Mécanique 1 (PCSI)/Exercices/Loi de la quantité de mouvement : Influence de la résistance de l'air

Leçons de niveau 14
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Loi de la quantité de mouvement : Influence de la résistance de l'air
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Exercices no11
Leçon : Mécanique 1 (PCSI)
Chapitre du cours : Loi de la quantité de mouvement : Influence de la résistance de l'air

Exercices de niveau 14.

Exo préc. :Loi de la quantité de mouvement : Mouvement dans le champ de pesanteur uniforme
Exo suiv. :Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple
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Mécanique 1 (PCSI)/Exercices/Loi de la quantité de mouvement : Influence de la résistance de l'air
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Mouvement d'un parachutiste initialement en chute libre après déploiement de son parachute[modifier | modifier le wikicode]

     On considère un parachutiste assimilable à un point matériel de masse , largué d'un point , situé à une altitude du sol,
     On considère un parachutiste assimilable à un point matériel de masse , largage se faisant sans vitesse initiale par rapport au référentiel terrestre supposé galiléen ;

     on admet que le champ de pesanteur dans lequel le parachutiste chute est uniforme ;

     l'air étant supposé globalement immobile par rapport à , le déplacement du parachutiste y est alors freiné par la résistance de l'air supposée quadratique
     l'air étant supposé globalement immobile par rapport à , le déplacement du parachutiste y est alors freiné par «»,
     l'air étant supposé globalement immobile par rapport à , le déplacement du parachutiste y est alors freiné par « étant le vecteur unitaire tangentiel dans le sens du mouvement,
     l'air étant supposé globalement immobile par rapport à , le déplacement du parachutiste y est alors freiné par « la vitesse du parachutiste dans et
     l'air étant supposé globalement immobile par rapport à , le déplacement du parachutiste y est alors freiné par « un cœfficient dépendant de la masse volumique de l'air ,
     l'air étant supposé globalement immobile par rapport à , le déplacement du parachutiste y est alors freiné par « un cœfficient dépendant de l'aire du maître-couple [1] du parachutiste et
     l'air étant supposé globalement immobile par rapport à , le déplacement du parachutiste y est alors freiné par « un cœfficient dépendant de cœfficient de traînée traduisant l'aérodynamisme du parachutiste on a .

     Le but de cet exercice n'étant pas de refaire l'étude complète de la descente du parachutiste en chute libre [2] ou à parachute déployé, mais
     Le but de cet exercice consistant à reprendre les résultats, établis en cours, du parachutiste en chute libre [2] jusqu'à l'altitude [3] pour étudier la suite de sa descente jusqu'au sol [4] sachant qu'à l'altitude il ouvre son parachute ;

     pour cela nous rappelons les propriétés suivantes la descente du parachutiste est rectiligne verticale [5],
     pour cela nous rappelons les propriétés suivantes en chute libre le parachutiste ayant un cœfficient de traînée et l'aire de son maître-couple [1] valant ,
     pour cela nous rappelons les propriétés suivantes en chute libre le parachutiste acquiert pratiquement [6] une vitesse limite [7] après une chute de [8],
     pour cela nous rappelons les propriétés suivantes en chute libre le parachutiste le trouvant à l'altitude de [9] ;

     il continue alors à descendre à vitesse quasi limite pendant une durée de [8] pour atteindre l'altitude où il ouvre son parachute déploiement du parachute supposé instantané ;

     après ouverture du parachute, le parachutiste acquiert instantanément un cœfficient de traînée et l'aire de son maître-couple [1] prend pour valeur .

Continuité et discontinuité à l'ouverture du parachute et conséquences[modifier | modifier le wikicode]

     Préciser comment varient les forces appliquées au parachutiste lors de l'ouverture du parachute, c.-à-d.
     Préciser comment varient les forces indiquer leur continuité ou discontinuité de 1ère ou 2ème espèce [10] en faisant l'hypothèse de continuité de la vitesse lors de l'ouverture du parachute ;

     que peut-on déduire des affirmations précédentes sur la variation de l'accélération du parachutiste lors du déploiement du parachute, c.-à-d.
     que peut-on déduire des affirmations précédentes sur la variation de l'accélération indiquer sa continuité ou discontinuité de 1ère ou 2ème espèce [10] ?

     Vérifier que cette dernière affirmation valide l'hypothèse de continuité de la vitesse du parachutiste lors de l'ouverture du parachute.

Étude de la chute du parachutiste, parachute déployé, jusqu'au sol[modifier | modifier le wikicode]

     On choisit pour nouvelle origine des temps l'instant d'ouverture du parachute c.-à-d. que l'on pose dans laquelle

  • est l'instant compté à partir du largage du parachutiste à l'altitude et
  • l'instant d'arrivée à l'altitude repéré avec l'ancienne origine des temps ;

     on choisit la position d'ouverture du parachute comme nouvelle origine du repère cartésien associé au référentiel terrestre et on oriente l'axe vertical par le vecteur unitaire descendant bien sûr le mouvement de reste vertical après ouverture du parachute, la démonstration par récurrence restant valable [5].

Acquisition d'une nouvelle vitesse limite du parachutiste[modifier | modifier le wikicode]

     Montrer que le parachutiste va acquérir une nouvelle vitesse limite que l'on exprimera en fonction de , , , et  ;

     faire l'application numérique on prendra comme valeur d'intensité de la pesanteur.

Loi horaire de vitesse du parachutiste et conséquences[modifier | modifier le wikicode]

     Après avoir précisé l'équation différentielle en vitesse algébrique du parachutiste sur son axe vertical descendant,

     déterminer sa loi horaire de vitesse en fonction du temps et des autres paramètres , et puis
     déterminer sa loi horaire de vitesse en fonction du temps et des autres paramètres , et  ;

     donner l'allure du diagramme horaire de vitesse [20] sur toute la chute ;

     préciser à quel instant la nouvelle vitesse limite est atteinte à près et faire l'application numérique.

Loi horaire de position du parachutiste et conséquences[modifier | modifier le wikicode]

     Déterminer la loi horaire de position du parachutiste comptée à partir de la nouvelle origine du repère cartésien associé au référentiel terrestre , c.-à-d. telle que dans laquelle est la cote du parachutiste comptée à partir de sa position de largage,
     Déterminer la loi horaire de position en fonction du temps ainsi que des paramètres , et  ;

     donner l'allure du diagramme horaire de position [26] sur toute la chute ;

     préciser l'équation permettant de déterminer l'instant auquel le parachutiste atteint le sol en fonction des paramètres , , et  ;
     préciser l'équation obtenue étant « transcendante » [27] n'admet pas de résolution algébrique, sa résolution nécessiterait d'être numérique ou, à défaut,
           préciser l'équation obtenue étant « transcendante » n'admet pas de résolution algébrique, sa résolution nécessiterait d'être approchée par une équation algébrique, c'est l'option choisie ci-après ;

     dans l'hypothèse où est suffisamment éloigné de l'instant d'ouverture du parachute, le mouvement du parachutiste s'identifie à son mouvement à vitesse limite et
     dans l'hypothèse où est suffisamment éloigné de l'instant d'ouverture du parachute, on peut confondre sa loi horaire de position avec l'expression asymptotique de cette dernière ; en faisant cela,
     dans l'hypothèse où est suffisamment éloigné de l'instant d'ouverture du parachute, on peut trouver l'équation algébrique approchée pour déterminer la date où le parachutiste atteint le sol
     dans l'hypothèse où est suffisamment éloigné de l'instant d'ouverture du parachute, on peut trouver l'équation en fonction des paramètres , , et , puis
     dans l'hypothèse où est suffisamment éloigné de l'instant d'ouverture du parachute, faire l'application numérique.

Chute d'une boule lancée verticalement vers le bas avec résistance d'avancement de forme quadratique[modifier | modifier le wikicode]

     Une boule de masse , assimilable à un point matériel , est lancée verticalement vers le bas avec une vitesse initiale dans le référentiel terrestre supposé galiléen ;

     le frottement de l'air agissant sur la boule en mouvement dans l'air globalement immobile relativement au référentiel est modélisable par un vecteur force de norme dans laquelle est un cœfficient dépendant de l'aérodynamisme de la boule ainsi que de la compacité du fluide dans lequel elle se déplace plus précisément avec cœfficient de traînée de la boule et masse volumique de l'air, l'aire de son maître-couple [1] et la norme de son vecteur vitesse dans .

     Initialement la boule étant soumise à deux forces verticales, nous admettrons que le mouvement reste vertical [35] ;

     après une durée de chute suffisamment longue [36], elle tombe alors avec une vitesse limite .

Dans ce qui suit l'axe vertical est orienté dans le sens descendant et l'origine des cotes choisie en la position de lancer de la boule.

Introduction de variables sans dimension[modifier | modifier le wikicode]

     On introduit les variables sans dimension suivantes vitesse relative ,
     On introduit les variables sans dimension suivantes temps relatif avec constante de temps de la loi horaire de vitesse de chute freinée par résistance de l'air quadratique [37] et
     On introduit les variables sans dimension suivantes cote relative avec constante de longueur du portrait de phase de chute freinée par résistance de l'air quadratique [38].

     On introduit les variables sans dimension Quel intérêt présentent ces changements de variables ?

Détermination de l'équation différentielle en vitesse relative fonction du temps relatif uM(ξ) du mouvement de la boule et résolution[modifier | modifier le wikicode]

     Déterminer l'équation différentielle en vitesse relative fonction du temps relatif [42] ;

     en déduire la vitesse relative de la boule en fonction du temps relatif , puis

     en déduire la vitesse de la boule en fonction du temps .

Détermination de l'équation différentielle en carré de vitesse relative fonction de la cote relative du mouvement de la boule et résolution[modifier | modifier le wikicode]

     Déduire, de l'équation différentielle en vitesse relative fonction du temps relatif , celle en carré de vitesse relative fonction de la cote relative  ;

     par résolution de cette nouvelle équation différentielle en , déterminer la vitesse relative de la boule en fonction de la cote relative , puis

     par résolution de cette nouvelle équation différentielle en , déterminer la vitesse de la boule en fonction de la cote .