Statique des fluides (PCSI)/Éléments de statique des fluides dans un référentiel galiléen : Poussée d'Archimède

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Statique des fluides (PCSI)/Éléments de statique des fluides dans un référentiel galiléen : Poussée d'Archimède
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
L'espace physique étant sauf avis contraire « orienté à droite »[1].

« Rappel » sur l’évaluation de la résultante des forces pressantes s’exerçant sur un corps sphérique totalement immergé dans un fluide incompressible et homogène en équilibre isotherme dans le champ de pesanteur terrestre uniforme, 1ère notion de poussée d’Archimède[modifier | modifier le wikicode]

Bien que ce ne soit pas précisé dans ce paragraphe, on rappelle que le fluide considéré et le corps y étant immergé sont au repos dans le référentiel d'étude.

« Rappel » sur l’évaluation de la résultante des forces pressantes s’exerçant sur un corps sphérique totalement immergé dans un fluide incompressible et homogène en équilibre isotherme dans le champ de pesanteur terrestre uniforme[modifier | modifier le wikicode]

Corps sphérique totalement immergé dans un fluide incompressible et homogène en équilibre isotherme dans un champ de pesanteur uniforme avec représentation de la force pressante que exerce sur en point quelconque de la surface de ce dernier

     Dans le paragraphe « autre exemple : résultante des forces pressantes sur un corps sphérique totalement immergé dans un fluide incompressible et homogène en équilibre isotherme dans le champ de pesanteur terrestre uniforme » du chap. de la leçon « Statique des fluides (PCSI) »,
     Dans le paragraphe on a considéré un corps sphérique de centre , de rayon , totalement immergé dans un fluide à « masse volumique constante » réalisée si le fluide est incompressible et homogène en équilibre isotherme, le centre étant repérée par sa « cote » relativement à un axe vertical orienté dans le sens ascendant voir le schéma ci-contre et
     Dans le paragraphe on a évalué la « résultante des forces pressantes que le fluide exerce sur le corps » c'est-à-dire la « poussée d'Archimède »[2] par

  • calcul d’intégrale surfacique «»[3] étant la sphère limitant le corps sphérique ,
  • après utilisation de l'invariance de la répartition des forces pressantes par symétrie plane relativement à tout plan vertical passant par le centre du corps sphérique pour déterminer la direction de la résultante «» et
  • après application de l’intégrale 1ère spatiale du fluide à « masse volumique constante » «» en adoptant le repérage sphérique de pôle et d'axe vertical ascendant du point générique de , les coordonnées sphériques de étant «» avec pour base sphérique liée à «» orthonormée directe de l'espace physique orienté à droite[4],
  • après projection de sur «»[3] soit, avec «» et «», «»[3],
  • après constatation que la « fonction à intégrer » dans l'intégrale surfacique étant « indépendante du paramètre ne dépendant que de », il est souhaitable de ramplacer par l'aire d'une surface élémentaire semi-intégrée correspondant à une « couronne sphérique élémentaire comprise entre les deux parallèles de colatitudes infiniment proches et » « »[5],[6] « soit finalement
«» «»
résultante verticale ascendante de norme égale au poids du « fluide déplacé »[7].

« Rappel » sur l'équivalence du système des forces pressantes s’exerçant sur un corps sphérique (indéformable) totalement immergé dans un fluide incompressible et homogène en équilibre isotherme dans le champ de pesanteur terrestre uniforme avec une force unique et 1ère notion de poussée d'Archimède[modifier | modifier le wikicode]

     Nous avons établi, au paragraphe « utilisation des propriétés de symétrie pour déterminer la direction de la résultante des forces pressantes (remarque) » du chap. de la leçon « Statique des fluides (PCSI) », que la répartition des forces pressantes que le fluide exerce sur le corps indéformable est « équivalente à sa résultante »[8] appliquée en un point particulier de l'axe vertical passant par le centre du corps sphérique voir la justification dans la note « 12 » du chap. de la leçon « Statique des fluides (PCSI) » ; dans ce qui suit nous nous proposons de donner une autre justification à cette propriété :

     Nous avons établi, remarquant que toutes les forces pressantes « que le fluide incompressible et homogène en équilibre isotherme dans le champ de pesanteur uniforme exerce sur le corps sont centrales »[9], nous en déduisons que leur vecteur moment résultant calculé relativement à est nul soit

«»[3] ;

     Nous avons établi, dans la mesure où « la résultante des forces pressantes est verticale », le changement d'origine du calcul du vecteur moment résultant de ces forces pressantes s'écrivant

«»[10], étant un point quelconque de l'espace physique,

     Nous avons établi, nous en déduisons « pour tout point de la verticale passant par le centre du corps »[11] ;

     Nous avons établi, or pour que deux systèmes de forces s’appliquant à un corps indéformable soient équivalents il suffit qu’ils aient même résultante et même moment résultant en un point particulier[12] et d’après la formule de changement d’origine de calcul des moments vectoriels[10], s’ils ont même moment résultant en un point et même résultante, ils auront même moment résultant en tout point d'où

     Nous avons établi, comparant « le système des forces pressantes que le fluide incompressible et homogène en équilibre isotherme dans le champ de pesanteur uniforme exerce sur le corps indéformable » de résultante «» et de moment résultant vectoriel au centre de «» à
     Nous avons établi, comparant « une force unique égale à appliquée au point » dont le moment vectoriel en est évidemment nul, nous concluons que

     Nous avons établi, « la répartition des forces pressantes que le fluide exerce sur le corps indéformable » est « équivalente à une force unique égale à la résultante des forces pressantes » appliquée au centre du corps indéformable[13].

     Conclusion : Le « système des forces pressantes que le fluide à masse volumique constante exerce sur le corps sphérique indéformable » est équivalent à une force unique verticale ascendante égale à la résultante de ces forces pressantes et appliquée au centre du corps sphérique, cette force unique est appelée « poussée d'Archimède »[2] usuellement notée «» et le point d'application de cette dernière « centre de poussée » c'est aussi le C.D.I[14]. du « fluide déplacé »[7] ;

     Conclusion : la norme de la poussée d'Archimède[2] étant égale à celle du poids du « fluide déplacé »[7] nous déduisons, de leur direction et sens respectifs, que « la poussée d'Archimède[2] est égale à l'opposé du poids du fluide déplacé »[7].

Généralisation à un « corps de forme quelconque éventuellement déformable » totalement immergé dans un « fluide quelconque » en équilibre dans le champ de pesanteur terrestre uniforme, théorème d’Archimède[modifier | modifier le wikicode]

     Préliminaire : On s'intéresse à un « fluide quelconque » pouvant donc être compressible et hétérogène avec évolution éventuelle globale ou locale de la température des différentes parties le constituant[15], le corps immergé de forme quelconque pouvant éventuellement être hétérogène et déformable

Théorème d'Archimède[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème
Fin du théorème

     Remarque : Sous cette forme le théorème d'Archimède[2] est applicable même si le « corps considéré est hétérogène et déformable », immergé dans un « fluide compressible et hétérogène » mais,
     Remarque : dans ce cas, « le système des forces pressantes n'étant pas équivalent à l'ensemble de sa résultante et de son moment vectoriel résultant en un point quelconque »[12], il ne peut se réduire à une force unique égale à la résultante de ces forces pressantes[8] qui serait appliquée en C.D.I[14]. du fluide déplacé[7] car cette force unique serait incapable d'expliquer une déformation en point quelconque de la surface limitant , laquelle nécessite de connaître la force pressante , c'est-à-dire que la notion de poussée d'Archimède[2] n'a pas de sens ici

Précision sur la notion de « fluide déplacé » (par le corps immergé)[modifier | modifier le wikicode]

     Si le corps totalement immergé dans le fluide est limité par la surface fermée , le « fluide déplacé » par le corps immergé[18] est le fluide que l’on pourrait « fictivement » mettre à la place du corps [19], limité par la même surface et qui resterait en équilibre avec le reste du fluide, comme le corps l'est.

En complément, démonstration du théorème d’Archimède[modifier | modifier le wikicode]

Principe de solidification[modifier | modifier le wikicode]

Début d'un axiome


     Commentaire : Ce principe de solidification s'applique aussi sur la surface limitant le corps , devenant, lors de la substitution de par le fluide déplacé [20], la surface qui sépare ce fluide fictif [20] du fluide réel présent avant substitution et,
     Commentaire : comme le fluide réel présent avant substitution reste exactement le même après cette dernière, il est logique d'admettre que le champ de pression y reste également le même, y compris sur la surface .

Centre d'inertie C du « fluide déplacé » (par le corps immergé)[modifier | modifier le wikicode]

     Le fluide déplacé [20] étant fictif, sa répartition de masse dans le cas où le fluide est hétérogène ne peut être précisée[21],
          Le fluide déplacé étant fictif, on ne peut alors pas définir son C.D.I[14]. par la connaissance de sa répartition de masse[22],
          Le fluide déplacé étant fictif, il faut donc supposer une répartition de masse du fluide déplacé [20] qui ne perturbe pas le champ de pression du fluide réel et c'est avec cette répartition de masse supposée de laquelle n'a pas besoin d'être explicitée[23] que l'on peut définir le C.D.I[14]. du fluide déplacé [20] sans qu'on ait besoin d'effectuer un positionnement de à partir de la répartition de masse non précisée de [23].

     En conclusion, nous appellerons « C.D.I[14]. du fluide déplacé [20] le barycentre du système de points »[24], « étant la masse volumique supposée du fluide déplacé [20] telle que le champ de pression du fluide réel soit le même qu'en présence de ».

Utilisation des conditions nécessaires d'équilibre du « fluide déplacé » par le corps immergé[modifier | modifier le wikicode]

     A priori, le fluide quelconque[17] étant au repos dans le référentiel d'étude galiléen et y restant quand le corps quelconque[16] y est totalement immergé, il faut supposer que ce dernier est également au repos[25] sinon le mouvement de dans le fluide créerait vraisemblablement un mouvement de ce dernier, à moins qu'il ne se soit parfait[26] ;
     lorsqu'on effectue l'opération fictive consistant à remplacer le corps par son fluide déplacé [20], ce dernier est alors naturellement en équilibre avec le reste réel du fluide [27].

Équilibre en translation[modifier | modifier le wikicode]

     Il n’y a que deux répartitions de forces extérieures s’exerçant sur le fluide déplacé [20] en équilibre avec le reste réel du fluide dans le champ de pesanteur terrestre uniforme :

  • la répartition des forces de pesanteur de résultante « le poids du fluide déplacé » et
  • la répartition des forces pressantes exercées par le reste réel du fluide sur la surface limitant le fluide déplacé [20] dont la résultante est «»[3]

     d’où une 1ère C.N[28]. d’équilibre du fluide déplacé [20] plongé dans le reste réel du fluide soumis au champ de pesanteur terrestre uniforme dans le référentiel galiléen où est au repos

«»[29]

«».

Équilibre en rotation[modifier | modifier le wikicode]

     Comme nous l'avons précisé dans le paragraphe précédent, il n’y a que deux répartitions de forces extérieures s’exerçant sur le fluide déplacé [20] en équilibre avec le reste réel du fluide dans le champ de pesanteur terrestre uniforme :

  • la répartition des forces de pesanteur de vecteur moment résultant en , C.D.I[14]. du fluide déplacé [20], nul «» les forces de pesanteur s'exerçant sur étant équivalentes à une force unique égale à leur résultante appliquée au C.D.I[14]. de et
  • la répartition des forces pressantes exercées par le reste réel du fluide sur la surface limitant le fluide déplacé [20] dont le vecteur moment résultant en , C.D.I[14]. du fluide déplacé [20], vaut «»[3]

     d’où une 2ème C.N[28]. d’équilibre du fluide déplacé [20] plongé dans le reste réel du fluide soumis au champ de pesanteur terrestre uniforme dans le référentiel galiléen où est au repos

«»[30]

«».

Application du principe de solidification[modifier | modifier le wikicode]

     D'après le principe de solidification, le champ de pression du fluide à l'extérieur du corps restant le même quand nous substituons fictivement ce dernier par le fluide déplacé [20],
     D'après le principe de solidification nous en déduisons que « les forces pressantes que le fluide exerce sur le corps totalement immergé dans le fluide au repos » sont les mêmes que « celles que le fluide exerce sur le fluide déplacé [20] » et en particulier
     D'après le principe de solidification nous en déduisons que elles ont « même résultante » c'est-à-dire «» et
     D'après le principe de solidification nous en déduisons que elles ont « même moment vectoriel résultant en C.D.I[14]. du fluide déplacé [20] » c'est-à-dire «» ;

     compte-tenu des deux C.N[28]. d’équilibre du fluide déplacé [20] plongé dans le reste réel du fluide soumis au champ de pesanteur terrestre uniforme dans le référentiel galiléen où est au repos «»[31] et «»[32] nous en déduisons :

  • la « résultante des forces pressantes que le fluide exerce sur le corps totalement immergé dans le fluide au repos » C.Q.F.D.P[33]. et
  • le « moment résultant vectoriel des forces pressantes que le fluide exerce sur le corps totalement immergé dans le fluide au repos, moment évalué en C.D.I[14]. du fluide déplacé [20] » C.Q.F.D.P[33]..

Extension pratique du domaine d'application du théorème d'Archimède[modifier | modifier le wikicode]

     Nous admettrons que le théorème d’Archimède[2] est encore applicable quand le corps , totalement immergé dans un fluide au repos dans le champ de pesanteur terrestre uniforme, est en mouvement pourvu que « le mouvement de ne perturbe pas le champ de pression que le fluide exerce sur »[34] et ceci est réalisé si la vitesse de déplacement du corps relativement au fluide reste très modérée.

Cas particulier du théorème d’Archimède appliqué à un corps indéformable, notion de poussée d’Archimède[modifier | modifier le wikicode]

Introduction[modifier | modifier le wikicode]

     Si le corps immergé est indéformable c'est-à-dire un solide au sens de la mécanique, le mouvement de et par suite son équilibre dans un champ de forces, dépendant uniquement
     Si le corps immergé est indéformable de la résultante du champ de forces et
     Si le corps immergé est indéformable du vecteur moment résultant de ce dernier,
     nous en déduisons que deux champs de forces de même résultante et même vecteur moment résultant ayant des actions identiques sur le corps immergé indéformable sont équivalents ;
     Si le corps immergé dans le cas présent d'un solide totalement immergé dans un fluide au repos dans le champ de pesanteur terrestre uniforme, le champ des forces de pression du fluide sur le solide ayant
     Si le corps immergé une résultante «» et
     Si le corps immergé un vecteur moment résultant nul au C.D.I[14]. du fluide déplacé [20] «»,
     Si le corps immergé constatant qu'« une force unique appliquée en égale à » a « même résultante et même vecteur moment résultant en que le champ des forces de pression du fluide sur le solide », nous en déduisons l'expression du théorème d'Archimède[2] appliqué à un corps indéformable.

Énoncé du théorème d'Archimède appliqué à un corps indéformable[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème
Fin du théorème

« 1ère application du théorème d’Archimède », aérostat[modifier | modifier le wikicode]

Définition d’un aérostat[modifier | modifier le wikicode]

Schéma d'un aérostat dans l'atmosphère terrestre et forces appliquées sur l'aérostat à l'altitude en mouvement vertical dans l'air au repos

     « Un aérostat est un ballon fermé, à enveloppe élastique, rempli d’un gaz moins dense que l'air en équilibre thermodynamique avec l'atmosphère[36], cette dernière étant globalement immobile dans le référentiel terrestre d'étude » ;

     usuellement une nacelle contenant du matériel embarqué pour mesures ou expériences est accroché au ballon ;

     nous considérerons le champ de pesanteur terrestre uniforme dans le référentiel terrestre galiléen et
     nous prendrons le modèle G.P[37]. de l'« atmosphère en équilibre dans le champ de pesanteur uniforme »[38] pour connaître la variation du champ de pression de l'atmosphère avec l'altitude.

But recherché[modifier | modifier le wikicode]

     Nous nous proposons de trouver la « condition de décollage de l'aérostat » en termes de quantité de gaz à utiliser compte-tenu de sa nature et de la masse de l'« ensemble “enveloppe élastique - nacelle et matériel embarqué” », dans les conditions locales de pression et température de l'atmosphère et, une fois ce dernier réussi,
     Nous nous proposons de voir l'« évolution de son mouvement » dans le cas d'un aérostat non motorisé encore appelé « ballon » ainsi que
     Nous nous proposons de voir l'« évolution de son enveloppe élastique » dans le cas d'un « ballon » en particulier la variation du volume limité par cette dernière avec les conséquences que sa variation éventuelle entraîne.

Notion de force ascensionnelle exercée sur l'aérostat à l’altitude z[modifier | modifier le wikicode]

     Dans ce paragraphe nous nous intéressons aux forces appliquées à l'aérostat hors de toutes forces motrices éventuellement utilisées pour engendrer un mouvement horizontal de l'aérostat c'est-à-dire aux seules forces appliquées sur un aérostat non motorisé encore appelé « ballon ».

     La « force ascensionnelle exercée sur l'aérostat à l'altitude » est la « résultante des forces appliquées sur l'aérostat non motorisé à cette altitude »,
     La « force ascension elle est effectivement ascensionnelle si sa projection sur un axe vertical ascendant est positive ;

     le bilan des forces appliquées sur l'aérostat non motorisé est, avec choix d'un vecteur unitaire vertical ascendant lié au référentiel terrestre galiléen et,
     le bilan des forces appliquées sur l'aérostat non motorisé est, dans l'hypothèse où l'aérostat n'est pas en mouvement ou,
     le bilan des forces appliquées sur l'aérostat non motorisé est, dans l'hypothèse où l'aérostat n'est pas en mouvement vertical à faible vitesse la force de résistance à l'avancement négligée dans le bilan de forces :

  • le poids de l’enveloppe, de la nacelle et du matériel embarqué «»,
  • le poids du gaz contenu dans l'enveloppe élastique «» et
  • la résultante des forces pressantes que l'atmosphère exerce sur l'aérostat «» seule force ascendante, dans laquelle est la masse d'atmosphère déplacée par l'aérostat[20] ;

     la force ascensionnelle exercée sur l'aérostat s'écrit donc «».

     Détermination de la masse d'atmosphère déplacée par l'aérostat[20] : notant la masse molaire moyenne de l'air, l'altitude du C.D.I[14]. de l'atmosphère déplacée par l'aérostat[20], le volume de l'aérostat, la pression moyenne de l'atmosphère[39] et la température de l'atmosphère, ces trois dernières grandeurs étant définies à l'altitude ,
          Détermination de la masse d'atmosphère déplacée par l'aérostat : nous déduisons, du modèle G.P[37]. adopté pour l'atmosphère et de la forme globale de l'équation d'état de ce modèle[40], la quantité d'atmosphère déplacée par l'aérostat[20] à l'altitude «» dans laquelle « est la constante molaire des G.P[37]. » et par suite,
          Détermination de la masse d'atmosphère déplacée par l'aérostat : nous déduisons, la masse d'atmosphère déplacée par l'aérostat[20] «».

     Lien entre la masse de gaz et les trois grandeurs thermodynamiques locales pression moyenne[39], température et volume de gaz : notant la masse molaire du gaz, le volume de gaz très légèrement inférieur au volume de l'aérostat mais confondu avec ce dernier vaut , l'équilibre thermodynamique entre l'aérostat et l'atmosphère de contact ayant pour conséquences que est aussi la pression moyenne du gaz[41] et assimilé à la température du gaz[42], ces trois dernières grandeurs étant définies à l'altitude ,
          Lien entre la masse de gaz et les trois grandeurs thermodynamiques locales pression moyenne, température et volume de gaz : nous déduisons, du modèle G.P[37]. adopté pour le gaz et de la forme globale de l'équation d'état de ce modèle[40], la quantité de gaz embarquée celle-ci étant constante «» dans laquelle « est la constante molaire des G.P[37]. » et par suite,
          Lien entre la masse de gaz et les trois grandeurs thermodynamiques locales pression moyenne, température et volume de gaz : nous déduisons, la masse de gaz embarquée également constante « » «».

     Masse d'atmosphère déplacée par l'aérostat[20] en fonction de la masse de gaz : reportant «» dans «» nous obtenons

«» c'est-à-dire une constante.

     Finalement la force ascensionnelle exercée sur l'aérostat à l'altitude se réécrivant selon

«»

     Finalement la force ascensionnelle est constante indépendante de l'altitude et
     Finalement la force ascensionnelle est effectivement ascensionnelle si la masse de gaz est suffisante par rapport à celle de l'« ensemble “enveloppe élastique - nacelle et matériel embarqué” ».

Condition de décollage[modifier | modifier le wikicode]

     Pour que l'aérostat décolle quand les amarres sont larguées, il faut que « la force ascensionnelle soit réellement dans le sens des altitudes au niveau du sol » c'est-à-dire «» ou

«» «».

     Numériquement, avec une masse de l'« ensemble “enveloppe élastique - nacelle et matériel embarqué” » ,
     Numériquement, avec une masse molaire moyenne de l'atmosphère ,
     Numériquement, avec l'utilisation d'hélium comme gaz moins dense que l'air une masse molaire de gaz ,
     Numériquement, la masse de gaz à stocker initialement est «» l'emploi du gaz le moins dense à savoir le dihydrogène de masse molaire conduirait à une masse minimale de gaz plus faible avec le dihydrogène on trouverait «» mais son emploi s'étant soldé par des accidents suffisamment spectaculaires dont celui du zeppelin LZ 129 Hindenburg le mai lors de son atterrissage à Lakehurst dans le New Jersey aux États-Unis d'Amérique du Nord, il fut prohibé par la suite ;

     au niveau du sol, la pression étant «» et la température «»[43], la constante molaire des G.P[37]. valant ,
     au niveau du sol, le volume limité par l’enveloppe du ballon doit être «» dont nous en déduisons
     au niveau du sol, le rayon du ballon limité par l'enveloppe élastique au niveau du sol «»[44] soit «» correspondant à
     au niveau du sol, un diamètre de «» au niveau du sol avec l'emploi de dihydrogène la masse de gaz à utiliser serait «», son volume au niveau du sol « » et le diamètre du ballon «».

Mouvement ascendant de l'aérostat et son évolution[modifier | modifier le wikicode]

     L'aérostat non motorisé étant soumis à une force ascensionnelle constante, on pourrait s'attendre à une accélération constante, mais il faut tenir compte de la résistance de l'air verticale descendante dans la mesure où le mouvement est vertical ascendant «» dans laquelle est la vitesse de l'aérostat à l'altitude et une fonction de [45],
     l'application du théorème du mouvement du C.D.I[14]. à l'aérostat non motorisé conduisant à l'accélération de ce dernier le long de l'axe vertical ascendant «» soit encore « » qui est tant que est entraînant une de , la diminution de l’accélération étant d’autant plus rapide que la vitesse est grande nous supposons que le mouvement de l'aérostat, même rapide, ne perturbe pas de façon importante l'expression de la résultante des forces pressantes de l'atmosphère c'est-à-dire que le théorème d'Archimède[2] reste applicable ;

     quand la force ascensionnelle est compensée par la résistance de l’air, le ballon continue son ascension à vitesse constante c’est la vitesse limite introduite dans le paragraphe « existence d'une vitesse limite de chute du parachutiste pratiquement accessible » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) », cette notion étant indépendante du sens du mouvement du corps.

     Dans l'hypothèse simplificatrice où il y a un équilibre thermique entre le gaz contenu dans l'aérostat et l'atmosphère environnant[42], le volume de gaz à l'altitude s'obtenant par utilisation de la forme globale de l'équation d'état du gaz[40] dans laquelle la quantité de gaz vaut s'écrit «» et par suite avec l'altitude en effet :

  • si le modèle de l’atmosphère isotherme a été choisi, la pression moyenne de l'atmosphère à l'altitude [39] c'est-à-dire quand et
  • si le modèle de l'atmosphère à gradient de température constant à raison d’une de température de par a été choisi, la pression moyenne de l'atmosphère à l'altitude [39] s’écrit « » avec ou «» avec voir le paragraphe « évaluation du champ de pression (dans le modèle de l'atmosphère à gradient de température constant) » du chap. de la leçon « Statique des fluides (PCSI) » soit, sachant que «» «» soit finalement «» avec et d'où « fonction de l'altitude » ;

     dans les modèles d'atmosphère envisagés ci-dessus avec condition simplificatrice d'équilibre thermique entre le gaz contenu dans l'aérostat et l'atmosphère environnant[42],
     dans les modèles d'atmosphère envisagés ci-dessus la du volume de gaz avec l'altitude s'accompagnant d'un accroissement de la tension de l'enveloppe élastique,
     dans les modèles d'atmosphère envisagés ci-dessus on en déduit la sortie de l'enveloppe de son domaine d'élasticité, la poursuite de son gonflement irréversible et l'entrée dans son domaine de rupture d'où
     dans les modèles d'atmosphère envisagés ci-dessus on en déduit l'explosion de l'aérostat à une altitude dépendant essentiellement des qualités de résistance à la rupture de l'enveloppe élastique[46]

« 2ème application du théorème d’Archimède », montgolfière[modifier | modifier le wikicode]

Définition d’une montgolfière[modifier | modifier le wikicode]

Schéma de montgolfière[47] dans l'atmosphère terrestre et forces appliquées sur la montgolfière[47] à l'altitude en mouvement vertical dans l'air au repos

     « Une montgolfière[47] est un ballon ouvert, de volume intérieur constant, rempli d’air chauffé par un brûleur en équilibre mécanique[48] mais non thermique avec l’atmosphère, cette dernière étant globalement immobile dans le référentiel terrestre d'étude » ;

     une nacelle contenant du matériel embarqué pour mesures ou expériences et au moins un humain pour piloter la montgolfière[47] est accroché au ballon ;

     nous considérerons le champ de pesanteur terrestre uniforme dans le référentiel terrestre galiléen et
     nous prendrons le modèle G.P[37]. de l'« atmosphère en équilibre dans le champ de pesanteur uniforme »[38] pour connaître la variation du champ de pression de l'atmosphère avec l'altitude.

But recherché[modifier | modifier le wikicode]

     Nous nous proposons de trouver la « condition de décollage de la montgolfière »[47] en termes de différentiel de température à imposer à l'air stagnant dans le ballon ouvert relativement à l'air extérieur pour une masse de l'« ensemble “ballon ouvert - nacelle - matériel et humains embarqués” », dans les conditions locales de pression et température de l'atmosphère et, une fois ce dernier réussi,
     Nous nous proposons de voir « comment adapter le différentiel de température à imposer à l'air stagnant dans le ballon ouvert relativement à l'air extérieur compte-tenu de l’évolution souhaitée du mouvement de la montgolfière »[47].

Notion de force ascensionnelle exercée sur la montgolfière à l’altitude z[modifier | modifier le wikicode]

     La « force ascensionnelle exercée sur la montgolfière[47] à l'altitude » est la « résultante des forces qui lui sont appliquées à cette altitude »,
     La « force ascension elle est effectivement ascensionnelle si sa projection sur un axe vertical ascendant est positive ;

     le bilan des forces appliquées sur la montgolfière[47] est, avec choix d'un vecteur unitaire vertical ascendant lié au référentiel terrestre galiléen et,
           le bilan des forces appliquées sur la montgolfière est, dans l'hypothèse où la montgolfière[47] n'est pas en mouvement ou,
                 le bilan des forces appliquées sur la montgolfière est, dans l'hypothèse où la montgolfière n'est pas en mouvement vertical à faible vitesse la force de résistance à l'avancement négligée dans le bilan de forces :

  • le poids du ballon ouvert, de la nacelle, du matériel et des humains embarqués «»,
  • le poids de l'air intérieur au ballon ouvert «» et
  • la résultante des forces pressantes que l'atmosphère exerce sur la montgolfière[47] «» seule force ascendante, dans laquelle est la masse d'atmosphère déplacée par la montgolfière[47][20] ;

     la force ascensionnelle exercée sur la montgolfière[47] s'écrit donc «».

     Détermination de la masse d'atmosphère déplacée par la montgolfière[47][20] : notant la masse molaire moyenne de l'air, l'altitude du C.D.I[14]. de l'atmosphère déplacée par la montgolfière[47][20], le volume de la montgolfière[47], la pression moyenne de l'atmosphère[39] et la température de l'atmosphère, ces deux dernières grandeurs étant définies à l'altitude ,
                Détermination de la masse d'atmosphère déplacée par la montgolfière : nous déduisons, du modèle G.P[37]. adopté pour l'atmosphère et de la forme globale de l'équation d'état de ce modèle[40], la quantité d'atmosphère déplacée par la montgolfière[47][20] à l'altitude «» dans laquelle « est la constante molaire des G.P[37]. » et par suite,
                 Détermination de la masse d'atmosphère déplacée par la montgolfière : nous déduisons, la masse d'atmosphère déplacée par la montgolfière[47][20] « ».

     Lien entre la masse d'air intérieur au ballon ouvert et les deux grandeurs thermodynamiques locales pression moyenne[39], température d'air : notant la masse molaire moyenne de l'air, le volume d'air très légèrement inférieur au volume de la montgolfière[47] mais confondu avec ce dernier vaut , l'équilibre mécanique entre l'air du ballon ouvert et l'atmosphère de contact ayant pour conséquence que est aussi la pression moyenne de l'air contenu dans le ballon ouvert[49], étant la température de l'air contenu dans le ballon ouvert celle-ci étant supposée uniforme dans le ballon, ces deux dernières grandeurs étant définies à l'altitude ,
          Lien entre la masse d'air intérieur au ballon ouvert et les deux grandeurs thermodynamiques locales pression moyenne, température d'air : nous déduisons, du modèle G.P[37]. adopté pour l'air intérieur au ballon ouvert et de la forme globale de l'équation d'état de ce modèle[40], la quantité d'air contenu dans le ballon ouvert à l'altitude «» dans laquelle « est la constante molaire des G.P[37]. » et par suite,
           Lien entre la masse d'air intérieur au ballon ouvert et les deux grandeurs thermodynamiques locales pression moyenne, température d'air : nous déduisons, la masse d'air contenu dans le ballon ouvert à l'altitude «» laquelle est à la masse d'atmosphère déplacée par la montgolfière[47] , puisque est à la température locale de l'atmosphère , plus exactement .

     Finalement la force ascensionnelle exercée sur la montgolfière[47] à l'altitude se réécrivant selon

«
»    

     Finalement la force ascensionnelle est effectivement ascensionnelle mais visiblement non constante sous deux C.N[28].
     Finalement la force ascensionnelle est effectivement ascensionnelle un volume intérieur au ballon ouvert suffisant relativement à la masse de l'« ensemble “ballon ouvert - nacelle - matériel et humains embarqués” » dans les conditions atmosphériques de l'altitude c'est-à-dire «»[50] et
     Finalement la force ascensionnelle est effectivement ascensionnelle une température de l'air contenu dans le ballon ouvert suffisante relativement à la masse de l'« ensemble “ballon ouvert - nacelle - matériel et humains embarqués” » dans les conditions atmosphériques de l'altitude c'est-à-dire «»[51].

Condition de décollage[modifier | modifier le wikicode]

     Pour que la montgolfière[47] décolle quand les amarres sont larguées, il faut que « la force ascensionnelle soit réellement dans le sens des altitudes au niveau du sol » c'est-à-dire «» ce qui donne les conditions équivalentes suivantes

«» «» oe encore
«» «».

     Commentaire sur la condition de décollage au niveau du sol : remarquant que « est la quantité d'air stagnant dans le ballon ouvert de la montgolfière[47] à la température de l’air extérieur » et par suite que « est la masse d'air stagnant dans le ballon ouvert de la montgolfière[47] avant chauffage notée », la condition de décollage de la montgolfière[47] au niveau du sol nécessite que l'air stagnant dans le ballon ouvert de la montgolfière[47] soit porté à une température «» ;
     Commentaire sur la condition de décollage au niveau du sol : cette dernière formulation de la condition de décollage montre que la masse d'air introduite dans le ballon ouvert doit être, avant chauffage, plus grande que la masse de l'« ensemble “ballon ouvert - nacelle - matériel et humains embarqués” » de façon à ce que le dénominateur du 2ème membre soit mais aussi
     Commentaire sur la condition de décollage au niveau du sol : cette dernière formulation de la condition de décollage montre que la température minimale de chauffage de l'air initialement introduit dans le ballon ouvert sera d’autant moins élevée que le rapport sera grand plus ce rapport est grand, plus le dénominateur du 2ème membre de la dernière formulation de la condition de décollage de la montgolfière[47] au niveau du sol est grand.

     Numériquement, avec une masse de l'« ensemble “ballon ouvert - nacelle - matériel et humains embarqués” » ,
     Numériquement, avec une masse molaire moyenne de l'atmosphère , la constante molaire des G.P[37]. valant ,
     Numériquement, avec des conditions locales d'atmosphère au niveau du sol correspondant à une température «»[43] et une pression moyenne[39] «»,
     Numériquement, souhaitant porter la température de l'air initialement introduit dans le ballon ouvert quand ce dernier est au niveau du sol à la valeur «»[52],[53], nous en déduisons

     Numériquement, la condition sur la « masse d'air contenu dans le ballon ouvert avant chauffage » par «» ou encore «» soit «»[54] correspondant à
     Numériquement, la « quantité d'air contenu dans le ballon ouvert avant chauffage » soit «»[55] dont nous tirons, par utilisation de l'équation d'état d'un G.P[37]. sous sa forme globale[40],
     Numériquement, le « volume d'air contenu dans le ballon ouvert dans les conditions atmosphériques locales au niveau du sol » soit « »[56] ce qui donne, pour contenance du ballon ouvert, la valeur minimale de «» c'est-à-dire, avec l'hypothèse d'une forme sphérique pour l'enveloppe du ballon ouvert,
     Numériquement, un rayon minimal du ballon ouvert valant «»[44] soit un « diamètre minimal de »[57].

Mouvement ascendant de la montgolfière et son évolution[modifier | modifier le wikicode]

     Après le largage des amarres retenant la montgolfière[47] au sol, la force ascensionnelle «» initialement dans le sens des dans la mesure où la condition de décollage est réalisée une accélération initiale ascendante de la montgolfière[47] et par suite un mouvement vertical ascendant à vitesse initialement

     Dans une 1ère étude simplifiée dans laquelle est faite l'hypothèse que « est maintenu constant quand »[58], nous constatons que la « composante verticale dans le sens des de la force ascensionnelle quand » et ceci tant que l'hypothèse « est maintenu constant »,
           Dans une 1ère étude simplifiée dans laquelle est faite l'hypothèse que « est maintenu constant quand », « cessant de quand sa valeur devient nulle dont la conséquence est que la montgolfière[47] atteint un plafond »[59].

     Dans une 2nde étude avec « non maintenu constant quand », la « variation, quand , de la composante verticale ascendante de la force ascensionnelle ne peut pas être déterminée sans autre hypothèse » car, si la pression moyenne atmosphérique[39] quand , la variation de l'autre facteur n'est pas a priori connu ;
     Dans une 2nde étude avec « non maintenu constant quand », « si quand »[60], la « composante verticale, dans le sens des , de la force ascensionnelle » ce qui, si la perdure, conduira à sa nullité temporaire et par suite à un « plafond[61] temporaire[62] pour la montgolfière »[47],
     Dans une 2nde étude avec « non maintenu constant quand », « si est approximativement constant ou quand »[63], la « composante verticale, dans le sens des , de la force ascensionnelle » est néanmoins, vraisemblablement, [64] ce qui, dans le cas où la conjecturée perdure, conduira à sa nullité temporaire et par suite à un « plafond[61] temporaire[62] pour la montgolfière »[47]

     En conclusion, dans le cadre d'une étude simplifiée ou un peu plus élaborée et, en absence de réchauffage ou de ventilation de l'air contenu dans le ballon ouvert, la « composante verticale, dans le sens des , de la force ascensionnelle étant approximativement quand à partir d'une valeur initialement condition pour que la montgolfière[47] décolle s'annule », ce qui conduit à un « plafond[61] temporaire[62] pour la montgolfière »[47]

Pilotage de la montgolfière[modifier | modifier le wikicode]

     Le pilote de la montgolfière[47] pouvant inverser en quelques secondes le sens de variation de la force ascensionnelle «» exercée sur la montgolfière[47] en modifiant la « température de l'air contenu dans le ballon ouvert », nous en déduisons, pour un pilote qualifié et en absence de mouvements notables d'air dans l'atmosphère[65], une certaine précision dans un vol de montgolfière[47] :

  • si le pilote ayant atteint un niveau d'altitude c'est-à-dire un plafond[61] temporaire[62] souhaite rester à ce niveau, il doit régulièrement chauffer l’air intérieur pour maintenir la température et ainsi conserver la nullité de la force ascensionnelle ,
  • si le pilote             ayant atteint un niveau d'altitude c'est-à-dire un plafond temporaire souhaite reprendre l’ascension de la montgolfière[47], il doit au contraire maintenir le chauffage de l'air intérieur pour que la température de ce dernier la force ascensionnelle est de nouveau dans le sens des une remontée de la montgolfière[47] jusqu'à un niveau plus élevé d'altitude c'est-à-dire un nouveau plafond[61] temporaire[62] à une altitude plus élevée l'ascension de la montgolfière[47] entraînant une de jusqu'à la nullité de cette dernière voir la conclusion du paragraphe « mouvement ascendant de la montgolfière et son évolution » plus haut dans ce chapitre,
  • si le pilote             ayant atteint un niveau d'altitude c'est-à-dire un plafond temporaire souhaite redescendre, il « ventile »[66] l’intérieur du ballon ouvert de la montgolfière[47] pour faire la température de l'air intérieur plus rapidement que par simple échange thermique avec l’extérieur la force ascensionnelle passe dans le sens des c'est-à-dire devient « descensionnelle » une descente de la montgolfière[47] jusqu'à un niveau moins élevé d'altitude c'est-à-dire un nouveau plafond[61] temporaire[62] à une altitude moins élevée la descente de la montgolfière[47] entraînant une de jusqu'à la nullité de cette dernière voir la conclusion du paragraphe « mouvement ascendant de la montgolfière et son évolution » plus haut dans ce chapitre, il s'agit d'ailleurs de la méthode utilisée pour réaliser un atterrissage[67].

« 3ème application du théorème d’Archimède », stabilité de la flottaison des navires[modifier | modifier le wikicode]

3ème application du théorème d'Archimède[2] d'une liste non exhaustive d'applications.

Exposé du problème[modifier | modifier le wikicode]

     Un navire, a priori indéformable, pouvant être considéré totalement immergé dans deux fluides différents « l'air et l'eau » supposés au repos dans le référentiel terrestre,
     Un navire, a priori indéformable, il est possible de lui appliquer la forme réservée aux corps indéformables du théorème d'Archimède[2][68] explicitant que le « système des forces pressantes » est équivalent à une « force unique appelée poussée d'Archimède[2] » égale à l’opposé du poids de « fluides déplacés »[20],[69] appliquée au « centre d'inertie de ces derniers appelé centre de poussée ».

     Expression de la poussée d'Archimède[2] : la poussée d'Archimède[2] exercée sur le navire étant l'opposée du poids des fluides déplacés[20],[69] c'est-à-dire l'opposée de la somme du poids d'eau et de celui d'air respectivement déplacés[20],[69] mais « ce dernier étant de norme négligeable par rapport à celle du 1er »[70], nous en déduisons que
         Expression de la poussée d'Archimède : la poussée d'Archimède[2] exercée sur le navire s'exprime, de façon approchée[71], par l'opposé du poids d'eau déplacé[20] soit, avec la masse volumique de l'eau et le volume de la partie de navire au-dessous de la surface de flottaison, l'expression approchée suivante de la poussée d'Archimède[2] exercée sur le navire

«»
avec vecteur vertical unitaire ascendant.

     Positionnement du centre de poussée : le centre de poussée étant le C.D.I[14]. des fluides déplacés[20],[69] c'est-à-dire le barycentre du C.D.I[14]. de l'eau et de celui de l'air respectivement déplacés[20],[69] affectés de leur masse[72] mais « celle de ce dernier étant de valeur négligeable par rapport à celle du 1er »[70], nous en déduisons que
     Positionnement du centre de poussée : le centre de poussée se réduit pratiquement[71] au C.D.I[14]. de l'eau déplacée[20] soit, avec l'expansion tridimensionnelle de l'eau déplacée[20] ou de la partie de navire sous la surface de flottaison et un point fixe de cette dernière, l'expression approchée du positionnement du centre de poussée ,

«»[73].

.      Dans ce qui suit, nous nous limitons à l'étude de l'équilibre du navire relativement à l'eau supposée au repos dans le référentiel terrestre galiléen[74].

Étude de la stabilité par rapport aux translations verticales[modifier | modifier le wikicode]

     Le navire est en équilibre quand la poussée d’Archimède[2] «» compense le poids du navire «»,
     Le navire est en équilibre la C.N[28]. d'équilibre en translation se réécrivant «» définit le volume d'eau déplacée[20] à l'équilibre et par suite
           Le navire est en équilibre la C.N. d'équilibre en translation se réécrivant «» définit la surface de flottaison quand celle-ci existe :

     Le navire est en équilibre si une perturbation extérieure de très faible durée crée une pénétration plus importante du navire dans l'eau c'est-à-dire si le « volume d'eau déplacée[20] est au volume d'eau déplacée[20] à l'équilibre », « la composante sur l'axe vertical ascendant de la poussée d’Archimède[2] est à celle de la poussée d’Archimède[2] à l'équilibre » alors que « celle du poids du navire reste constante », nous en déduisons que
     Le navire est en équilibre si une perturbation extérieure de très faible durée crée une pénétration plus importante du navire dans l'eau « la composante sur l'axe vertical ascendant de la résultante des forces s'exerçant sur le navire après perturbation est » entraînant un déplacement spontané du navire vers le haut c'est-à-dire « un retour vers la position d’équilibre »[75],

     Le navire est en équilibre si une perturbation extérieure de très faible durée crée une élévation du navire dans l'eau c'est-à-dire si le « volume d'eau déplacée[20] est au volume d'eau déplacée[20] à l'équilibre », « la composante sur l'axe vertical ascendant de la poussée d’Archimède[2] est à celle de la poussée d’Archimède[2] à l'équilibre » alors que « celle du poids du navire reste constante », nous en déduisons que
     Le navire est en équilibre si une perturbation extérieure de très faible durée crée une élévation du navire dans l'eau « la composante sur l'axe vertical ascendant de la résultante des forces s'exerçant sur le navire après perturbation est » entraînant un déplacement spontané du navire vers le bas c'est-à-dire « un retour vers la position d’équilibre »[76].

« L’équilibre du navire est donc stable vis à vis des translations verticales ».

Condition nécessaire sur les places respectives du centre de poussée et du centre de d’inertie du navire pour une stabilité vis à vis des rotations (roulis et tangage)[modifier | modifier le wikicode]

     À l'équilibre, le navire n'est soumis qu'à deux forces extérieures verticales « la poussée d'Archimède[2] et le poids du navire »,
     À l'équilibre, de la C.N[28]. d'équilibre en rotation nous déduisons que le centre de poussée point d'application de la poussée d'Archimède[2] et le C.D.I.[14] du navire point d'application du poids du navire doivent être sur la même verticale de façon à ce que la somme des moments vectoriels du poids et de la poussée d’Archimède relativement à soit nul, en effet
          À l'équilibre, de la C.N. d'équilibre en rotation « » ce qui est réalisé si « a même direction que » c'est-à-dire verticale.

     À l'équilibre, Cette C.N[28]. d'équilibre en rotation nous donne trois cas de figures : « et confondus »,
           À l'équilibre, Cette C.N. d'équilibre en rotation nous donne trois cas de figures : « sur la verticale de au-dessus de ce dernier » et
           À l'équilibre, Cette C.N. d'équilibre en rotation nous donne trois cas de figures : « sur la verticale de au-dessous de ce dernier » :

           À l'équilibre, Cette C.N. d'équilibre en rotation « et confondus », équilibre en rotation indifférent, évidemment à rejeter pour un navire[77]

     Stabilité ou instabilité de l'équilibre d'un navire relativement au roulis :

Schéma de position d'équilibre stable d'un navire relativement au roulis
Schéma de justification de stabilité d'équilibre d'un navire relativement au roulis avec axe vertical ascendant non représenté

            « sur la verticale de au-dessus de ce dernier » voir schéma d'équilibre ci-contre à gauche :

            « sur la verticale de au-dessus de ce dernier » si une perturbation extérieure écarte le navire de cette position d’équilibre d’un « petit angle » dans un plan à la « direction poupe[78] - proue[79] » voir schéma ci-contre à droite dans lequel nous supposons que le navire est géométriquement symétrique par rapport au plan contenant l'« axe poupe[78] - proue[79] » et au pont supérieur l'invariance du volume d'eau déplacée[20] dans la mesure où le centre de poussée demeure au même niveau par rapport à la surface de flottaison et par suite l'invariance de la norme de la poussée d'Archimède[2] restant égale à , la somme des moments vectoriels du poids et de la poussée d’Archimède relativement à s'écrivant «» est de sens tel que le navire revient spontanément à sa position d'équilibre avec sur le schéma de droite, le moment vectoriel résultant dynamique tend à faire tourner le navire autour de dans le sens «» d'après le théorème du moment cinétique vectoriel relativement au C.D.I[14]. [80] d'où équilibre stable en roulis ;
           À l'équilibre, Cette C.N. d'équilibre en rotation « sur la verticale de au-dessus de ce dernier » remarque : nous admettons que la stabilité de l'équilibre en roulis du navire reste valable en pratique même si ce dernier n'est pas géométriquement symétrique par rapport au plan contenant l'« axe poupe[78] - proue[79] » et au pont supérieur du navire mais
           À l'équilibre, Cette C.N. d'équilibre en rotation « sur la verticale de au-dessus de ce dernier » remarque : nous admettons dans ce cas, avec une perturbation extérieure écartant le navire de la position d’équilibre d’un « petit angle » dans un plan à la « direction poupe[78] - proue[79] », le volume d'eau déplacée[20] fluctuant par rapport à sa valeur d'équilibre, que le centre de poussée reste ou non au même niveau par rapport à la surface de flottaison, il en est de même de la norme de la poussée d'Archimède[2] par rapport à sa valeur d'équilibre
           À l'équilibre, Cette C.N. d'équilibre en rotation « sur la verticale de au-dessus de ce dernier » remarque : nous admettons dans ce cas, l'existence d'une résultante dynamique tendant à ramener le navire à sa position d'équilibre en translation ainsi qu'à celle d'un moment vectoriel résultant dynamique par rapport à tendant à ramener le navire à sa position d'équilibre en roulis

Schéma de position d'équilibre instable d'un navire relativement au roulis
Schéma de justification d'instabilité d'équilibre d'un navire relativement au roulis avec axe vertical descendant non représenté

            « sur la verticale de au-dessous de ce dernier » voir schéma d'équilibre ci-contre à gauche :

            « sur la verticale de au-dessous de ce dernier » si une perturbation extérieure écarte le navire de cette position d’équilibre d’un « petit angle » dans un plan à la « direction poupe[78] - proue[79] » voir schéma ci-contre à droite dans lequel nous supposons que le navire est géométriquement symétrique par rapport au plan contenant l'« axe poupe[78] - proue[79] » et au pont supérieur l'invariance du volume d'eau déplacée[20] dans la mesure où le centre de poussée demeure au même niveau par rapport à la surface de flottaison et par suite l'invariance de la norme de la poussée d'Archimède[2] restant égale à , la somme des moments vectoriels du poids et de la poussée d’Archimède relativement à s'écrivant « » est de sens tel que le navire s'éloigne spontanément de sa position d'équilibre avec sur le schéma de droite, le moment vectoriel résultant dynamique tend à faire tourner le navire autour de dans le sens «» d'après le théorème du moment cinétique vectoriel relativement au C.D.I[14]. [80] d'où équilibre instable en roulis ;
           À l'équilibre, Cette C.N. d'équilibre en rotation « sur la verticale de au-dessous de ce dernier » remarque : nous admettons que l'instabilité de l'équilibre en roulis du navire reste valable en pratique même si ce dernier n'est pas géométriquement symétrique par rapport au plan contenant l'« axe poupe[78] - proue[79] » et au pont supérieur du navire mais
           À l'équilibre, Cette C.N. d'équilibre en rotation « sur la verticale de au-dessous de ce dernier » remarque : nous admettons dans ce cas, avec une perturbation extérieure écartant le navire de la position d’équilibre d’un « petit angle » dans un plan à la « direction poupe[78] - proue[79] », le volume d'eau déplacée[20] fluctuant par rapport à sa valeur d'équilibre, que le centre de poussée reste ou non au même niveau par rapport à la surface de flottaison, il en est de même de la norme de la poussée d'Archimède[2] par rapport à sa valeur d'équilibre
           À l'équilibre, Cette C.N. d'équilibre en rotation « sur la verticale de au-dessous de ce dernier » remarque : nous admettons dans ce cas, l'existence d'une résultante dynamique qui tendrait à ramener le navire à sa position d'équilibre en translation mais surtout à celle d'un moment vectoriel résultant dynamique par rapport à tendant à éloigner le navire de sa position d'équilibre en roulis et par suite à un retournement du navire

     Stabilité ou instabilité de l'équilibre d'un navire relativement au tangage : tout ce qui a été exposé ou presque sur la stabilité ou l'instabilité de l'équilibre d'un navire relativement au roulis peut être répété pour l'étude de l'équilibre d'un navire relativement au tangage toutefois il n'y a usuellement pas symétrie géométrique du navire par rapport au plan contenant l'« axe babord[81] - tribord[82] passant par » et au pont supérieur, et par suite, avec une perturbation extérieure écartant le navire de la position d’équilibre d’un « petit angle » dans le plan vertical contenant l'« axe poupe[78] - proue[79] », le volume d'eau déplacée[20] fluctue par rapport à sa valeur d'équilibre, que le centre de poussée reste ou non au même niveau par rapport à la surface de flottaison et il en est de même de la norme de la poussée d'Archimède[2] par rapport à sa valeur d'équilibre , il conviendrait donc de calquer le raisonnement sur la remarque faite dans chaque cas « sur la verticale de au-dessus de ce dernier » et « sur la verticale de au-dessous de ce dernier » mais nous admettrons le résultat :
     Stabilité ou instabilité de l'équilibre d'un navire relativement au tangage : en conclusion « sur la verticale de au-dessus de ce dernier » : équilibre stable en tangage et en translation,
     Stabilité ou instabilité de l'équilibre d'un navire relativement au tangage : en conclusion « sur la verticale de au-dessous de ce dernier » : équilibre instable en tangage et bien qu'il soit stable en translation, cette stabilité ne peut pas être observée à cause du retournement du navire.

     Remarque : lors de la construction d'un navire et pour que le centre de poussée soit à un niveau au-dessus du C.D.I[14]. du navire, on procède à un alourdissement de la quille de ce dernier de façon à ce que soit nettement déplacé vers le bas, ce qui permet d'assurer une stabilité de l'équilibre en roulis ainsi qu'en tangage, et si ces stabilités sont déjà réalisées, d'améliorer ces dernières

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. Voir l'« introduction du paragraphe produit vectoriel de deux vecteurs (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  2. 2,00 2,01 2,02 2,03 2,04 2,05 2,06 2,07 2,08 2,09 2,10 2,11 2,12 2,13 2,14 2,15 2,16 2,17 2,18 2,19 2,20 2,21 2,22 2,23 2,24 2,25 2,26 2,27 et 2,28 Archimède de Syracuse (vers 287 avant J.C. - 212 avant J.C.) physicien, mathématicien et ingénieur grec de Sicile Grande-Grèce, considéré comme l'un des principaux scientifiques de l'Antiquité classique ;
       on lui doit, dans le domaine de la physique, des résultats en hydrostatique, en statique des solides et l'explication du principe du levier ;
       en tant qu'ingénieur, il est crédité de plusieurs outils innovants comme la vis d'Archimède ;
       il est considéré comme le plus grand mathématicien de l'Antiquité et comme l'un des plus grands de tous les temps, on lui doit l'emploi de la méthode d'exhaustion pour calculer l'aire sous un arc de parabole, un encadrement de avec une remarquable précision, l'introduction de la spirale qui porte son nom, des formules évaluant les volumes d'expansions tridimensionnelles limitées par des surfaces de révolution
  3. 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 et 3,5 Voir le paragraphe « les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  4. Une base directe, dans un espace orienté à droite voir l'« introduction du paragraphe produit vectoriel de deux vecteurs (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », s'obtient en utilisant la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « 12 » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  5. Longueur du parallèle de colatitude , le rayon du parallèle étant multipliée par la largeur de la couronne .
  6. Voir la justification dans la note « 67 » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  7. 7,00 7,01 7,02 7,03 7,04 7,05 7,06 7,07 7,08 et 7,09 Le « fluide déplacé » étant le fluide de même expansion tridimensionnelle que le corps et en la même position.
  8. 8,0 et 8,1 Le corps doit être « indéformable » pour que le système des forces pressantes soit équivalente à sa résultante car
                     dans la mesure où le corps est déformable, la déformation locale de ce dernier ne pouvant se justifier que par la disposition des forces pressantes à l'endroit où la modification de surface est envisagée n'est nullement contenue dans la résultante des forces pressantes d'où la non équivalence.
  9. C.-à-d. de direction passant par le pôle du repérage sphérique de .
  10. 10,0 et 10,1 Voir le paragraphe « complément : changement d'origine de calcul du vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » applicable également pour un système partiel de forces extérieures.
  11. étant colinéaire à «» et par suite «».
  12. 12,0 et 12,1 Le corps subissant les systèmes de forces doit être « indéformable » pour que ces systèmes de forces soient déterminés par leurs résultante et moment résultant vectoriel car
                        dans la mesure où le corps est déformable, la déformation locale de ce dernier ne pouvant se justifier que par la disposition des forces à l'endroit où la modification de surface est envisagée n'est nullement contenue dans la résultante et le moment résultant vectoriel des forces d'où la non équivalence.
  13. On choisit comme point d'application de la force unique égale à mais le résultat d'équivalence serait encore valable si la force unique était appliquée en tout point de la verticale passant par car étant colinéaire à la force unique , « s'identifie donc à » d'où même résultante et même moment résultant vectoriel en que le point d'application de la force unique soit ou sur la verticale passant par .
       On choisit plutôt que tout autre point sur la verticale passant par comme point d'application de la force unique égale à car est le centre d'inertie du « fluide déplacé » voir signification dans la note « 7 » plus haut dans ce chapitre tout comme on choisit le centre d'inertie d'un corps indéformable comme point d'application de la force unique appelée « poids » égale à la résultante des forces de pesanteur et équivalente à la répartition de ces forces de pesanteur bien que l'équivalence serait aussi vérifiée si la force unique appelée « poids » avait pour point d'application un point quelconque de la verticale passant par
  14. 14,00 14,01 14,02 14,03 14,04 14,05 14,06 14,07 14,08 14,09 14,10 14,11 14,12 14,13 14,14 14,15 14,16 14,17 14,18 14,19 14,20 14,21 et 14,22 Centre D'Inertie.
  15. Toutefois une évolution globale ou locale de la température des différentes parties constituant le fluide doit être établie très lentement de façon à permettre l'établissement d'un équilibre thermique entre le fluide et le corps immergé la mise à l'équilibre thermique étant nettement plus lente que celle à l'équilibre mécanique, cette dernière se faisant quasi-instantanément, voir le paragraphe « évolution d'un système en liaison avec un thermostat ou évolution monotherme (remarque) » du chap. de la leçon « Thermodynamique (PCSI) », équilibre indispensable dans le cadre de la statique des fluides.
  16. 16,0 16,1 et 16,2 C.-à-d. un corps de forme quelconque pouvant éventuellement être hétérogène et déformable.
  17. 17,0 17,1 17,2 et 17,3 C.-à-d. un fluide pouvant donc être compressible et hétérogène.
  18. Ce qui est entre accolades étant le plus souvent omis.
  19. Il s'agit de remplacer par la pensée le corps par du fluide et nullement d'un ajout réel de fluide à la place du corps
  20. 20,00 20,01 20,02 20,03 20,04 20,05 20,06 20,07 20,08 20,09 20,10 20,11 20,12 20,13 20,14 20,15 20,16 20,17 20,18 20,19 20,20 20,21 20,22 20,23 20,24 20,25 20,26 20,27 20,28 20,29 20,30 20,31 20,32 20,33 20,34 20,35 20,36 20,37 20,38 20,39 20,40 20,41 20,42 20,43 20,44 20,45 20,46 20,47 20,48 20,49 20,50 et 20,51 Voir le paragraphe « précision sur la notion de fluide déplacé (par le corps immergé) » plus haut dans ce chapitre.
  21. Par contre, dans le cas où le fluide est homogène, le fluide déplacé l'est également de même masse volumique que la répartition de masse du fluide déplacé est alors connue.
  22. Par contre, comme cela a été précisé dans la note « 21 » plus haut dans ce chapitre, dans le cas où le fluide est homogène, la répartition de masse du fluide déplacé étant connue, son centre d'inertie C.D.I. est déterminé par sa définition ou propriété usuelle voir le paragraphe « centre d'inertie d'un système (discret) fermé de points matériels (remarque) » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  23. 23,0 et 23,1 Toutefois, dans le cas où le fluide est homogène et d'après la note « 21 » plus haut dans ce chapitre, la répartition de masse de est connue, étant de même masse volumique que celle de  ;
                        Toutefois, dans le cas où le fluide est homogène et d'après la note « 22 » plus haut dans ce chapitre, le centre d'inertie C.D.I. de peut être déterminé par sa définition ou propriété usuelle voir le paragraphe « centre d'inertie d'un système (discret) fermé de points matériels (remarque) » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  24. Voir le paragraphe « barycentre d'un système continu de points décrivant une expansion tridimensionnelle continue en chacun desquels est affectée une denisté volumique de cœfficient continue par morceaux » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  25. Par exemple en supposant qu'une force extérieure particulière le maintient dans cette position
  26. C.-à-d. sans viscosité ce qui n'est pas supposé dans l'application du théorème d'Archimède voir le paragraphe « théorème d'Archimède » plus haut dans ce chapitre ;
       Archimède de Syracuse (vers 287 avant J.C. - 212 avant J.C.) physicien, mathématicien et ingénieur grec de Sicile Grande-Grèce, considéré comme l'un des principaux scientifiques de l'Antiquité classique ;
       on lui doit, dans le domaine de la physique, des résultats en hydrostatique, en statique des solides et l'explication du principe du levier ;
       en tant qu'ingénieur, il est crédité de plusieurs outils innovants comme la vis d'Archimède ;
       il est considéré comme le plus grand mathématicien de l'Antiquité et comme l'un des plus grands de tous les temps, on lui doit l'emploi de la méthode d'exhaustion pour calculer l'aire sous un arc de parabole, un encadrement de avec une remarquable précision, l'introduction de la spirale qui porte son nom, des formules évaluant les volumes d'expansions tridimensionnelles limitées par des surfaces de révolution
  27. Si le corps est au repos dans le fluide parce qu'il est maintenu dans cette position par une force extérieure particulière voir note « 25 » plus haut dans ce chapitre, quand la substitution fictive de par son fluide déplacé est effectuée, ce dernier reste naturellement en équilibre sans l'action de la force extérieure particulière maintenant le corps au repos
  28. 28,0 28,1 28,2 28,3 28,4 28,5 et 28,6 Condition Nécessaire.
  29. Voir le paragraphe « énoncé du théorème (en dynamique newtonienne) (du mouvement du C.D.I. d'un système fermé de points matériels) » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » valable sans modification pour un système continu de matière, l'équilibre en translation correspondant à une accélération nulle du C.D.I.
  30. Voir le paragraphe « généralisation à un système continu fermé de matière (du théorème du moment cinétique vectoriel) » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » applicable en qui est fixe dans une situation d'équilibre, l'équilibre en rotation correspondant à une moment cinétique vectoriel en nul
  31. Voir le paragraphe « équilibre en translation (du fluide déplacé) » plus haut dans ce chapitre.
  32. Voir le paragraphe « équilibre en rotation (du fluide déplacé) » plus haut dans ce chapitre.
  33. 33,0 et 33,1 Ce Qu'il Fallait Démontré en Partie.
  34. Dans ce cas c'est le champ de pression du fluide en tout point extérieur au corps qui n'est pas perturbé.
  35. C.-à-d. un solide au sens de la mécanique de forme quelconque pouvant éventuellement être hétérogène et déformable.
  36. L’équilibre thermodynamique entre deux systèmes signifiant que la pression équilibre mécanique et la température équilibre thermique sont les mêmes en leurs points de contact.
  37. 37,00 37,01 37,02 37,03 37,04 37,05 37,06 37,07 37,08 37,09 37,10 37,11 et 37,12 Gaz Parfait.
  38. 38,0 et 38,1 Comme une atmosphère isotherme voir le paragraphe « modèle de l'atmosphère isotherme dans le champ de pesanteur terrestre uniforme » du chap. de la leçon « Statique des fluides (PCSI) » ou
                        Comme une atmosphère à gradient de température uniforme voir le paragraphe « modèle de l'atmosphère à gradient de température uniforme dans un champ de pesanteur uniforme » du même chap. de la même leçon « Statique des fluides (PCSI) ».
  39. 39,0 39,1 39,2 39,3 39,4 39,5 39,6 et 39,7 Il s'agit d'une moyenne car la cause de l'existence d'une résultante non nulle des forces pressantes exercées par l'atmosphère sur l'aérostat est le différentiel de pression atmosphérique sur le ballon, laquelle n'est donc pas uniforme sur la surface externe de l’aérostat
  40. 40,0 40,1 40,2 40,3 40,4 et 40,5 Voir le paragraphe « forme globale de l'équation d'état d'un gaz parfait (G.P.) à l'équilibre thermodynamique » du chap. de la leçon « Statique des fluides (PCSI) ».
  41. L'équilibre mécanique entre le gaz et l'atmosphère entraînant l'égalité des pressions de part et d'autre de l'enveloppe, le différentiel de pression atmosphérique impliquant un différentiel de pression de gaz, laquelle n'est donc pas uniforme à l'intérieur du ballon
  42. 42,0 42,1 et 42,2 L'équilibre thermique entre le gaz et l'atmosphère nécessitant une durée d'établissement plus longue que celle de l'équilibre mécanique, il est nécessaire qu'une éventuelle ascension soit relativement lente pour que l'équilibre thermique entre le gaz et l'atmosphère ait le temps de s'établir il serait préférable de considérer une éventuelle ascension adiabatique c'est-à-dire sans transfert calorifique par conduction à travers l'enveloppe, nous supposons néanmoins, dans le but de simplifier la présentation, l'équilibre thermique entre le gaz et l'atmosphère réalisé ce qui entraîne l'égalité des températures de part et d'autre de l'enveloppe.
  43. 43,0 et 43,1 Soit une température Celsius .
       Anders Celsius (1701 - 1744) est un savant suédois surtout connu pour avoir été à l'origine d'une échelle de repérage des températures.
  44. 44,0 et 44,1 L'expression du volume d'une boule de rayon étant «».
  45. Voir le paragraphe « variation de la norme de la résistance de l'air avec la vitesse de translation du système fermé (indéformable) de points matériels » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  46. Cette explosion restant valable pour tout autre modèle d'atmosphère même sans considérer la condition simplificatrice d'équilibre thermique entre le gaz contenu dans l'aérostat non motorisé et l'atmosphère environnant.
  47. 47,00 47,01 47,02 47,03 47,04 47,05 47,06 47,07 47,08 47,09 47,10 47,11 47,12 47,13 47,14 47,15 47,16 47,17 47,18 47,19 47,20 47,21 47,22 47,23 47,24 47,25 47,26 47,27 47,28 47,29 47,30 47,31 47,32 47,33 47,34 47,35 47,36 47,37 47,38 47,39 47,40 et 47,41 Les deux frères Montgolfier industriels inventeurs français ont inventé la montgolfière grâce à laquelle a été réalisé, en le 1er vol d'un être humain ;
       Joseph-Michel Montgolfier (1740 - 1810) l'ainé des deux frères le d'une fratrie de enfants est industriel papetier, travaillant dans l'usine familiale de réputation européenne située dans le quartier Vidalon de la commune de Davézieux en Ardèche après s'être essayé à monter un laboratoire de chimie ; on estime que l'invention de la montgolfière est autant due à son intuition qu'à l'esprit méthodique de son frère cadet ; Joseph-Michel mit aussi au point un parasol de de diamètre utilisé comme parachute ce qui permit à l'aérostier français André-Jacques Garnerin (1769 - 1823) d'être le 1er parachutiste humain en
       Jacques-Étienne Montgolfier (1745 - 1799) le cadet des deux frères le d'une fratrie de enfants, c'est son esprit méthodique associé à l'intuition de son frère ainé qui permit l'invention de la montgolfière ; ce n'est qu'après cette invention qu'il devint industriel papetier dans l'usine familiale de réputation européenne située dans le quartier Vidalon de la commune de Davézieux en Ardèche.
  48. L’équilibre mécanique entre deux systèmes signifiant que la pression est la même en leurs points de contact.
  49. L'équilibre mécanique entre l'air du ballon ouvert et l'atmosphère entraînant l'égalité des pressions de part et d'autre de l'enveloppe, le différentiel de pression atmosphérique impliquant un différentiel de pression d'air intérieur, laquelle n'est donc pas uniforme
  50. Le 1er membre étant la valeur maximale de obtenue pour une valeur infinie de .
  51. Le 1er membre étant une fonction de conduit à une force non ascensionnelle pour une température trop basse bien que à .
  52. Soit une température Celsius .
       Anders Celsius (1701 - 1744) est un savant suédois surtout connu pour avoir été à l'origine d'une échelle de repérage des températures.
  53. Les brûleurs à propane utilisés peuvent atteindre une température de , donnant une flamme orientée vers le haut longue de à voir le paragraphe « le brûleur » de l'article de Wikipédia intitulé « montgolfière ».
  54. Avec la température maximale qu'un brûleur au propane peut fournir à savoir voir la note « 53 » plus haut dans ce chapitre, la condition sur la « masse d'air contenu dans le ballon ouvert avant chauffage s'écrirait «».
  55. Avec la température maximale qu'un brûleur au propane peut fournir conduisant à la condition sur la « masse d'air contenu dans le ballon ouvert avant chauffage «» voir la note « 54 » plus haut dans ce chapitre, la condition sur la « quantité d'air contenu dans le ballon ouvert avant chauffage s'écrirait «».
  56. Avec la température maximale qu'un brûleur au propane peut fournir conduisant à la condition sur la « quantité d'air contenu dans le ballon ouvert avant chauffage «» voir la note « 55 » plus haut dans ce chapitre, la condition sur le « volume d'air contenu dans le ballon ouvert avant chauffage s'écrirait «».
  57. Avec la température maximale qu'un brûleur au propane peut fournir conduisant à une valeur minimale de « volume de ballon ouvert «» voir la note « 55 » plus haut dans ce chapitre, le condition sur le « diamètre minimal du ballon ouvert s'écrirait «».
  58. Avec le choix du modèle de l’atmosphère isotherme, la température de l'atmosphère à l'altitude est indépendante de c'est-à-dire mais, bien qu'ayant supposé l'absence d'équilibre thermique entre l'air situé de part et d'autre de l'enveloppe du ballon ouvert, il y a naturellement une convection par l'ouverture du ballon conduisant à une de et par suite une naturelle de «» ; pour maintenir constant il conviendrait donc de réchauffer régulièrement l'intérieur du ballon ouvert ;
       avec le choix du modèle de l'atmosphère à gradient de température constant à raison d’une de température de par , la température de l'atmosphère régulièrement quand et, la convection naturelle par l'ouverture du ballon entre l'air situé de part et d'autre de l'enveloppe de ce dernier conduisant à une de c'est-à-dire à une de , nous ne pouvons pas conclure au sens de variation de «» avec l'altitude, il conviendrait alors de procéder comme suit pour que l'hypothèse de « constance de quand » soit valable mais rappelons que cette hypothèse n'est faite que pour simplifier l'étude du mouvement de la montgolfière et n'est absolument pas indispensable dans une étude plus détaillée
    • si l'écart avec l'altitude, ventiler l'air situé à l'intérieur du ballon pour augmenter la de ,
    • si l'écart avec l'altitude, réchauffer l'air situé à l'intérieur du ballon pour diminuer la de et enfin
    • si l'écart reste constant avec l'altitude, ne rien faire.
  59. Quand devient nulle, le mouvement de la montgolfière devrait se poursuivre à vitesse constante et ne pas correspondre à un plafond mais la poursuite de la montée entraînant le prolongement de la de laquelle devient alors c'est-à-dire « descensionnelle » un ralentissement du mouvement jusqu'à ce que la vitesse d’ascension devienne nulle
       la force à ce niveau étant alors dirigée vers le bas, la montgolfière redescend entraînant une de à partir d'une valeur négative jusqu'à ce que redevienne nulle, ce qui correspond à une situation où le mouvement de la montgolfière devrait se poursuivre à vitesse constante vers le bas mais la poursuite de la descente entraînant le prolongement de la de laquelle redevient alors c'est-à-dire « ascensionnelle » un ralentissement du mouvement de descente jusqu'à ce que la vitesse de descente devienne nulle
       la force à ce nouveau niveau étant alors dirigée vers le haut, la montgolfière remonte entraînant une de à partir d'une valeur positive jusqu'à ce que redevienne nulle, ce qui correspond à une situation où le mouvement de la montgolfière devrait se poursuivre à vitesse constante vers le haut mais la poursuite de la montée entraînant le prolongement de la de laquelle redevient alors c'est-à-dire « descensionnelle » un ralentissement du mouvement de montée jusqu'à ce que la vitesse d'ascension devienne nulle
       finalement il y a alternance de montée et de descente de la montgolfière entre deux niveaux, cette oscillation s'amortissant au niveau intermédiaire où est nulle d’où la notion de « plafond » ;
       ceci se fait d’autant plus rapidement qu’il faut ajouter la force de résistance à l'avancement dans l’air comme indiqué dans l’étude de l’aérostat voir le paragraphe « mouvement ascendant de l'aérostat et son évolution » plus haut dans ce chapitre.
  60. Avec le choix du modèle de l’atmosphère isotherme, la température de l'atmosphère à l'altitude est indépendante de c'est-à-dire mais, bien qu'ayant supposé l'absence d'équilibre thermique entre l'air situé de part et d'autre de l'enveloppe du ballon ouvert, il y a naturellement une convection par l'ouverture du ballon conduisant à une de et par suite une naturelle de «» ;
       avec le choix du modèle de l'atmosphère à gradient de température constant à raison d’une de température de par , la température de l'atmosphère régulièrement quand et, la convection naturelle par l'ouverture du ballon entre l'air situé de part et d'autre de l'enveloppe de ce dernier conduisant à une de c'est-à-dire à une de , nous obtenons une de «» avec l'altitude si la du 2ème terme l'emporte sur la du 1er.
  61. 61,0 61,1 61,2 61,3 61,4 et 61,5 Quand devient nulle, le mouvement de la montgolfière devrait se poursuivre à vitesse constante et ne pas correspondre à un plafond mais la poursuite de la montée entraînant vraisemblablement le prolongement de la de laquelle devient alors c'est-à-dire « descensionnelle » un ralentissement du mouvement jusqu'à ce que la vitesse d’ascension devienne nulle
       la force à ce niveau étant alors dirigée vers le bas, la montgolfière redescend et par suite la pression moyenne atmosphérique simultanément à une constance approximative ou à une de suivant le choix du modèle de l’atmosphère isotherme ou de celui de l'atmosphère à gradient de température constant entraînant une vraisemblable de en effet les variations d'origine mécanique comme celle de la pression sont quasi-instantanées alors que celles d'origine thermique comme celle de la température nécessitent un délai d'au moins quelques dizaines de secondes à partir d'une valeur négative jusqu'à ce que redevienne nulle, ce qui correspond à une situation où le mouvement de la montgolfière devrait se poursuivre à vitesse constante vers le bas mais la poursuite de la descente entraînant vraisemblablement le prolongement de la de laquelle redevient alors c'est-à-dire « ascensionnelle » un ralentissement du mouvement de descente jusqu'à ce que la vitesse de descente devienne nulle
       la force à ce nouveau niveau étant alors dirigée vers le haut, la montgolfière remonte entraînant plaisiblement une de à partir d'une valeur positive jusqu'à ce que redevienne nulle, ce qui correspond à une situation où le mouvement de la montgolfière devrait se poursuivre à vitesse constante vers le haut mais la poursuite de la montée entraînant possiblement le prolongement de la de laquelle redevient alors c'est-à-dire « descensionnelle » un ralentissement du mouvement de montée jusqu'à ce que la vitesse d'ascension devienne nulle
       finalement il y a alternance de montée et de descente de la montgolfière entre deux niveaux, cette oscillation s'amortissant au niveau intermédiaire où est nulle d’où la notion de « plafond » ;
       ceci se fait d’autant plus rapidement qu’il faut ajouter la force de résistance à l'avancement dans l’air comme indiqué dans l’étude de l’aérostat voir le paragraphe « mouvement ascendant de l'aérostat et son évolution » plus haut dans ce chapitre.
  62. 62,0 62,1 62,2 62,3 62,4 et 62,5 Le caractère « temporaire » du plafond de la montgolfière résultant du fait que la température de l'air contenu dans le ballon ouvert par phénomène de convection à travers l'ouverture du ballon, ce qui redonne, après un délai de quelques dizaines de secondes, une valeur négative à la composante verticale ascendante de la force ascensionnelle et par suite, sans mise en marche du brûleur au propane, une reprise de la descente
  63. Avec le choix du modèle de l’atmosphère isotherme, la température de l'atmosphère à l'altitude est indépendante de c'est-à-dire mais, bien qu'ayant supposé l'absence d'équilibre thermique entre l'air situé de part et d'autre de l'enveloppe du ballon ouvert, il y a naturellement une convection par l'ouverture du ballon conduisant à une de ce qui entraînerait une naturelle de «» et par suite, l'hypothèse de « approximativement constant ou quand » n'est pas compatible avec ce modèle d'atmosphère ;
       avec le choix du modèle de l'atmosphère à gradient de température constant à raison d’une de température de par , la température de l'atmosphère régulièrement quand et, la convection naturelle par l'ouverture du ballon entre l'air situé de part et d'autre de l'enveloppe de ce dernier conduisant à une de c'est-à-dire à une de , nous pouvons obtenir une constance ou même une de «» avec l'altitude si la du 1er terme l'emporte sur la du 2nd.
  64. En effet les variations d'origine mécanique comme celle de la pression sont quasi-instantanées alors que celles d'origine thermique comme celle de la température nécessitent un délai d'au moins quelques dizaines de secondes d'où plausiblement une prédominance du caractère dû à la pression moyenne atmosphérique sur le caractère approximativement constant ou dû aux températures de l'atmosphère et de l'air chaud contenu dans le ballon ouvert
  65. Tout décollage de montgolfière est précédé d'une vérification de l'atmopshère environnant par lancer de ballon sonde permettant ou non ce décollage.
  66. C.-à-d. qu’il évacue de l’air intérieur au profit de l’air extérieur.
  67. En donnant néanmoins quelques coups de chauffe pour que la force « descensionnelle » ne soit pas de norme trop grande.
  68. Voir le paragraphe « énoncé du théorème d'Archimède appliqué à un corps indéformable » plus haut dans ce chapitre ;
       la démonstration du théorème d'Archimède pour un corps éventuellement déformbale s'effectue exactement de la même façon qu'avec un seul fluide en écrivant les C.N. conditions nécessaires d'équilibre de l'ensemble des fluides déplacés puis en utilisant le principe de solidification voir le paragraphe « principe de solidification » plus haut dans ce chapitre,
       la démonstration du théorème d'Archimède la particularisation de ce théorème pour un corps indéformable étant indépendante du nombre de fluides dans lesquels il est totalement immergé pourvu que ces derniers soient en équilibre entre eux et au repos dans le référentiel terrestre galiléen
  69. 69,0 69,1 69,2 69,3 et 69,4 Au pluriel car il s'agit de l'air déplacé au-dessus de la surface de flottaison et d'eau déplacée au-dessous de cette surface de flottaison.
  70. 70,0 et 70,1 Quel que soit le volume d'air déplacé relativement à celui d'eau déplacée, l'eau étant approximativement fois plus dense que l'air, la masse d’air déplacé est toujours largement négligeable devant celle d’eau déplacée.
  71. 71,0 et 71,1 L'approximation pouvant usuellement être considérée comme très bonne voir la note « 70 » plus haut dans ce chapitre.
  72. Voir le paragraphe « définition du barycentre d'un système de deux points pondérés » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  73. Voir le paragraphe « les deux types d'intégrales volumiques » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  74. Mais les résultats de stabilité ou d'instabilité de l'équilibre restent approximativement les mêmes quand le navire est en mouvement horizontal sur la surface de l'eau il conviendrait néanmoins de préciser la signification de la stabilité ou de l'instabilité du mouvement « horizontal » du navire, ce que nous ne ferons pas car cela nous entraînerait beaucoup trop loin
  75. Le déplacement spontané du navire vers le haut ce qui a pour conséquence l'évolution de la composante sur l'axe vertical ascendant de la résultante des forces s'exerçant sur le navire :
    • d'abord à partir d'une valeur ,
    • puis atteint une valeur nulle le navire y ayant alors une faible vitesse vers le haut, son mouvement se poursuit,
    • ensuite la se poursuivant, elle devient ce qui correspond à l'étude exposée dans la note « 76 » plus bas dans ce chapitre ;
       après quelques oscillation verticales amorties d'autant plus rapidement qu'il convient d'ajouter au bilan des forces appliquées une force de résistance au déplacement dans l'eau jouant un rôle plus important que celle indiquée dans l'étude de l'aérostat voir le paragraphe « mouvement ascendant de l'aérostat et son évolution » plus haut dans ce chapitre, le navire reprend sa position d'équilibre en translation.
  76. Le déplacement spontané du navire vers le bas ce qui a pour conséquence l'évolution de la composante sur l'axe vertical ascendant de la résultante des forces s'exerçant sur le navire :
    • d'abord à partir d'une valeur ,
    • puis atteint une valeur nulle le navire y ayant alors une faible vitesse vers le bas, son mouvement se poursuit,
    • ensuite la se poursuivant, elle devient ce qui correspond à l'étude exposée dans la note « 75 » plus haut dans ce chapitre ;
       après quelques oscillation verticales amorties d'autant plus rapidement qu'il convient d'ajouter au bilan des forces appliquées une force de résistance au déplacement dans l'eau jouant un rôle plus important que celle indiquée dans l'étude de l'aérostat voir le paragraphe « mouvement ascendant de l'aérostat et son évolution » plus haut dans ce chapitre, le navire reprend sa position d'équilibre en translation.
  77. Le pont supérieur lors de l'équilibre du navire devant être horizontal et non indifférent
  78. 78,0 78,1 78,2 78,3 78,4 78,5 78,6 78,7 et 78,8 C.-à-d. l'arrière du navire.
  79. 79,0 79,1 79,2 79,3 79,4 79,5 79,6 79,7 et 79,8 C.-à-d. l'avant du navire.
  80. 80,0 et 80,1 Voir le paragraphe « applicabilité du théorème du moment cinétique vectoriel à un système discret fermé de points matériels relativement au centre d'inertie (C.D.I.) G de ce dernier dans le référentiel d'étude galiléen » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » généralisé aux systèmes continus de matière.
  81. C.-à-d. le côté gauche du navire quand on regarde vers la proue ou l'avant.
  82. C.-à-d. le côté droit du navire quand on regarde vers la proue ou l'avant.