiale faisant l'angle 60° avec lui, le sommet de la trajectoire n'est pas observable sur l'hodographe car correspondrait à t < 0
Hodographe de pôle O du mouvement d'un point de vecteur accélération constant, l'axe Oz ayant été choisi le long de ce dernier et étant orienté dans le même sens, le vecteur vitesse initiale faisant l'angle 120° avec lui, le sommet de la trajectoire correspond au point PS de l'hodographe

......Remarques : De [19] on en déduit que

  • le cœfficient directeur de la direction défini par permet de visualiser la pente du vecteur vitesse sur la trajectoire du point , ceci permettant de constater sur l'hodographe de gauche l'absence de sommet accessible sur la trajectoire et sur l'hodographe de droite l'accessibilité du sommet de la trajectoire correspondant à la position de l'hodographe,
  • la norme de représente celle de soit [19] montrant sur l'hodographe de gauche que jusqu'à l'infini [22] et sur l'hodographe de droite que jusqu'à [19] (vitesse minimale obtenue au sommet de la trajectoire) puis jusqu'à l'infini [22].

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. Les choix faits sont simplificateurs, ils ne sont pas obligatoires et peuvent être autres.
  2. Cela suppose que le vecteur-vitesse initiale n’est pas colinéaire à , si ce n'est pas le cas (c'est-à-dire si est colinéaire à l'axe est simplement perpendiculaire à sans autre exigence (il y a donc, dans ce cas, un caractère arbitraire à ce choix).
  3. Elle est nulle dans le cas où est colinéaire à , ce qui conduit, rappelons-le, à un choix arbitraire de perpendiculaire à .
  4. Cela suppose que les vecteurs accélération et vitesse initiale forment un plan, si ce n'est pas le cas (c'est-à-dire si est colinéaire à l'axe est simplement perpendiculaire à et avec la même exigence énoncée par la suite du caractère direct du trièdre .
  5. revoir le paragraphe « base directe » du chapitre de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  6. Voir note « 4 précédente » dans le cas où les vecteurs accélération et vitesse initiale sont colinéaires ….
  7. On rappelle que cette condition traduit la non colinéarité des deux vecteurs revoir le paragraphe « définition intrinsèque du produit vectoriel de deux vecteurs » du chapitre de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  8. bornes exclues, les deux vecteurs n'étant pas colinéaires.
  9. 9,0 et 9,1 Ou aux trois équations cartésiennes paramétriques de la trajectoire du point .
  10. Qu'on appellera par la suite « plan de lancement » car il est commun au vecteur accélération et au vecteur vitesse initiale.
  11. Avec si est de même sens que et si est de sens opposé à .
  12. On rappelle qu'une courbe est déterminée par deux équations cartésiennes, chacune d'elles définissant une surface.
  13. Qui est l'équation d'un cylindre parabolique de génératrices parallèles à l'axe .
  14. C'est-à-dire dans le sens de compte-tenu du choix de dans le même sens que .
  15. 15,0 et 15,1 On rappelle la formule de trigonométrie suivante .
  16. Le sommet correspondant à une position antérieure à la position initiale n'apparaît pas si on représente la trajectoire à partir de cette dernière.
  17. Le sommet correspondant à une position postérieure à la position initiale apparaît dans la mesure où on représente la trajectoire à partir de cette dernière.
  18. est un point fixe du référentiel d'étude, non nécessairement l'origine du repère associé au référentiel …
  19. 19,0 19,1 19,2 19,3 19,4 19,5 19,6 et 19,7 Le symbole signifiant « est représenté par » ou « représentant » suivant contexte, avec définition d'une échelle adaptée.
  20. Revoir la « définition de l'hodographe de pôle O du mouvement de M dans un référentiel d'étude » du chapitre de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  21. Ces lois horaires sont valables pour .
  22. 22,0 22,1 22,2 et 22,3 Le mouvement de sur l'hodographe de pôle de celui de , étant régi par la loi horaire , correspond à une montée d'un mouvement uniforme sur la demi-droite.