Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Fonctions hyperboliques directes et inverses

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     Les fonctions hyperboliques ont été inventées par Vincenzo Riccati vers $1760$ en cherchant à calculer l'« aire sous l'hyperbole d'équation $x^2-y^2=1$», la méthode géométrique qu'il employa était semblable à celle qu'il utilisait pour calculer l'« aire sous le cercle d'équation $x^2+y^2=1$» méthode où il introduisait les fonctions trigonométriques qu'il appela « circulaires » ; par analogie il nomma les nouvelles fonctions créées « hyperboliques ».

Fonctions hyperboliques directes

     Il y a un lien de construction à partir de la fonction exponentielle entre les fonctions « trigonométriques » directes et « hyperboliques » directes, par exemple :
     Il y a un lien de construction à partir de la fonction exponentielle « le cosinus $($trigonométrique$)$ est construit à partir de la fonction exponentielle définie sur $iℝ$ et
     Il y a un lien de construction à partir de la fonction exponentielle « le cosinus hyperbolique est construit à partir de la fonction exponentielle définie sur $ℝ$».

Cosinus hyperbolique

Tracé du graphe de cosinus hyperbolique sur l'intervalle de définition restreint à $[-4;+4]$, l'intervalle de valeurs correspondantes étant $[+1;\simeq +27,3]$

     Le cosinus hyperbolique, noté $\cosh ()$, est « défini sur $ℝ$» selon «$\cosh (x)=\frac{\exp (x)+\exp (-x)}{2}$»,

        Le cosinus hyperbolique, noté $\cosh ()$, « son domaine de valeurs est $[1,+\mathrm{\infty }[$»,

        Le cosinus hyperbolique, noté $\cosh ()$, c'est une fonction « paire » c'est-à-dire «$\cosh (-x)=\cosh (x)$» et

        Le cosinus hyperbolique, noté $\cosh ()$, c'est une fonction « dérivable sur $ℝ$» avec «$\frac{d[\cosh (x)]}{dx}=\sinh (x)$» car
        Le cosinus hyperbolique, noté $\cosh ()$, c'est une fonction « dérivable sur $ℝ$» $\frac{d[\cosh (x)]}{dx}=\frac{\exp (x)-\exp (-x)}{2}=\sinh (x)$ ;

        Le cosinus hyperbolique, noté $\cosh ()$, variation de$\cosh ()$ : «$\searrow$ de $+\mathrm{\infty }$ à $1$ sur $]-\mathrm{\infty },0]$» puis
        Le cosinus hyperbolique, noté $\cosh ()$, variation de$\cosh ()$ : «$\nearrow$ de $1$ à $+\mathrm{\infty }$ sur $[0,+\mathrm{\infty }[$»,
        Le cosinus hyperbolique, noté $\cosh ()$, variation de$\cosh ()$ : voir graphe ci-contre sur l'intervalle de définition restreint à $[-4,+4]$ ;

        Le cosinus hyperbolique, noté $\cosh ()$, variation de$\cosh ()$ : ce graphe est appelé « chaînette »,
     Le cosinus hyperbolique, noté $\cosh ()$, variation de$\cosh ()$ : ce graphe il est symétrique relativement à l'axe des ordonnées $y^{\prime }y$.

Sinus hyperbolique

Tracé du graphe de sinus hyperbolique sur l'intervalle de définition restreint à $[-4;+4]$, l'intervalle de valeurs correspondantes étant $[\simeq -27,3;\simeq +27,3]$

     Le sinus hyperbolique, noté $\sinh ()$, est « défini sur $ℝ$» selon «$\sinh (x)=\frac{\exp (x)-\exp (-x)}{2}$»,

        Le sinus hyperbolique, noté $\sinh ()$, « son domaine de valeurs est $]-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }[$»,

        Le sinus hyperbolique, noté $\sinh ()$, c'est une fonction « impaire » c'est-à-dire «$\sinh (-x)=-\sinh (x)$» et

        Le sinus hyperbolique, noté $\sinh ()$, c'est une fonction « dérivable sur $ℝ$» avec «$\frac{d[\sinh (x)]}{dx}=\cosh (x)$» car
        Le sinus hyperbolique, noté $\sinh ()$, c'est une fonction « dérivable sur $ℝ$» $\frac{d[\sinh (x)]}{dx}=\frac{\exp (x)+\exp (-x)}{2}=\cosh (x)$ ;

        Le sinus hyperbolique, noté $\sinh ()$, variation de$\sinh ()$ : «$\nearrow$ de $-\mathrm{\infty }$ à $+\mathrm{\infty }$ sur $]-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }[$»
        Le sinus hyperbolique, noté $\sinh ()$, variation de$\sinh ()$ : voir graphe ci-contre sur l'intervalle de définition restreint à $[-4,+4]$,
        Le sinus hyperbolique, noté $\sinh ()$, variation de$\sinh ()$ : voir graphe ci-contre l'intervalle de valeurs étant $[\simeq -27,3;\simeq +27,3]$ ;

        Le sinus hyperbolique, noté $\sinh ()$, variation de$\sinh ()$ : ce graphe est symétrique relativement à l'origine du repérage $O$.

Tangente hyperbolique

Tracé du graphe de tangente hyperbolique sur l'intervalle de définition restreint à $[-4;+4]$, l'intervalle de valeurs correspondantes étant $[\simeq -0,9993;\simeq +0,9993]$

     La tangente hyperbolique, notée $\tanh ()$, est « définie sur $ℝ$» selon «$\tanh (x)=\frac{\exp (x)-\exp (-x)}{\exp (x)+\exp (-x)}$» ou encore,
        La tangente hyperbolique, notée $\tanh ()$, est « définie sur $ℝ$» selon «$\tanh (x)=\frac{\sinh (x)}{\cosh (x)}$»,

        La tangente hyperbolique, notée $\tanh ()$, « son domaine de valeurs est $]-1,+1[$»,

        La tangente hyperbolique, notée $\tanh ()$, c'est une fonction « impaire » c'est-à-dire «$\tanh (-x)=-\tanh (x)$» et

        La tangente hyperbolique, notée $\tanh ()$, c'est une fonction « dérivable sur $ℝ$» avec «$\frac{d[\tanh (x)]}{dx}=\frac{1}{{\cosh }^2(x)}$» car
        La tangente hyperbolique, noté $\tanh ()$, c'est une fonction « dérivable sur $ℝ$» $\frac{d[\tanh (x)]}{dx}=\frac{d\left[\frac{\sinh (x)}{\cosh (x)}\right]}{dx}=$
        La tangente hyperbolique, noté $\tanh ()$, c'est une fonction « dérivable sur $ℝ$» $\frac{d[\tanh (x)]}{dx}=$ $\frac{{\cosh }^2(x)-{\sinh }^2(x)}{{\cosh }^2(x)}$
        La tangente hyperbolique, noté $\tanh ()$, c'est une fonction « dérivable sur $ℝ$» $\frac{d[\tanh (x)]}{dx}$ $=\frac{1}{{\cosh }^2(x)}$ C.Q.F.D. ou bien

        La tangente hyperbolique, notée $\tanh ()$, c'est une fonction « dérivable sur $ℝ$» avec «$\frac{d[\tanh (x)]}{dx}=1-{\tanh }^2(x)$» ;

        La tangente hyperbolique, notée $\tanh ()$, variation de$\tanh ()$ : «$\nearrow$ de $-1$ à $+1$ sur $]-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }[$»
        La tangente hyperbolique, notée $\tanh ()$, variation de$\tanh ()$ : voir graphe ci-dessus avec un intervalle de définition restreint à $[-4,+4]$ ;

        La tangente hyperbolique, notée $\tanh ()$, variation de$\tanh ()$ : ce graphe est symétrique relativement à l'origine du repérage $O$ et
        La tangente hyperbolique, notée $\tanh ()$, variation de$\tanh ()$ : ce graphe admet deux asymptotes horizontales pour les ordonnées $\pm 1$.

Cotangente hyperbolique

Tracé du graphe de cotangente hyperbolique sur l'intervalle restreint de définition $[-4;+4]\setminus \left\{0\right\}$ avec pour intervalle de valeurs associées $ℝ\setminus [\simeq -1,0007;\simeq +1,0007]$

     La cotangente hyperbolique, notée $\coth ()$, est « définie sur ${ℝ}^{\ast }$» selon «$\coth (x)=\frac{\exp (x)+\exp (-x)}{\exp (x)-\exp (-x)}$» ou encore,
        La cotangente hyperbolique, notée $\coth ()$, est « définie sur ${ℝ}^{\ast }$» selon «$\coth (x)=\frac{\cosh (x)}{\sinh (x)}$» ou enfin,
        La cotangente hyperbolique, notée $\coth ()$, est « définie sur ${ℝ}^{\ast }$» selon «$\coth (x)=\frac{1}{\tanh (x)}$»,

         La cotangente hyperbolique, notée $\coth ()$, « son domaine de valeurs est $]-\mathrm{\infty },-1[\cup ]+1,+\mathrm{\infty }[$»,

         La cotangente hyperbolique, notée $\coth ()$, c'est une fonction « impaire » c'est-à-dire «$\coth (-x)=-\coth (x)$»,

         La cotangente hyperbolique, notée $\coth ()$, c'est une fonction « dérivable sur ${ℝ}^{\ast }$», de dérivée «$\frac{d[\coth (x)]}{dx}=\frac{-1}{{\sinh }^2(x)}$» car
        La cotangente hyperbolique, noté $\coth ()$, c'est une fonction « dérivable sur ${ℝ}^{\ast }$» $\frac{d[\coth (x)]}{dx}=\frac{d\left[\frac{\cosh (x)}{\sinh (x)}\right]}{dx}=$
        La cotangente hyperbolique, noté $\coth ()$, c'est une fonction « dérivable sur ${ℝ}^{\ast }$» $\frac{d[\coth (x)]}{dx}=$ $\frac{{\sinh }^2(x)-{\cosh }^2(x)}{{\sinh }^2(x)}$
        La cotangente hyperbolique, noté $\coth ()$, c'est une fonction « dérivable sur ${ℝ}^{\ast }$» $\frac{d[\coth (x)]}{dx}$ $=\frac{-1}{{\sinh }^2(x)}$ C.Q.F.D., ou encore, «$\frac{d[\coth (x)]}{dx}=1-{\coth }^2(x)$» ;

         La cotangente hyperbolique, notée $\coth ()$, variation de $\coth ()$ : «$\searrow$ de $-1$ à $-\mathrm{\infty }$ sur $]-\mathrm{\infty },0[$» puis
         La cotangente hyperbolique, notée $\coth ()$, variation de $\coth ()$ : «$\searrow$ de $+\mathrm{\infty }$ à $+1$ sur $]0,+\mathrm{\infty }[$»
         La cotangente hyperbolique, notée $\coth ()$, variation de $\coth ()$ : voir graphe ci-dessus avec un intervalle de définition restreint à $[-4,+4]$ et un domaine de valeurs à $[-5,-1[\cup ]+1,+5]$ ;

         La cotangente hyperbolique, notée $\coth ()$, variation de $\coth ()$ : ce graphe est symétrique relativement à l'origine du repérage $O$ et
         La cotangente hyperbolique, notée $\coth ()$, variation de $\coth ()$ : ce graphe admet deux asymptotes horizontales pour les ordonnées $\pm 1$ ainsi qu'
         La cotangente hyperbolique, notée $\coth ()$, variation de $\coth ()$ : ce graphe admet une asymptote verticale pour $x=0$.

Commentaires : explication du nom donné aux nouvelles fonctions créées par Vincenzo Riccati

Raison pour laquelle Vincenzo Riccati introduisit les fonctions cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique

     « Une demi-droite passant par l'origine coupe l’hyperbole d'équation $x^2-y^2=1$ en un point dont les coordonnées paramétrées par Vincenzo Riccati en fonction d'une grandeur $𝔞$» lui permirent de créer de nouvelles fonctions baptisées « cosinus hyperbolique » pour l'abscisse et « sinus hyperbolique » pour l'ordonnée, plus précisément «$\{x=\cosh (𝔞);y=\sinh (𝔞)\}$», « le paramètre $𝔞$ s'avérant être le double de l'aire algébrique de la surface délimitée par la demi-droite, l'hyperbole et l'axe des abscisses » $($en rouge sur le schéma ci-contre$)$.

     Identification des fonctions hyperboliques créées par Vincenzo Ricati avec celles définies par exponentielles : on établit

• d'abord que « le point $M$ d'abscisse $x=\cosh (𝔞)$ et d'ordonnée $y=\sinh (𝔞)$ vérifie l'équation de l'hyperbole $x^2-y^2=1$» par utilisation de la relation fondamentale liant $\cosh (x)$ et $\sinh (x)$ soit «${\cosh }^2(𝔞)-{\sinh }^2(𝔞)=1$»,
• ensuite, du fait que le vecteur position de $M$ s'écrivant «$\overrightarrow{OM}=\cosh (𝔞){\overrightarrow{u}}_x+\sinh (𝔞){\overrightarrow{u}}_y$» on peut en déduire
  ensuite $\succ$l'expression du « vecteur déplacement élémentaire $\overrightarrow{dM}=\sinh (𝔞)d𝔞{\overrightarrow{u}}_x+\cosh (𝔞)d𝔞{\overrightarrow{u}}_y$» puis
  ensuite $\succ$           celle du « vecteur surface élémentaire $\overrightarrow{dS}$ balayée par $\overrightarrow{OM}$ quand $M$ se déplace de $\overrightarrow{dM}$ sur l'hyperbole »
  ensuite $\succ$à l'aide de sa définition «$\overrightarrow{dS}=\frac{\overrightarrow{OM}\wedge \overrightarrow{dM}}{2}$», ce qui permet de déterminer, dans le cas présent, l'expression
  ensuite $\succ$«$\overrightarrow{dS}=\frac{[\cosh (𝔞){\overrightarrow{u}}_x+\sinh (𝔞){\overrightarrow{u}}_y]\wedge [\sinh (𝔞)d𝔞{\overrightarrow{u}}_x+\cosh (𝔞)d𝔞{\overrightarrow{u}}_y]}{2}=\frac{[{\cosh }^2(𝔞)-{\sinh }^2(𝔞)]d𝔞}{2}{\overrightarrow{u}}_z$» et,
  ensuite $\succ$en utilisant la relation fondamentale liant $\cosh (x)$ et $\sinh (x)$ c'est-à-dire «${\cosh }^2(𝔞)-{\sinh }^2(𝔞)=1$», l'expression finale
  ensuite $\succ$«$\overrightarrow{dS}=\frac{d𝔞}{2}{\overrightarrow{u}}_z$» d'où
• « l'aire de la surface balayée par le rayon vecteur $\overrightarrow{OM}$ quand le point $M$ se déplace de $\overrightarrow{dM}$ sur l'hyperbole », valant «$\frac{d𝔞}{2}$» $\Rightarrow$
  « l'aire balayée par le rayon vecteur $\overrightarrow{OM}$ quand le point $M$ se déplace sur l'hyperbole du point de l'axe des abscisses jusqu'au point repéré par le paramètre $𝔞$» est «$\frac{𝔞}{2}$» C.Q.F.V.

     Remarque : Il y a également un lien entre « l'angle $\theta =\widehat{(\overrightarrow{Ox},\overrightarrow{OM})}$» et
     Remarque : Il y a également un lien entre « l'aire $𝔞$ de la surface balayée par $\overrightarrow{OM}$ quand $M$ se déplace sur l'hyperbole du point de l'axe des abscisses jusqu'au point repéré par $\theta$» mais
     Remarque : Il y a également un lien contrairement au cas du cercle, «$𝔞\ne \frac{\theta }{2}$» en effet :
     Remarque : Il y a également un lien « dans le cas de la branche d'hyperbole, les coordonnées polaires de $M\{\rho ,\theta \}$ sont telles que $\left\{\begin{array}{c}x=\rho \cos (\theta )\\ y=\rho \sin (\theta )\end{array}\right\}$» $\Rightarrow$ ${\rho }^2{\cos }^2(\theta )-{\rho }^2{\sin }^2(\theta )=1$ ou
     Remarque : Il y a également un lien « dans le cas de la branche d'hyperbole, «${\rho }^2=\frac{1}{{\cos }^2(\theta )-{\sin }^2(\theta )}=\frac{1}{\cos (2\theta )}$ équation polaire de la branche d'hyperbole »
     Remarque : Il y a également un lien « dans le cas de la branche d'hyperbole, $[$on trouve ainsi les deux asymptotes de l'hyperbole correspondant à $\rho \to +\mathrm{\infty }$ soit $\theta \to \pm \frac{\pi }{4}]$ dont on peut déduire
     Remarque : Il y a également un lien « dans le cas de la branche d'hyperbole, « le vecteur surface élémentaire balayée par $\overrightarrow{OM}$ quand $M$ se déplace de $\overrightarrow{dM}$ sur la branche d'hyperbole »
     Remarque : Il y a également un lien « dans le cas de la branche d'hyperbole, «$\overrightarrow{dS}=\frac{\overrightarrow{OM}\wedge \overrightarrow{dM}}{2}$ se réécrivant en polaire $\overrightarrow{dS}=\frac{\rho {\overrightarrow{u}}_{\rho }\wedge (d\rho {\overrightarrow{u}}_{\rho }+\rho d\theta {\overrightarrow{u}}_{\theta })}{2}=\frac{{\rho }^{2}d\theta }{2}{\overrightarrow{u}}_z$» dont on tire
     Remarque : Il y a également un lien « dans le cas de la branche d'hyperbole, « l'aire de la surface élémentaire balayée par le rayon vecteur $d𝔞=\frac{{\rho }^{2}d\theta }{2}=\frac{d\theta }{2\cos (2\theta )}$ effectivement $\ne \frac{d\theta }{2}$» ;
     Remarque : Il y a également un lien « dans le cas de la branche d'hyperbole, on obtient alors «$𝔞$ en intégrant la relation précédente entre $0$ et $\theta$ soit $𝔞={\int }_0^{\theta }\frac{d{\theta }^{\prime }}{2\cos (2{\theta }^{\prime })}$» qui s'intègre
     Remarque : Il y a également un lien « dans le cas de la branche d'hyperbole, on obtient en posant «$t^{\prime }=\tan \left({\theta }^{\prime }\right)$ $\Rightarrow$ $d{t}^{\prime }=[1+{\tan }^2\left({\theta }^{\prime }\right)]d{\theta }^{\prime }$ soit $d{\theta }^{\prime }=\frac{d{t}^{\prime }}{1+{t^{\prime }}^2}$» et
     Remarque : Il y a également un lien « dans le cas de la branche d'hyperbole, on obtient en posant «$t^{\prime }=\tan \left({\theta }^{\prime }\right)$ $\Rightarrow$ $\cos (2{\theta }^{\prime })={\cos }^2({\theta }^{\prime })-{\sin }^2({\theta }^{\prime })={\cos }^2({\theta }^{\prime })[1-{\tan }^2({\theta }^{\prime })]=\frac{1-{\tan }^2({\theta }^{\prime })}{1+{\tan }^2({\theta }^{\prime })}$
     Remarque : Il y a également un lien « dans le cas de la branche d'hyperbole, on obtient en posant «$t^{\prime }=\tan \left({\theta }^{\prime }\right)$ $\Rightarrow$ $\cos (2{\theta }^{\prime })$ $=\frac{1-{t^{\prime }}^2}{1+{t^{\prime }}^2}$ soit «$\frac{1}{\cos (2{\theta }^{\prime })}=\frac{1+{t^{\prime }}^2}{1-{t^{\prime }}^2}$» d'où
     Remarque : Il y a également un lien « dans le cas de la branche d'hyperbole, on obtient alors «$𝔞={\int }_0^{\theta }\frac{d{\theta }^{\prime }}{2\cos (2{\theta }^{\prime })}=\frac{1}{2}{\int }_0^t\frac{d{t}^{\prime }}{1-{t^{\prime }}^2}$» ou, avec «$\frac{1}{1-{t^{\prime }}^2}=\frac{\frac{1}{2}}{1-t^{\prime }}+\frac{\frac{1}{2}}{1+t^{\prime }}$» donnant
     Remarque : Il y a également un lien « dans le cas de la branche d'hyperbole, on obtient alors «$𝔞=\frac{1}{4}[{\int }_0^t\frac{d{t}^{\prime }}{1-t^{\prime }}+{\int }_0^t\frac{d{t}^{\prime }}{1+t^{\prime }}]=\frac{1}{4}[{\int }_{t^{\prime }=0}^{t^{\prime }=t}\frac{d(1+t^{\prime })}{1+t^{\prime }}-{\int }_{t^{\prime }=0}^{t^{\prime }=t}\frac{d(1-t^{\prime })}{1-t^{\prime }}]$
     Remarque : Il y a également un lien « dans le cas de la branche d'hyperbole, on obtient alors «$𝔞$ $=\frac{1}{4}{[\ln \left(\frac{1+t^{\prime }}{1-t^{\prime }}\right)]}_0^t=\frac{1}{4}\ln \left(\frac{1+t}{1-t}\right)$» soit finalement «$𝔞=\frac{1}{4}\ln \left[\frac{1+\tan (\theta )}{1-\tan (\theta )}\right]$».

Liens entre cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique

     Relation fondamentale : Si on calcule ${\cosh }^2(x)={\left[\frac{\exp (x)+\exp (-x)}{2}\right]}^2=\frac{{\exp }^{(}2x)+\exp (-2x)+2}{4}$ et
           Relation fondamentale : Si on calcule ${\sinh }^2(x)={\left[\frac{\exp (x)-\exp (-x)}{2}\right]}^2=\frac{{\exp }^{(}2x)+\exp (-2x)-2}{4}$,
           Relation fondamentale : Si on vérifie aisément, en ajoutant les deux relations ci-dessus et après simplification évidente, la relation fondamentale «${\cosh }^2(x)-{\sinh }^2(x)=1$».

     Autres relations : Il existe deux autres liens entre cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique faisant intervenir l'une ou l'autre exponentielle de la variable ou de son opposée et
     Autres relations : Il existe deux autres liens entre cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique se démontrant par simple utilisation de la définition des fonctions hyperboliques, ce sont
     Autres relations : Il existe deux autres liens entre cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique «$\left\{\begin{array}{c}\cosh (x)+\sinh (x)=\exp (x)\\ \cosh (x)-\sinh (x)=\exp (-x)\end{array}\right\}$».

Relations d'addition et de duplication

     Relations d'addition : celles-ci se vérifient sans difficulté en utilisant la définition de la fonction hyperbolique utilisée,
     Relations d'addition : celles-ci se vérifient sans difficulté en utilisant les propriétés des exponentielles et
     Relations d'addition : celles-ci se vérifient sans difficulté en faisant réapparaître les fonctions hyperboliques souhaitées : $\succ$«$\cosh (a+b)=\cosh (a)\cosh (b)+\sinh (a)\sinh (b)$» et
     Relations d'addition : celles-ci se vérifient sans difficulté en faisant réapparaître les fonctions hyperboliques souhaitées : $\succ$«$\cosh (a-b)=\cosh (a)\cosh (b)-\sinh (a)\sinh (b)$»,

     Relations d'addition : celles-ci se vérifient sans difficulté en faisant réapparaître les fonctions hyperboliques souhaitées : $\succ$«$\sinh (a+b)=\sinh (a)\cosh (b)+\sinh (b)\cosh (a)$» et
     Relations d'addition : celles-ci se vérifient sans difficulté en faisant réapparaître les fonctions hyperboliques souhaitées : $\succ$«$\sinh (a-b)=\sinh (a)\cosh (b)-\sinh (b)\cosh (a)$».

     Relations de duplication : celles-ci se vérifient à partir des relations d'addition précédentes et éventuelle utilisation de la relation fondamentale liant le cosinus hyperbolique et le sinus hyperbolique :

     Relations de duplication : $\succ$«$\cosh (2a)={\cosh }^2(a)+{\sinh }^2(a)=2{\cosh }^2(a)-1=1+2{\sinh }^2(a)$»
     Relations de duplication : $\succ$$[$on en déduit les relations de linéarisation suivantes «${\cosh }^2(a)=\frac{1+\cosh (2a)}{2}$» et «${\sinh }^2(a)=\frac{\cosh (2a)-1}{2}$»$]$,

     Relations de duplication : $\succ$«$\sinh (2a)=2\sinh (a)\cosh (a)$».

Fonctions hyperboliques inverses

Seule la fonction « cosinus hyperbolique » n'est pas bijective et nécessite une « restriction de définition » pour devenir inversable $\dots$

Fonction argument sinus hyperbolique

     « La fonction $\sinh ()$ est inversable sur son domaine de définition $ℝ$» car elle y est « bijective » ; « son inverse notée $\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}()$» définit la fonction « argument sinus hyperbolique » ;

Tracé du graphe de $\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}(x)$ sur l'intervalle de définition restreint à $[-27;+27]$, avec pour intervalle de valeurs $[\simeq -3,99;\simeq +3,99]$

     « La fonction $y=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}(x)$ est la fonction inverse de$x=\sinh (y)$»,
     « pour $x=\sinh (y)$ le domaine de définition étant $ℝ$ et le domaine des valeurs $ℝ$», $\Rightarrow$
     pour $x=\sinh (y)$ « le domaine de définition de la fonction $\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}()$ est $ℝ$» et « son domaine de valeurs $ℝ$» ;

     tracé du graphe de la fonction$y=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}(x)$ : $[$le graphe de $y=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}(x)$ est le symétrique par rapport à la 1^ère diagonale
     tracé du graphe de la fonction$y=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}(x)$ : $[$de celui de $x=\sinh (y)]$ voir ci-contre ;

     tracé du graphe de la fonction$y=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}(x)$ : on observe que la fonction est «$\nearrow$»,
     tracé du graphe de la fonction$y=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}(x)$ : on observe que la fonction est « impaire » $[\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}(-x)=-\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}(x)]$,
     tracé du graphe de la fonction$y=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}(x)$ : on observe que la fonction est « continue et dérivable sur $\mathrm{R}$», sa dérivée valant
     tracé du graphe de la fonction$y=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}(x)$ : on observe que la fonction est « continue et «$\frac{d[\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}(x)]}{dx}=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$» ;
     tracé du graphe de la fonction$y=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}(x)$ : on déduit de cette expression de dérivée de la fonction $\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}()$ la propriété :
     tracé du graphe de la fonction$y=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}(x)$ : on déduit « une primitive de $\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$ est $\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}(x)+cste$».

     Justification de l'expression de la dérivée de$y=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}(x)$ : on inverse la fonction $y=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}(x)$ selon $x=\sinh (y)$, puis
     Justification de l'expression de la dérivée de$y=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}(x)$ : on différencie la fonction inversée $\Rightarrow$ $dx=\cosh (y)dy$ dont on tire
     Justification de l'expression de la dérivée de$y=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}(x)$ : on différencie la fonction inversée $\Rightarrow$ $dy=\frac{dx}{\cosh (y)}$ sans restriction
       Justification de l'expression de la dérivée de$y=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}(x)$ : on différencie la fonction inversée $\Rightarrow$ $dy=\cosh (y)$ car $\cosh (y)\ne 0\mathrm{\forall }y$,
     Justification de l'expression de la dérivée de$y=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}(x)$ : on termine en éliminant $y$ au profit de $x$ avec $\cosh (y)=\sqrt{1+{\sinh }^2(y)}$ $=\sqrt{1+x^2}$ soit
     Justification de l'expression de la dérivée de$y=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}(x)$ : on différencie la fonction inversée $\Rightarrow$ $dy=\frac{dx}{\sqrt{1+x^2}}$ dont on déduit $\frac{dy}{dx}(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$.

     Forme logarithmique de la fonction argument sinus hyperbolique : «$\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}(x)=\ln [x+\sqrt{x^2+1}]\mathrm{\forall }x$» ;
     Forme logarithmique de la fonction argument sinus hyperbolique : en effet «$y=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}(x)$» $\iff$ «$x=\sinh (y)=\frac{\exp (y)-\exp (-y)}{2}$» c'est-à-dire
     Forme logarithmique de la fonction argument sinus hyperbolique : en effet «$y$ est la solution de même signe que $x$ de l'équation $\exp (y)-\exp (-y)=2x$» ou,
     Forme logarithmique de la fonction argument sinus hyperbolique : en multipliant les deux membres par $\exp (y)$ et en ordonnant en puissance $\searrow$ de $\exp (y)$,
     Forme logarithmique de la fonction argument sinus hyperbolique : en effet «$\exp (y)$ est solution de l'équation $\exp (2y)-2x\exp (y)-1=0$»,
           Forme logarithmique de la fonction argument sinus hyperbolique : en effet «$\exp (y)$ est solution de l’équation du 2^nd degré en $\exp (y)$ de discriminant réduit ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=x^2+1>0$ d'où
     Forme logarithmique de la fonction argument sinus hyperbolique : en effet «$\exp (y)=x+\sqrt{x^2+1}$» soit finalement, en inversant, «$y=\ln [x+\sqrt{x^2+1}]$».

Fonction argument cosinus hyperbolique

     « Pour que la fonction $\cosh ()$ soit inversable » il faut « restreindre son domaine de définition $ℝ$» pour qu'elle y soit « bijective »,
     « Pour que la fonction $\cosh ()$ soit inversable » on le « restreint à ${ℝ}_{+}$» ; « son inverse notée $\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}()$» définit alors la fonction « argument cosinus hyperbolique » ;

Tracé du graphe de $\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}(x)$ sur l'intervalle de définition restreint à $[1;+25]$, avec pour intervalle de valeurs $[0;\simeq 3,9]$

     « La fonction $y=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}(x)$ est la fonction inverse de$x=\cosh (y)$»,
     « pour $x=\cosh (y)$ le domaine de définition étant restreint à ${ℝ}_{+}$» et « le domaine des valeurs étant $[1,+\mathrm{\infty }[$», $\Rightarrow$
     pour $x=\cosh (y)$ « le domaine de définition de la fonction $\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}()$ est $[1,+\mathrm{\infty }[$» et « son domaine de valeurs ${ℝ}_{+}$» ;

     tracé du graphe de la fonction$y=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}(x)$ : $[$le graphe de $y=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}(x)$ est le symétrique par rapport à la 1^ère diagonale
     tracé du graphe de la fonction$y=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}(x)$ : $[$de celui de $x=\cosh (y)$ restreint à ${ℝ}_{+}$$]$ voir ci-contre ;

     tracé du graphe de la fonction$y=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}(x)$ : on observe que la fonction est «$\nearrow$»,
     tracé du graphe de la fonction$y=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}(x)$ : on observe que la fonction est « continue $[1,+\mathrm{\infty }[$ et dérivable sur $]1,+\mathrm{\infty }[$»,
     tracé du graphe de la fonction$y=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}(x)$ : on observe que la fonction sa dérivée valant «$\frac{d[\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}(x)]}{dx}=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$» ;
     tracé du graphe de la fonction$y=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}(x)$ : on déduit de cette expression de dérivée de la fonction $\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}()$ la propriété :
     tracé du graphe de la fonction$y=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}(x)$ : on déduit « une primitive de $\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$ est $\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}(x)+cste$».

     Justification de l'expression de la dérivée de$y=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}(x)$ : on inverse la fonction $y=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}(x)$ selon $\left\{\begin{array}{c}x=\cosh (y)\\ y\in {ℝ}_{+}\end{array}\right\}$ et
     Justification de l'expression de la dérivée de$y=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}(x)$ : on différencie la fonction inversée $\Rightarrow$ $dx=\sinh (y)dy$ dont on tire
     Justification de l'expression de la dérivée de$y=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}(x)$ : on différencie la fonction inversée $\Rightarrow$ $dy=\frac{dx}{\sinh (y)}$ $[$nécessitant $y\ne 0\iff x\ne 1$ $\Rightarrow$ $y=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}(x)$ non dérivable pour $x=1]$,
     Justification de l'expression de la dérivée de$y=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}(x)$ : on termine en éliminant $y$ au profit de $x$ avec $\sinh (y)=\sqrt{{\cosh }^2(y)-1}$ $=\sqrt{x^2-1}$ soit
     Justification de l'expression de la dérivée de$y=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}(x)$ : on différencie la fonction inversée $\Rightarrow$ $dy=\frac{dx}{\sqrt{x^2-1}}$ dont on déduit $\frac{dy}{dx}(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$.

     Forme logarithmique de la fonction argument cosinus hyperbolique : «$\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}(x)=\ln [x+\sqrt{x^2-1}]\mathrm{\forall }x$» ;
     Forme logarithmique de la fonction argument cosinus hyperbolique : en effet «$y=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}(x)$» $\iff$ «$\left\{\begin{array}{c}x=\cosh (y)=\frac{\exp (y)+\exp (-y)}{2}\\ y\in {ℝ}_{+}\end{array}\right\}$» c'est-à-dire
     Forme logarithmique de la fonction argument cosinus hyperbolique : en effet «$y⩾0$ est solution de l'équation $\exp (y)-\exp (-y)=2x$» ou,
     Forme logarithmique de la fonction argument cosinus hyperbolique : en multipliant les deux membres par $\exp (y)$ et en ordonnant en puissance $\searrow$ de $\exp (y)$,
     Forme logarithmique de la fonction argument cosinus hyperbolique : en effet «$\exp (y)⩾1$ est solution de l'équation $\exp (2y)-2x\exp (y)-1=0$»,
           Forme logarithmique de la fonction argument cosinus hyperbolique : en effet «$\exp (y)⩾1$ est solution de l’équation du 2^nd degré en $\exp (y)$ de discriminant réduit ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=x^2+1>0$ d'où
     Forme logarithmique de la fonction argument cosinus hyperbolique : en effet «$\exp (y)=x+\sqrt{x^2+1}$» soit finalement, en inversant, «$y=\ln [x+\sqrt{x^2+1}]$».

Fonction argument tangente hyperbolique

     « La fonction $\tanh ()$ est inversable sur son domaine de définition $ℝ$» car elle y est « bijective » ; « son inverse notée $\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}()$» définit la fonction « argument tangente hyperbolique » ;

Tracé du graphe de $\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}(x)$ sur l'intervalle de définition $]-1;+1[$, avec pour intervalle de valeurs restreint à $[\simeq -4;\simeq +4]$

     « La fonction $y=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}(x)$ est la fonction inverse de$x=\tanh (y)$»,
     « pour $x=\tanh (y)$ le domaine de définition étant $ℝ$ et le domaine des valeurs $]-1,+1[$», $\Rightarrow$
     pour $x=\tanh (y)$ « le domaine de définition de la fonction $\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}()$ est $]-1,+1[$» et « son domaine de valeurs $ℝ$» ;

     tracé du graphe de la fonction$y=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}(x)$ : $[$le graphe de $y=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}(x)$ est le symétrique par rapport à la 1^ère diagonale
     tracé du graphe de la fonction$y=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}(x)$ : $[$de celui de $x=\tanh (y)]$ voir ci-contre ;

     tracé du graphe de la fonction$y=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}(x)$ : on observe que la fonction est «$\nearrow$»,
     tracé du graphe de la fonction$y=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}(x)$ : on observe que la fonction est « impaire » $[\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}(-x)=-\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}(x)]$,
     tracé du graphe de la fonction$y=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}(x)$ : on observe que la fonction est « continue et dérivable sur $]-1,+1[$»,
     tracé du graphe de la fonction$y=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}(x)$ : on observe que la fonction sa dérivée valant «$\frac{d[\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}(x)]}{dx}=\frac{1}{1-x^2}$» ;
     tracé du graphe de la fonction$y=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}(x)$ : on déduit de cette expression de dérivée de la fonction $\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{n}\mathrm{h}()$ la propriété :
     tracé du graphe de la fonction$y=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}(x)$ : on déduit « une primitive de $\frac{1}{1-x^2}$ est $\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}(x)+cste$».

     Justification de l'expression de la dérivée de$y=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}(x)$ : on inverse la fonction $y=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}(x)$ selon $x=\tanh (y)$, puis
     Justification de l'expression de la dérivée de$y=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}(x)$ : on différencie la fonction inversée $\Rightarrow$ $dx=[1-{\tanh }^2(y)]dy$ et
     Justification de l'expression de la dérivée de$y=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}(x)$ : on différencie la fonction inversée $\Rightarrow$ $dy=\frac{dx}{1-{\tanh }^2(y)}$ sans restriction car $\tanh (y)\ne \pm 1\mathrm{\forall }y$,
     Justification de l'expression de la dérivée de$y=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}(x)$ : on termine en éliminant $y$ au profit de $x$ avec $\tanh (y)=x$ soit $dy=\frac{dx}{1-x^2}$ dont on déduit $\frac{dy}{dx}(x)=\frac{1}{1-x^2}$.

     Forme logarithmique de la fonction argument tangente hyperbolique : «$\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}(x)=\frac{1}{2}\ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right)\mathrm{\forall }x$» ;
     Forme logarithmique de la fonction argument tangente hyperbolique : en effet «$y=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}(x)$» $\iff$ «$x=\tanh (y)=\frac{\exp (y)-\exp (-y)}{\exp (y)+\exp (-y)}$» c'est-à-dire
     Forme logarithmique de la fonction argument tangente hyperbolique : en effet «$y$ est la solution de même signe que $x$ de l'équation $\exp (y)-\exp (-y)=x\exp (y)+x\exp (-y)$» ou,
     Forme logarithmique de la fonction argument tangente hyperbolique : en regroupant les termes en $\exp (y)$ et en $\exp (-y)$ dans des membres distincts «$(1-x)\exp (y)=(1+x)\exp (-y)$» puis
     Forme logarithmique de la fonction argument tangente hyperbolique : en multipliant chaque membre par $\exp (y)$ $\Rightarrow$ «$(1-x)\exp (2y)=(1+x)$» ou, $x$ étant $\ne 1$, «$\exp (2y)=\frac{1+x}{1-x}$» $\Rightarrow$
     Forme logarithmique de la fonction argument tangente hyperbolique : en multipliant chaque membre par $\exp (y)$ $\Rightarrow$ «$(1-x)\exp (2y)=(1+x)$» ou, $x$ étant $\ne 1$, «$\exp (y)=\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}$» soit
     Forme logarithmique de la fonction argument tangente hyperbolique : en inversant cette dernière relation, «$y=\ln \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}=\frac{1}{2}\ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right)$».

Fonction argument cotangente hyperbolique

     « La fonction $\coth ()$ est inversable sur son domaine de définition ${ℝ}^{\ast }$» car elle y est « bijective » ; « son inverse notée $\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{h}()$» définit la fonction « argument cotangente hyperbolique » ;

Tracé du graphe de $\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{h}(x)$ sur l'intervalle de définition restreint à $[\simeq -5;-1[\cup ]+1;\simeq +5]$, avec un intervalle de valeurs restreint à $[\simeq -2,7;\simeq +2,7]$

     « La fonction $y=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{h}(x)$ est la fonction inverse de$x=\coth (y)$»,
     « pour $x=\coth (y)$ le domaine de définition étant ${ℝ}^{\ast }$ et le domaine des valeurs $]-\mathrm{\infty },-1[\cup ]+1,+\mathrm{\infty }[$», $\Rightarrow$
     pour $x=\coth (y)$ « le domaine de définition de la fonction $\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{h}()$ est $]-\mathrm{\infty },-1[\cup ]+1,+\mathrm{\infty }[$» et
     pour $x=\coth (y)$ « son domaine de valeurs ${ℝ}^{\ast }$» ;

     tracé du graphe de la fonction$y=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{h}(x)$ : $[$le graphe de $y=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{h}(x)$ est le symétrique par rapport à la 1^ère diagonale
     tracé du graphe de la fonction$y=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{h}(x)$ : $[$de celui de $x=\coth (y)]$ voir ci-contre ;

     tracé du graphe de la fonction$y=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{h}(x)$ : on observe que la fonction est «$\searrow$ sur $]-\mathrm{\infty },-1[$ ainsi que sur $]+1,+\mathrm{\infty }[$»,
     tracé du graphe de la fonction$y=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{h}(x)$ : on observe que la fonction est « impaire » $[\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{h}(-x)=-\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{h}(x)]$,
     tracé du graphe de la fonction$y=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{h}(x)$ : on observe que la fonction est « continue et dérivable sur $]-\mathrm{\infty },-1[$ ainsi que
     tracé du graphe de la fonction$y=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{h}(x)$ : on observe que la fonction est « continue et dérivable sur $]+1,+\mathrm{\infty }[$»,
     tracé du graphe de la fonction$y=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{h}(x)$ : on observe que la fonction sa dérivée valant «$\frac{d[\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}(x)]}{dx}=\frac{-1}{x^2-1}$» ;
     tracé du graphe de la fonction $y=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}(x)$ : on déduit de cette expression de dérivée de la fonction $\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{h}()$ la propriété :
     tracé du graphe de la fonction$y=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{h}(x)$ : on déduit « une primitive de $\frac{-1}{x^2-1}=\frac{1}{1-x^2}$ est $\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{h}(x)+cste$».

     Justification de l'expression de la dérivée de$y=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{h}(x)$ : on inverse la fonction $y=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{h}(x)$ selon $x=\coth (y)$, puis
     Justification de l'expression de la dérivée de$y=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{h}(x)$ : on différencie la fonction inversée $\Rightarrow$ $dx=[1-{\coth }^2(y)]dy$ et
     Justification de l'expression de la dérivée de$y=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{h}(x)$ : on différencie la fonction inversée $\Rightarrow$ $dy=\frac{dx}{1-{\coth }^2(y)}$ sans restriction car $\coth (y)\ne \pm 1\mathrm{\forall }y$,
     Justification de l'expression de la dérivée de$y=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{h}(x)$ : on termine en éliminant $y$ au profit de $x$ avec $\coth (y)=x$ soit $dy=\frac{dx}{1-x^2}=\frac{-dx}{x^2-1}$ dont on déduit $\frac{dy}{dx}(x)=\frac{-1}{x^2-1}$.

     Forme logarithmique de la fonction argument cotangente hyperbolique : «$\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{h}(x)=\frac{1}{2}\ln \left(\frac{x+1}{x-1}\right)\mathrm{\forall }x$» ;
     Forme logarithmique de la fonction argument cotangente hyperbolique : en effet «$y=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{h}(x)$» $\iff$ «$x=\coth (y)=\frac{\exp (y)+\exp (-y)}{\exp (y)-\exp (-y)}$» c'est-à-dire
     Forme logarithmique de la fonction argument cotangente hyperbolique : en effet «$y$ est la solution de même signe que $x$ de l'équation $\exp (y)+\exp (-y)=x\exp (y)-x\exp (-y)$» ou,
     Forme logarithmique de la fonction argument cotangente hyperbolique : en regroupant les termes en $\exp (y)$ et en $\exp (-y)$ dans des membres distincts «$(1+x)\exp (-y)=(x-1)\exp (y)$» puis
     Forme logarithmique de la fonction argument cotangente hyperbolique : en multipliant chaque membre par $\exp (y)$ $\Rightarrow$ «$(x-1)\exp (2y)=(1+x)$» ou, $x$ étant $\ne 1$, «$\exp (2y)=\frac{1+x}{x-1}$» $\Rightarrow$
     Forme logarithmique de la fonction argument cotangente hyperbolique : en multipliant chaque membre par $\exp (y)$ $\Rightarrow$ «$(x-1)\exp (2y)=(1+x)$» ou, $x$ étant $\ne 1$, «$\exp (y)=\sqrt{\frac{1+x}{x-1}}$» soit
     Forme logarithmique de la fonction argument cotangente hyperbolique : en inversant cette dernière relation, «$y=\ln \sqrt{\frac{x+1}{x-1}}=\frac{1}{2}\ln \left(\frac{x+1}{x-1}\right)$».