Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Fonctions hyperboliques directes et inverses

**Fonctions hyperboliques directes et inverses**
Leçon : Outils mathématiques pour la physique (PCSI)

Chapitre n^o 27
Chap. préc. :	Transformées bilatérales de Laplace directes et inverses, cas particulier des transformées de Fourier
Chap. suiv. :	Formes différentielles et différentielles de fonctions

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Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Fonctions hyperboliques directes et inverses », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Voir aussi la leçon Trigonométrie hyperbolique.

Les fonctions hyperboliques ont été inventées par Vincenzo Riccati^[1] vers $\;1760\;$ alors qu'il cherchait à calculer l'« aire sous l'hyperbole d'équation $\;x^{2}-y^{2}=1\;$ »^[2], la méthode géométrique qu'il employa était semblable à celle qu'il utilisait pour calculer l'« aire sous le cercle d'équation $\;x^{2}+y^{2}=1\;$ » méthode où il introduisait les fonctions trigonométriques qu'il appela « circulaires » ; par analogie il nomma les nouvelles fonctions créées « hyperboliques ».

Fonctions hyperboliques directes[modifier | modifier le wikicode]

Il y a un lien de construction à partir de la fonction exponentielle entre les fonctions « trigonométriques » directes et les fonctions « hyperboliques » directes :

par exemple le cosinus

\;{\big (}

trigonométrique

{\big )}\;

et le cosinus hyperbolique sont construits de la même façon à partir de la fonction exponentielle définie sur

\;i\mathbb {R} \;

pour la 1^ère et sur

\;\mathbb {R} \;

^[3] pour la 2^nde

\;\ldots

Cosinus hyperbolique[modifier | modifier le wikicode]

Le cosinus hyperbolique, noté $\;\cosh()\;$ ^[4], est « défini sur $\;\mathbb {R} \;$ » selon « $\;\cosh(x)={\dfrac {\exp(x)+\exp(-x)}{2}}\;$ »,

Le cosinus hyperbolique, noté $\;\color {transparent}{\cosh()}\;$ , « son domaine de valeurs est $\;\left[1\,,\,+\infty \right[\;$ »,

Le cosinus hyperbolique, noté $\;\color {transparent}{\cosh()}\;$ , c'est une fonction « paire » c'est-à-dire « $\;\cosh(-x)=\cosh(x)\;$ » et

Le cosinus hyperbolique, noté $\;\color {transparent}{\cosh()}\;$ , c'est une fonction « dérivable sur $\;\mathbb {R} \;$ » avec « $\;{\dfrac {d\left[\cosh(x)\right]}{dx}}=\sinh(x)\;$ » car $\;{\dfrac {d\left[\cosh(x)\right]}{dx}}=$ ${\dfrac {\exp(x)-\exp(-x)}{2}}=\sinh(x)\;$ d'après la définition du sinus hyperbolique^[5] ;

        Le cosinus hyperbolique, noté $\;\color {transparent}{\cosh()}\;$ , variation de $\;\cosh()$ : « $\;\searrow \;$ de $\;+\infty \;$ à $\;1\;$ sur $\;\left]-\infty \,,\,0\right]\;$ » puis
        Le cosinus hyperbolique, noté $\;\color {transparent}{\cosh()}\;$ , variation de $\;\color {transparent}{\cosh()}$ : « $\;\nearrow \;$ de $\;1\;$ à $\;+\infty \;$ sur $\;\left[0\,,+\infty \right[\;$ »,
        Le cosinus hyperbolique, noté $\;\color {transparent}{\cosh()}\;$ , variation de $\;\color {transparent}{\cosh()}$ : voir graphe ci-contre sur l'intervalle de définition restreint à $\;\left[-4\,,\,+4\right]$ ;

Le cosinus hyperbolique, noté $\;\color {transparent}{\cosh()}\;$ , variation de $\;\color {transparent}{\cosh()}$ : ce graphe est appelé « chaînette »^[6],
Le cosinus hyperbolique, noté $\;\color {transparent}{\cosh()}\;$ , variation de $\;\color {transparent}{\cosh()}$ : ce graphe il est symétrique relativement à l'axe des ordonnées $\;y'y$ .

Sinus hyperbolique[modifier | modifier le wikicode]

Le sinus hyperbolique, noté $\;\sinh()\;$ ^[7], est « défini sur $\;\mathbb {R} \;$ » selon « $\;\sinh(x)={\dfrac {\exp(x)-\exp(-x)}{2}}\;$ »,

Le sinus hyperbolique, noté $\;\color {transparent}{\sinh()}\;$ , « son domaine de valeurs est $\;\left]-\infty \,,\,+\infty \right[\;$ »,

Le sinus hyperbolique, noté $\;\color {transparent}{\sinh()}\;$ , c'est une fonction « impaire » c'est-à-dire « $\;\sinh(-x)=-\sinh(x)\;$ » et

Le sinus hyperbolique, noté $\;\color {transparent}{\sinh()}\;$ , c'est une fonction « dérivable sur $\;\mathbb {R} \;$ » avec « $\;{\dfrac {d\left[\sinh(x)\right]}{dx}}=\cosh(x)\;$ » car $\;{\dfrac {d\left[\sinh(x)\right]}{dx}}=$ ${\dfrac {\exp(x)+\exp(-x)}{2}}=\sinh(x)\;$ d'après la définition du cosinus hyperbolique^[8] ;

        Le sinus hyperbolique, noté $\;\color {transparent}{\sinh()}\;$ , variation de $\;\sinh()$ : « $\;\nearrow \;$ de $\;-\infty \;$ à $\;+\infty \;$ sur $\;\left]-\infty \,,\,+\infty \right[\;$ »
        Le sinus hyperbolique, noté $\;\color {transparent}{\sinh()}\;$ , variation de $\;\color {transparent}{\sinh()}$ : voir graphe ci-contre sur l'intervalle de définition restreint à $\;\left[-4\,,\,+4\right]$ ,
        Le sinus hyperbolique, noté $\;\color {transparent}{\sinh()}\;$ , variation de $\;\color {transparent}{\sinh()}$ : voir graphe ci-contre l'intervalle de valeurs étant $\;\left[\simeq -27,3\,;\,\simeq +27,3\right]$ ;

Le sinus hyperbolique, noté $\;\color {transparent}{\sinh()}\;$ , variation de $\;\color {transparent}{\sinh()}$ : ce graphe est symétrique relativement à l'origine du repérage $\;O$ .

Tangente hyperbolique[modifier | modifier le wikicode]

La tangente hyperbolique, notée $\;\tanh()\;$ ^[9], est « définie sur $\;\mathbb {R} \;$ » selon « $\;\tanh(x)={\dfrac {\exp(x)-\exp(-x)}{\exp(x)+\exp(-x)}}\;$ » ou encore, à l'aide des deux autres fonctions hyperboliques précédentes « $\;\tanh(x)={\dfrac {\sinh(x)}{\cosh(x)}}\;$ »,

La tangente hyperbolique, notée $\;\color {transparent}{\tanh()}\;$ , « son domaine de valeurs est $\;\left]-1\,,\,+1\right[\;$ »,

La tangente hyperbolique, notée $\;\color {transparent}{\tanh()}\;$ , c'est une fonction « impaire » c'est-à-dire « $\;\tanh(-x)=-\tanh(x)\;$ » et

La tangente hyperbolique, notée $\;\color {transparent}{\tanh()}\;$ , c'est une fonction « dérivable sur $\;\mathbb {R} \;$ » avec « $\;{\dfrac {d\left[\tanh(x)\right]}{dx}}={\dfrac {1}{\cosh ^{2}(x)}}\;$ » car $\;{\dfrac {d\left[\tanh(x)\right]}{dx}}$ $={\dfrac {d\left[{\dfrac {\sinh(x)}{\cosh(x)}}\right]}{dx}}={\dfrac {\cosh ^{2}(x)-\sinh ^{2}(x)}{\cosh ^{2}(x)}}={\dfrac {1}{\cosh ^{2}(x)}}\;$ ^[10], la dérivée s'écrivant encore

La tangente hyperbolique, notée $\;\color {transparent}{\tanh()}\;$ , c'est une fonction « dérivable sur $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }\;$ » avec « $\;{\dfrac {d\left[\tanh(x)\right]}{dx}}=1-\tanh ^{2}(x)\;$ » en effet au lieu d'utiliser la relation fondamentale liant $\;\cosh(x)\;$ et $\;\sinh(x)\;$ il suffit de transformer $\;{\dfrac {d\left[\tanh(x)\right]}{dx}}\;{\stackrel {\cdots }{=}}\;{\dfrac {\cosh ^{2}(x)-\sinh ^{2}(x)}{\cosh ^{2}(x)}}=$ $1-\left[{\dfrac {\sinh(x)}{\cosh(x)}}\right]^{2}=1-\tanh ^{2}(x)$ ;

La tangente hyperbolique, notée $\;\color {transparent}{\tanh()}\;$ , variation de $\;\tanh()$ : « $\;\nearrow \;$ de $\;-1\;$ à $\;+1\;$ sur $\;\left]-\infty \,,\,+\infty \right[\;$ »
La tangente hyperbolique, notée $\;\color {transparent}{\tanh()}\;$ , variation de $\;\color {transparent}{\tanh()}$ : voir graphe ci-dessus avec un intervalle de définition restreint à $\;\left[-4\,,\,+4\right]$ ;

La tangente hyperbolique, notée $\;\color {transparent}{\tanh()}\;$ , variation de $\;\color {transparent}{\tanh()}$ : ce graphe est symétrique relativement à l'origine du repérage $\;O\;$ et
La tangente hyperbolique, notée $\;\color {transparent}{\tanh()}\;$ , variation de $\;\color {transparent}{\tanh()}$ : ce graphe admet deux asymptotes horizontales^[11] pour les ordonnées $\;\pm 1$ .

Cotangente hyperbolique[modifier | modifier le wikicode]

La cotangente hyperbolique, notée $\;\coth()\;$ ^[12], est « définie sur $\;\mathbb {R} ^{*}\;$ » selon « $\;\coth(x)={\dfrac {\exp(x)+\exp(-x)}{\exp(x)-\exp(-x)}}\;$ » ou encore, à l'aide des deux 1^ères fonctions hyperboliques « $\;\coth(x)={\dfrac {\cosh(x)}{\sinh(x)}}\;$ » ou enfin, en fonction de la tangente hyperbolique, « $\;\coth(x)={\dfrac {1}{\tanh(x)}}\;$ » $\;{\big (}$ raison pour laquelle la cotangente hyperbolique est très peu utilisée^[13] ${\big )}$ ,

La cotangente hyperbolique, notée $\;\color {transparent}{\coth()}\;$ , « son domaine de valeurs est $\;\left]-\infty \,,\,-1\right[\cup \left]+1\,,\,+\infty \right[\;$ »,

La cotangente hyperbolique, notée $\;\color {transparent}{\coth()}\;$ , c'est une fonction « impaire » c'est-à-dire « $\;\coth(-x)=-\coth(x)\;$ »,

La cotangente hyperbolique, notée $\;\color {transparent}{\coth()}\;$ , c'est une fonction « dérivable sur $\;\mathbb {R} ^{*}\;$ », de dérivée « $\;{\dfrac {d\left[\coth(x)\right]}{dx}}={\dfrac {-1}{\sinh ^{2}(x)}}\;$ » car $\;{\dfrac {d\left[\coth(x)\right]}{dx}}$ $={\dfrac {d\left[{\dfrac {\cosh(x)}{\sinh(x)}}\right]}{dx}}={\dfrac {\sinh ^{2}(x)-\cosh ^{2}(x)}{\sinh ^{2}(x)}}={\dfrac {-1}{\sinh ^{2}(x)}}\;$ ^[10], la dérivée s'écrivant encore

La cotangente hyperbolique, notée $\;\color {transparent}{\coth()}\;$ , c'est une fonction « dérivable sur $\;\color {transparent}{\mathbb {R} ^{*}}\;$ », de dérivée « $\;{\dfrac {d\left[\coth(x)\right]}{dx}}=1-\coth ^{2}(x)\;$ » en effet au lieu d'utiliser la relation fondamentale liant $\;\cosh(x)\;$ et $\;\sinh(x)\;$ il suffit de transformer $\;{\dfrac {d\left[\coth(x)\right]}{dx}}\;{\stackrel {\cdots }{=}}\;{\dfrac {\sinh ^{2}(x)-\cosh ^{2}(x)}{\sinh ^{2}(x)}}=$ $1-\left[{\dfrac {\cosh(x)}{\sinh(x)}}\right]^{2}=1-\coth ^{2}(x)$ ;

         La cotangente hyperbolique, notée $\;\color {transparent}{\coth()}\;$ , variation de $\;\coth()$ : « $\;\searrow \;$ de $\;-1\;$ à $\;-\infty \;$ sur $\;\left]-\infty \,,\,0\right[\;$ » puis
         La cotangente hyperbolique, notée $\;\color {transparent}{\coth()}\;$ , variation de $\;\color {transparent}{\coth()}$ : « $\;\searrow \;$ de $\;+\infty \;$ à $\;+1\;$ sur $\;\left]0\,,+\infty \right[\;$ »
         La cotangente hyperbolique, notée $\;\color {transparent}{\coth()}\;$ , variation de $\;\color {transparent}{\coth()}$ : voir graphe ci-dessus avec un intervalle de définition restreint à $\;\left[-4\,,\,+4\right]\;$ et un domaine de valeurs à $\;\left[-5\,,\,-1\right[\cup \left]+1\,,\,+5\right]$ ;

         La cotangente hyperbolique, notée $\;\color {transparent}{\coth()}\;$ , variation de $\;\color {transparent}{\coth()}$ : ce graphe est symétrique relativement à l'origine du repérage $\;O\;$ et
         La cotangente hyperbolique, notée $\;\color {transparent}{\coth()}\;$ , variation de $\;\color {transparent}{\coth()}$ : ce graphe admet deux asymptotes horizontales^[11] pour les ordonnées $\;\pm 1\;$ ainsi qu'
         La cotangente hyperbolique, notée $\;\color {transparent}{\coth()}\;$ , variation de $\;\color {transparent}{\coth()}$ : ce graphe admet une asymptote verticale^[14] pour $\;x=0$ .

Commentaires : explication du nom donné aux nouvelles fonctions créées par Vincenzo Riccati[modifier | modifier le wikicode]

« Une demi-droite passant par l'origine coupe l’hyperbole d'équation $\;x^{2}-y^{2}=1\;$ ^[2] en un point dont les coordonnées paramétrées par Vincenzo Riccati en fonction d'une grandeur $\;{\mathfrak {a}}\;$ » lui permirent de créer de nouvelles fonctions baptisées respectivement « cosinus hyperbolique » pour l'abscisse et « sinus hyperbolique » pour l'ordonnée, plus précisément « $\;\left\lbrace x=\cosh({\mathfrak {a}})\,;\,y=\sinh({\mathfrak {a}})\right\rbrace \;$ », « le paramètre $\;{\mathfrak {a}}\;$ s'avérant être le double de l'aire algébrique de la surface délimitée par la demi-droite, l'hyperbole et l'axe des abscisses » $\;{\big (}$ en rouge sur le schéma ci-contre ${\big )}$ .

Identification des fonctions hyperboliques créées par Vincenzo Ricati avec celles définies par exponentielles^[16] : on établit

tout d'abord que « le point $\;M\;$ d'abscisse $\;x=\cosh({\mathfrak {a}})\;$ et d'ordonnée $\;y=\sinh({\mathfrak {a}})\;$ vérifie l'équation de l'hyperbole $\;x^{2}-y^{2}=1\;$ »^[2] par utilisation de la relation fondamentale liant $\;\cosh(x)\;$ et $\;\sinh(x)\;$ ^[10] soit « $\;\cosh ^{2}({\mathfrak {a}})-\sinh ^{2}({\mathfrak {a}})=1\,$ »,
ensuite, du fait que le vecteur position de $\;M\;$ s'écrivant « $\;{\overrightarrow {OM}}=\cosh({\mathfrak {a}})\;{\vec {u}}_{x}+\sinh({\mathfrak {a}})\;{\vec {u}}_{y}\;$ » on peut en déduire
$\;\succ \;$ l'expression du « vecteur déplacement élémentaire $\;{\overrightarrow {dM}}=\sinh({\mathfrak {a}})\;d{\mathfrak {a}}\;{\vec {u}}_{x}+\cosh({\mathfrak {a}})\;d{\mathfrak {a}}\;{\vec {u}}_{y}\;$ » puis
$\;\succ \;$ celle du « vecteur surface élémentaire $\;{\overrightarrow {dS}}\;$ balayée par le rayon vecteur $\;{\overrightarrow {OM}}\;$ quand le point $\;M\;$ se déplace sur l'hyperbole de $\;{\overrightarrow {dM}}\;$ » à l'aide de sa définition « $\;{\overrightarrow {dS}}={\dfrac {{\overrightarrow {OM}}\wedge {\overrightarrow {dM}}}{2}}\;$ »^[17], ce qui permet de déterminer, dans le cas présent, l'expression « $\;{\overrightarrow {dS}}=$ ${\dfrac {\left[\cosh({\mathfrak {a}})\;{\vec {u}}_{x}+\sinh({\mathfrak {a}})\;{\vec {u}}_{y}\right]\wedge \left[\sinh({\mathfrak {a}})\;d{\mathfrak {a}}\;{\vec {u}}_{x}+\cosh({\mathfrak {a}})\;d{\mathfrak {a}}\;{\vec {u}}_{y}\right]}{2}}$ $={\dfrac {\left[\cosh ^{2}({\mathfrak {a}})-\sinh ^{2}({\mathfrak {a}})\right]d{\mathfrak {a}}}{2}}\;{\vec {u}}_{z}\;$ » et, en utilisant la relation fondamentale liant $\;\cosh(x)\;$ et $\;\sinh(x)\;$ ^[10] c'est-à-dire « $\;\cosh ^{2}({\mathfrak {a}})-\sinh ^{2}({\mathfrak {a}})=1\;$ », l'expression finale « $\;{\overrightarrow {dS}}={\dfrac {d{\mathfrak {a}}}{2}}\;{\vec {u}}_{z}\;$ » d'où
$\;\succ \;$ « l'aire de la surface balayée par le rayon vecteur $\;{\overrightarrow {OM}}\;$ quand le point $\;M\;$ se déplace sur l'hyperbole de $\;{\overrightarrow {dM}}\;$ », valant « $\;{\dfrac {d{\mathfrak {a}}}{2}}\;$ » et
$\;\succ \;$ « l'aire balayée par le rayon vecteur $\;{\overrightarrow {OM}}\;$ quand le point $\;M\;$ se déplace sur l'hyperbole du point de l'axe des abscisses jusqu'au point repéré par le paramètre $\;{\mathfrak {a}}\;$ » est « $\;{\dfrac {\mathfrak {a}}{2}}\;$ » C.Q.F.V^[18]..

     Remarque : Il y a également un « lien entre l'angle $\;\theta ={\widehat {\left({\overrightarrow {Ox}}\,,\,{\overrightarrow {OM}}\right)}}\;$ et l'aire $\;{\mathfrak {a}}\;$ de la surface balayée par le rayon vecteur quand le point $\;M\;$ se déplace sur l'hyperbole du point de l'axe des abscisses jusqu'au point repéré par $\;\theta \;$ » mais, contrairement au cas du cercle^[15], « $\;{\mathfrak {a}}\neq {\dfrac {\theta }{2}}\;$ » ;
     Remarque : en effet, « dans le cas de la branche d'hyperbole, les coordonnées polaires du point $\;M\;\left\lbrace \rho \,,\,\theta \right\rbrace \;$ sont telles que $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}x=\rho \;\cos(\theta )\\y=\rho \;\sin(\theta )\end{array}}\right\rbrace \;$ », ce qui donne, « par report dans l'équation cartésienne $\;x^{2}-y^{2}=1\;$ de cette branche », $\;\rho ^{2}\;\cos ^{2}(\theta )-\rho ^{2}\;\sin ^{2}(\theta )=1\;$ ou $\;\rho ^{2}={\dfrac {1}{\cos ^{2}(\theta )-\sin ^{2}(\theta )}}\;$ c'est-à-dire l'équation polaire de la branche d'hyperbole suivante « $\;\rho ^{2}={\dfrac {1}{\cos(2\;\theta )}}\;$ » ${\bigg [}$ on trouve ainsi les deux asymptotes de l'hyperbole correspondant à $\;\rho \rightarrow +\infty \;$ soit $\;\theta \rightarrow \pm {\dfrac {\pi }{4}}{\bigg ]}\;$ dont on peut déduire
     Remarque : en effet « le vecteur surface élémentaire balayée par le rayon vecteur quand le point $\;M\;$ se déplace sur la branche d'hyperbole de $\;{\overrightarrow {dM}}\;$ » « $\;{\overrightarrow {dS}}={\dfrac {{\overrightarrow {OM}}\wedge {\overrightarrow {dM}}}{2}}\;$ se réécrivant en polaire $\;{\overrightarrow {dS}}$ $={\dfrac {\rho \;{\vec {u}}_{\rho }\wedge \left(d\rho \;{\vec {u}}_{\rho }+\rho \;d\theta \;{\vec {u}}_{\theta }\right)}{2}}={\dfrac {\rho ^{2}\;d\theta }{2}}\;{\vec {u}}_{z}\;$ » dont on tire « l'aire de la surface élémentaire balayée par le rayon vecteur $\;d{\mathfrak {a}}={\dfrac {\rho ^{2}\;d\theta }{2}}={\dfrac {d\theta }{2\;\cos(2\;\theta )}}\;$ effectivement $\;\neq {\dfrac {d\theta }{2}}\;$ » ;
     Remarque : en effet on obtient alors « $\;{\mathfrak {a}}\;$ en intégrant la relation précédente entre $\;0\;$ et $\;\theta \;$ soit $\;{\mathfrak {a}}=\displaystyle \int _{0}^{\theta }{\dfrac {d\theta '}{2\;\cos(2\;\theta ')}}\;$ » qui s'intègre en posant « $\;t'=\tan \!\left(\theta '\right)\;$ $\Rightarrow$ $\;dt'=\left[1+\tan ^{2}\!\left(\theta '\right)\right]d\theta '\;$ soit $\;d\theta '=$ ${\dfrac {dt'}{1+{t'}^{2}}}\;$ » et « $\;\cos(2\;\theta ')=\cos ^{2}(\theta ')-\sin ^{2}(\theta ')=\cos ^{2}(\theta ')\left[1-\tan ^{2}(\theta ')\right]={\dfrac {1-\tan ^{2}(\theta ')}{1+\tan ^{2}(\theta ')}}\;$ soit $\;{\dfrac {1}{\cos(2\;\theta ')}}={\dfrac {1+{t'}^{2}}{1-{t'}^{2}}}\;$ » d'où « $\;{\mathfrak {a}}={\dfrac {1}{2}}\;\displaystyle \int _{0}^{t}{\dfrac {dt'}{1-{t'}^{2}}}\;$ » ou,
     Remarque : en effet on obtient alors « $\;\color {transparent}{\mathfrak {a}}\;$ avec « $\;{\dfrac {1}{1-{t'}^{2}}}={\dfrac {\dfrac {1}{2}}{1-t'}}+{\dfrac {\dfrac {1}{2}}{1+t'}}\;$ »^[19] donnant « $\;{\mathfrak {a}}={\dfrac {1}{4}}\left[\displaystyle \int _{0}^{t}{\dfrac {dt'}{1-t'}}+\displaystyle \int _{0}^{t}{\dfrac {dt'}{1+t'}}\right]={\dfrac {1}{4}}\left[\displaystyle \int _{t'\,=\,0}^{t'\,=\,t}{\dfrac {d(1+t')}{1+t'}}-\displaystyle \int _{t'\,=\,0}^{t'\,=\,t}{\dfrac {d(1-t')}{1-t'}}\right]={\dfrac {1}{4}}\left[\ln \!\left({\dfrac {1+t'}{1-t'}}\right)\right]_{0}^{t}$ $={\dfrac {1}{4}}\,\ln \!\left({\dfrac {1+t}{1-t}}\right)\;$ » soit finalement
     Remarque : en effet on obtient alors le « lien entre l'angle $\;\theta ={\widehat {\left({\overrightarrow {Ox}}\,,\,{\overrightarrow {OM}}\right)}}\;$ et l'aire $\;{\mathfrak {a}}\;$ de la surface balayée par le rayon vecteur quand le point $\;M\;$ se déplace sur l'hyperbole du point de l'axe des abscisses jusqu'au point repéré par $\;\theta \;$ » « $\;{\mathfrak {a}}={\dfrac {1}{4}}\,\ln \!\left[{\dfrac {1+\tan(\theta )}{1-\tan(\theta )}}\right]\;$ » $\;{\bigg (}\!$ nettement plus complexe que « $\;{\mathfrak {a}}={\dfrac {\theta }{2}}\;$ » obtenu dans le cas du cercle d'équation cartésienne $\;x^{2}+y^{2}=1\!{\bigg )}$ .

Liens entre cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique[modifier | modifier le wikicode]

Relation fondamentale^[20] : Si on calcule $\;\cosh ^{2}(x)=\left[{\dfrac {\exp(x)+\exp(-x)}{2}}\right]^{2}={\dfrac {\exp ^{(}2\,x)+\exp(-2\,x)+2}{4}}\;$ et
Relation fondamentale : Si on calcule $\;\sinh ^{2}(x)=\left[{\dfrac {\exp(x)-\exp(-x)}{2}}\right]^{2}={\dfrac {\exp ^{(}2\,x)+\exp(-2\,x)-2}{4}}$ , on vérifie aisément

«

\;\cosh ^{2}(x)-\sinh ^{2}(x)=1\;

».

Autres relations : Il existe deux autres liens entre cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique faisant intervenir l'une ou l'autre exponentielle de la variable ou de son opposée et se démontrant par simple utilisation de la définition des fonctions hyperboliques, ce sont

«

\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\cosh(x)+\sinh(x)=\exp(x)\\\cosh(x)-\sinh(x)=\exp(-x)\end{array}}\right\rbrace \;

»^[21].

Relations d'addition et de duplication[modifier | modifier le wikicode]

Relations d'addition : celles-ci se vérifiant sans difficulté en utilisant la définition de la fonction hyperbolique utilisée, les propriétés des exponentielles et en faisant réapparaître les fonctions hyperboliques souhaitées :

Relations d'addition : $\succ \;$ « $\;\cosh(a+b)=\cosh(a)\;\cosh(b)+\sinh(a)\;\sinh(b)\;$ »^[22] et
Relations d'addition : $\color {transparent}{\succ }\;$ « $\;\cosh(a-b)=\cosh(a)\;\cosh(b)-\sinh(a)\;\sinh(b)\;$ »^[23],

Relations d'addition : $\succ \;$ « $\;\sinh(a+b)=\sinh(a)\;\cosh(b)+\sinh(b)\;\cosh(a)\;$ »^[24] et
Relations d'addition : $\color {transparent}{\succ }\;$ « $\;\sinh(a-b)=\sinh(a)\;\cosh(b)-\sinh(b)\;\cosh(a)\;$ »^[25].

Relations de duplication : celles-ci se vérifiant à partir des relations d'addition précédentes et éventuelle utilisation de la relation fondamentale liant le cosinus hyperbolique et le sinus hyperbolique :

Relations de duplication : $\succ \;$ « $\;\cosh(2\,a)=\cosh ^{2}(a)+\sinh ^{2}(a)=2\,\cosh ^{2}(a)-1=1+2\,\sinh ^{2}(a)\;$ »^[26] $\;{\Bigg [}$ on en déduit les relations de linéarisation suivantes « $\;\cosh ^{2}(a)={\dfrac {1+\cosh(2\,a)}{2}}\;$ »^[27] et « $\;\sinh ^{2}(a)={\dfrac {\cosh(2\,a)-1}{2}}\;$ »^[28] ${\Bigg ]}$ ,

Relations de duplication : $\succ \;$ « $\;\sinh(2\,a)=2\;\sinh(a)\;\cosh(a)\;$ »^[29].

Fonctions hyperboliques inverses[modifier | modifier le wikicode]

Seule la fonction « cosinus hyperbolique » n'est pas bijective et nécessite une « restriction de définition » pour devenir inversable

\;\ldots

Fonction argument sinus hyperbolique[modifier | modifier le wikicode]

« La fonction $\;\sinh()\;$ est inversable sur son domaine de définition $\;\mathbb {R} \;$ » car elle y est « bijective » ; « son inverse notée $\;\mathrm {argsinh} ()\;$ »^[30] définit la fonction « argument sinus hyperbolique » ;

Tracé du graphe de $\;\mathrm {argsinh} (x)\;$ sur l'intervalle de définition restreint à $\;\left[-27\,;\,+27\right]$ , avec pour intervalle de valeurs $\;\left[\simeq -3,99\,;\,\simeq +3,99\right]$

« La fonction $\;y=\mathrm {argsinh} (x)\;$ est la fonction inverse de $\;x=\sinh(y)\;$ »,
« pour $\;x=\sinh(y)\;$ le domaine de définition étant $\;\mathbb {R} \;$ » et « le domaine des valeurs $\;\mathbb {R} \;$ » également, on en déduit

« le domaine de définition de la fonction

\;\mathrm {argsinh} ()\;

\mathbb {R} \;

» et
« son domaine de valeurs

\;\mathbb {R} \;

» également ;

tracé du graphe de la fonction $\;y=\mathrm {argsinh} (x)$ : voir ci-contre $\;{\big [}$ le graphe de $\;y=\mathrm {argsinh} (x)\;$ est le symétrique par rapport à la 1^ère diagonale de celui de $\;x=\sinh(y){\big ]}$ ;

     tracé du graphe de la fonction $\;\color {transparent}{y=\mathrm {argsinh} (x)}$ : on observe que la fonction est « $\;\nearrow \;$ »,
     tracé du graphe de la fonction $\;\color {transparent}{y=\mathrm {argsinh} (x)}$ : on observe que la fonction est « impaire » $\;{\big [}\mathrm {argsinh} (-x)=-\mathrm {argsinh} (x){\big ]}$ ,
     tracé du graphe de la fonction $\;\color {transparent}{y=\mathrm {argsinh} (x)}$ : on observe que la fonction est « continue et dérivable sur $\;\mathrm {R} \;$ », sa dérivée valant

«

\;{\dfrac {d\left[\mathrm {argsinh} (x)\right]}{dx}}={\dfrac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}\;

» ;

tracé du graphe de la fonction $\;\color {transparent}{y=\mathrm {argsinh} (x)}$ : on déduit de cette expression de dérivée de la fonction $\;\mathrm {argsinh} ()\;$ la propriété suivante

« une primitive de

\;{\dfrac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}\;

est

\;\mathrm {argsinh} (x)+cste\;

».

Justification de l'expression de la dérivée de $\;y=\mathrm {argsinh} (x)$ : on démontre ce résultat en inversant la fonction $\;y=\mathrm {argsinh} (x)\;$ $\Leftrightarrow$ $\;x=\sinh(y)$ , puis en différenciant la fonction inversée, ce qui donne $\;dx=\cosh(y)\,dy\;$ dont on tire $\;dy={\dfrac {dx}{\cosh(y)}}\;$ sans restriction car $\;\cosh(y)\neq 0\;\;\forall \;y$ , on termine en éliminant $\;y\;$ au profit de $\;x\;$ avec $\;\cosh(y)={\sqrt {1+\sinh ^{2}(y)}}={\sqrt {1+x^{2}}}\;$ soit $\;dy={\dfrac {dx}{\sqrt {1+x^{2}}}}\;$ dont on déduit $\;{\dfrac {dy}{dx}}$ .

Forme logarithmique de la fonction argument sinus hyperbolique : « $\;\mathrm {argsinh} (x)=\ln \!\left[x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right]\;\;\forall \;x\;$ » ;

     Forme logarithmique de la fonction argument sinus hyperbolique : en effet « $\;y=\mathrm {argsinh} (x)\;$ » $\Leftrightarrow$ « $\;x=\sinh(y)={\dfrac {\exp(y)-\exp(-y)}{2}}\;$ » c'est-à-dire
     Forme logarithmique de la fonction argument sinus hyperbolique : en effet « $\;y\;$ est la solution de même signe que $\;x\;$ de l'équation $\;\exp(y)-\exp(-y)=2\;x\;$ » ou,
     Forme logarithmique de la fonction argument sinus hyperbolique : en multipliant les deux membres par $\;\exp(y)\;$ et en ordonnant en puissance $\;\searrow \;$ de $\;\exp(y)$ ,
     Forme logarithmique de la fonction argument sinus hyperbolique : en effet « $\;\exp(y)\;$ est solution^[31] de l'équation $\;\exp(2\,y)-2\;x\;\exp(y)-1=0\;$ », équation du 2^nd degré en $\;\exp(y)\;$ de discriminant réduit $\;\Delta '=x^{2}+1>0\;$ d'où « $\;\exp(y)=x+{\sqrt {x^{2}+1}}\;$ »^[32] soit finalement, en inversant, « $\;y=\ln \!\left[x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right]\;$ ».

Fonction argument cosinus hyperbolique[modifier | modifier le wikicode]

« Pour que la fonction $\;\cosh()\;$ soit inversable » il faut « restreindre son domaine de définition $\;\mathbb {R} \;$ » pour qu'elle y soit « bijective », on le « restreint à $\;\mathbb {R} _{+}\;$ »^[33] ; « son inverse notée $\;\mathrm {argcosh} ()\;$ »^[34] définit alors la fonction « argument cosinus hyperbolique » ;

Tracé du graphe de $\;\mathrm {argcosh} (x)\;$ sur l'intervalle de définition restreint à $\;\left[1\,;\,+25\right]$ , avec pour intervalle de valeurs $\;\left[0\,;\,\simeq 3,9\right]$

« La fonction $\;y=\mathrm {argcosh} (x)\;$ est la fonction inverse de $\;x=\cosh(y)\;$ »,
« pour $\;x=\cosh(y)\;$ le domaine de définition étant restreint à $\;\mathbb {R} _{+}\;$ »^[33] et « le domaine des valeurs étant $\;\left[1\,,\,+\infty \right[\;$ », on en déduit

« le domaine de définition de la fonction

\;\mathrm {argcosh} ()\;

\left[1\,,\,+\infty \right[\;

» et
« son domaine de valeurs

\;\mathbb {R} _{+}\;

»^[33] ;

tracé du graphe de la fonction $\;y=\mathrm {argcosh} (x)$ : voir ci-contre $\;{\big [}$ le graphe de $\;y=\mathrm {argcosh} (x)\;$ est le symétrique par rapport à la 1^ère diagonale de celui de $\;x=\cosh(y)\;$ restreint à $\;\mathbb {R} _{+}\;$ ^[33] ${\big ]}$ ;

     tracé du graphe de la fonction $\;\color {transparent}{y=\mathrm {argcosh} (x)}$ : on observe que la fonction est « $\;\nearrow \;$ »,
     tracé du graphe de la fonction $\;\color {transparent}{y=\mathrm {argcosh} (x)}$ : on observe que la fonction est « continue $\;\left[1\,,\,+\infty \right[\;$ et dérivable sur $\;\left]1\,,\,+\infty \right[\;$ »,
     tracé du graphe de la fonction $\;\color {transparent}{y=\mathrm {argcosh} (x)}$ : on observe que la fonction est sa dérivée valant « $\;{\dfrac {d\left[\mathrm {argcosh} (x)\right]}{dx}}={\dfrac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}\;$ » ;

tracé du graphe de la fonction $\;\color {transparent}{y=\mathrm {argcosh} (x)}$ : on déduit de cette expression de dérivée de la fonction $\;\mathrm {argcosh} ()\;$ la propriété suivante

« une primitive de

\;{\dfrac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}\;

est

\;\mathrm {argcosh} (x)+cste\;

».

Justification de l'expression de la dérivée de $\;y=\mathrm {argcosh} (x)$ : on démontre ce résultat en inversant la fonction $\;y=\mathrm {argcosh} (x)\;$ $\Leftrightarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}x=\cosh(y)\\y\in \mathbb {R} _{+}\end{array}}\right\rbrace \;$ ^[33], puis en différenciant la fonction inversée, ce qui donne $\;dx=\sinh(y)\,dy\;$ dont on tire $\;dy={\dfrac {dx}{\sinh(y)}}\;$ ${\big [}$ d'où la fonction étudiée non dérivable pour $\;x=1$ , la division par $\;\sinh(y)\;$ nécessitant $\;y\neq 0\Leftrightarrow x\neq 1{\big ]}$ , on termine en éliminant $\;y\;$ au profit de $\;x\;$ avec $\;\sinh(y)={\sqrt {\cosh ^{2}(y)-1}}\;$ ^[35] ou $\;\sinh(y)={\sqrt {x^{2}-1}}\;$ soit $\;dy={\dfrac {dx}{\sqrt {x^{2}-1}}}\;$ dont on déduit $\;{\dfrac {dy}{dx}}$ .

Forme logarithmique de la fonction argument sinus hyperbolique : « $\;\mathrm {argcosh} (x)=\ln \!\left[x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right]\;\;\forall \;x\;$ » ;

     Forme logarithmique de la fonction argument sinus hyperbolique : en effet « $\;y=\mathrm {argcosh} (x)\;$ » $\Leftrightarrow$ « $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}x=\cosh(y)={\dfrac {\exp(y)+\exp(-y)}{2}}\\y\in \mathbb {R} _{+}\end{array}}\right\rbrace \;$ »^[33] c'est-à-dire
     Forme logarithmique de la fonction argument sinus hyperbolique : en effet « $\;y\geqslant 0\;$ est solution de l'équation $\;\exp(y)+\exp(-y)=2\;x\;$ » ou,
     Forme logarithmique de la fonction argument sinus hyperbolique : en multipliant les deux membres par $\;\exp(y)\;$ et en ordonnant en puissance $\;\searrow \;$ de $\;\exp(y)$ ,
     Forme logarithmique de la fonction argument sinus hyperbolique : en effet « $\;\exp(y)\;$ est solution de l'équation $\;\exp(2\,y)-2\;x\;\exp(y)+1=0\;$ », équation du 2^nd degré en $\;\exp(y)\;$ de discriminant réduit $\;\Delta '=x^{2}-1\geqslant 0\;$ d'où « $\;\exp(y)=x+{\sqrt {x^{2}-1}}\;$ »^[36] soit finalement, en inversant, « $\;y=\ln \!\left[x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right]\;$ ».

Fonction argument tangente hyperbolique[modifier | modifier le wikicode]

« La fonction $\;\tanh()\;$ est inversable sur son domaine de définition $\;\mathbb {R} \;$ » car elle y est « bijective » ; « son inverse notée $\;\mathrm {argtanh} ()\;$ »^[37] définit la fonction « argument tangente hyperbolique » ;

Tracé du graphe de $\;\mathrm {argtanh} (x)\;$ sur l'intervalle de définition $\;\left]-1\,;\,+1\right[$ , avec pour intervalle de valeurs restreint à $\;\left[\simeq -4\,;\,\simeq +4\right]$

« La fonction $\;y=\mathrm {argtanh} (x)\;$ est la fonction inverse de $\;x=\tanh(y)\;$ »,
« pour $\;x=\tanh(y)\;$ le domaine de définition étant $\;\mathbb {R} \;$ » et « le domaine des valeurs $\;\left]-1\,,\,+1\right[\;$ », on en déduit

« le domaine de définition de la fonction

\;\mathrm {argtanh} ()\;

\left]-1\,,\,+1\right[\;

» et
« son domaine de valeurs

\;\mathbb {R} \;

» ;

tracé du graphe de la fonction $\;y=\mathrm {argtanh} (x)$ : voir ci-contre $\;{\big [}$ le graphe de $\;y=\mathrm {argtanh} (x)\;$ est le symétrique par rapport à la 1^ère diagonale de celui de $\;x=\tanh(y){\big ]}$ ;

     tracé du graphe de la fonction $\;\color {transparent}{y=\mathrm {argtanh} (x)}$ : on observe que la fonction est « $\;\nearrow \;$ »,
     tracé du graphe de la fonction $\;\color {transparent}{y=\mathrm {argtanh} (x)}$ : on observe que la fonction est « impaire » $\;{\big [}\mathrm {argtanh} (-x)=-\mathrm {argtanh} (x){\big ]}$ ,
     tracé du graphe de la fonction $\;\color {transparent}{y=\mathrm {argtanh} (x)}$ : on observe que la fonction est « continue et dérivable sur $\;\left]-1\,,\,+1\right[\;$ »,
     tracé du graphe de la fonction $\;\color {transparent}{y=\mathrm {argtanh} (x)}$ : on observe que la fonction est sa dérivée valant « $\;{\dfrac {d\left[\mathrm {argtanh} (x)\right]}{dx}}={\dfrac {1}{1-x^{2}}}\;$ » ;

tracé du graphe de la fonction $\;\color {transparent}{y=\mathrm {argtanh} (x)}$ : on déduit de cette expression de dérivée de la fonction $\;\mathrm {argtanh} ()\;$ la propriété suivante

« une primitive de

\;{\dfrac {1}{1-x^{2}}}\;

est

\;\mathrm {argtanh} (x)+cste\;

»^[38]^,^[39].

Justification de l'expression de la dérivée de $\;y=\mathrm {argtanh} (x)$ : on démontre ce résultat en inversant la fonction $\;y=\mathrm {argtanh} (x)\;$ $\Leftrightarrow$ $\;x=\tanh(y)$ , puis en différenciant la fonction inversée, ce qui donne $\;dx=\left[1-\tanh ^{2}(y)\right]\,dy\;$ dont on tire $\;dy={\dfrac {dx}{1-\tanh ^{2}(y)}}\;$ sans restriction car $\;\tanh(y)\neq \pm 1\;\;\forall \;y$ , on termine en éliminant $\;y\;$ au profit de $\;x\;$ soit $\;dy={\dfrac {dx}{1-x^{2}}}\;$ dont on déduit $\;{\dfrac {dy}{dx}}$ .

Forme logarithmique de la fonction argument tangente hyperbolique : « $\;\mathrm {argtanh} (x)={\dfrac {1}{2}}\,\ln \!\left({\dfrac {1+x}{1-x}}\right)\;\;\forall \;x\;$ » ;

     Forme logarithmique de la fonction argument tangente hyperbolique : en effet « $\;y=\mathrm {argtanh} (x)\;$ » $\Leftrightarrow$ « $\;x=\tanh(y)={\dfrac {\exp(y)-\exp(-y)}{\exp(y)+\exp(-y)}}\;$ » c'est-à-dire
     Forme logarithmique de la fonction argument tangente hyperbolique : en effet « $\;y\;$ est la solution de même signe que $\;x\;$ de l'équation $\;\exp(y)-\exp(-y)=x\;\exp(y)+x\;\exp(-y)\;$ » que l'on réécrit selon « $\;(1-x)\;\exp(y)=(1+x)\;\exp(-y)\;$ » soit encore « $\;(1-x)\;\exp(2\;y)=(1+x)\;$ » ou enfin « $\;\exp(2\;y)={\dfrac {1+x}{1-x}}\;$ » dont on tire
     Forme logarithmique de la fonction argument tangente hyperbolique : en effet « $\;\exp(y)={\sqrt {\dfrac {1+x}{1-x}}}\;$ » soit finalement, en inversant, « $\;y=\ln \!{\sqrt {\dfrac {1+x}{1-x}}}={\dfrac {1}{2}}\,\ln \!\left({\dfrac {1+x}{1-x}}\right)\;$ ».

Fonction argument cotangente hyperbolique[modifier | modifier le wikicode]

« La fonction $\;\coth()\;$ est inversable sur son domaine de définition $\;\mathbb {R} ^{*}\;$ » car elle y est « bijective » ; « son inverse notée $\;\mathrm {argcoth} ()\;$ »^[40] définit la fonction « argument cotangente hyperbolique » ;

Tracé du graphe de $\;\mathrm {argcoth} (x)\;$ sur l'intervalle de définition restreint à $\;\left[\simeq -5\,;\,-1\right[\cup \left]+1\,;\,\simeq +5\right]$ , avec un intervalle de valeurs restreint à $\;\left[\simeq -2,7\,;\,\simeq +2,7\right]$

« La fonction $\;y=\mathrm {argcoth} (x)\;$ est la fonction inverse de $\;x=\coth(y)\;$ »,
« pour $\;x=\coth(y)\;$ le domaine de définition étant $\;\mathbb {R} ^{*}\;$ » et « le domaine des valeurs $\;\left]-\infty \,,\,-1\right[\cup \left]+1\,,\,+\infty \right[\;$ », on en déduit

« le domaine de définition de la fonction

\;\mathrm {argcoth} ()\;

\left]-\infty \,,\,-1\right[\cup \left]+1\,,\,+\infty \right[\;

» et
« son domaine de valeurs

\;\mathbb {R} ^{*}\;

» ;

tracé du graphe de la fonction $\;y=\mathrm {argcoth} (x)$ : voir ci-contre $\;{\big [}$ le graphe de $\;y=\mathrm {argcoth} (x)\;$ est le symétrique par rapport à la 1^ère diagonale de celui de $\;x=\coth(y){\big ]}$ ;

     tracé du graphe de la fonction $\;\color {transparent}{y=\mathrm {argcoth} (x)}$ : on observe que la fonction est « $\;\searrow \;$ sur $\;\left]-\infty \,,\,-1\right[\;$ ainsi que sur $\;\left]+1\,,\,+\infty \right[\;$ »,
     tracé du graphe de la fonction $\;\color {transparent}{y=\mathrm {argcoth} (x)}$ : on observe que la fonction est « impaire » $\;{\big [}\mathrm {argcoth} (-x)=-\mathrm {argcoth} (x){\big ]}$ ,
     tracé du graphe de la fonction $\;\color {transparent}{y=\mathrm {argcoth} (x)}$ : on observe que la fonction est « continue et dérivable sur $\;\left]-\infty \,,\,-1\right[\;$ ainsi que sur $\;\left]+1\,,\,+\infty \right[\;$ », sa dérivée valant « $\;{\dfrac {d\left[\mathrm {argtanh} (x)\right]}{dx}}={\dfrac {-1}{x^{2}-1}}\;$ »^[41] ;

tracé du graphe de la fonction $\;\color {transparent}{y=\mathrm {argtanh} (x)}$ : on déduit de cette expression de dérivée de la fonction $\;\mathrm {argcoth} ()\;$ la propriété suivante

« une primitive de

\;{\dfrac {-1}{x^{2}-1}}={\dfrac {1}{1-x^{2}}}\;

est

\;\mathrm {argcoth} (x)+cste\;

»^[38]^,^[42].

Justification de l'expression de la dérivée de $\;y=\mathrm {argcoth} (x)$ : on démontre ce résultat en inversant la fonction $\;y=\mathrm {argcoth} (x)\;$ $\Leftrightarrow$ $\;x=\coth(y)$ , puis en différenciant la fonction inversée, ce qui donne $\;dx=\left[1-\coth ^{2}(y)\right]\,dy\;$ dont on tire $\;dy={\dfrac {dx}{1-\coth ^{2}(y)}}\;$ sans restriction car $\;\coth(y)\neq \pm 1\;\;\forall \;y$ , on termine en éliminant $\;y\;$ au profit de $\;x\;$ soit $\;dy={\dfrac {dx}{1-x^{2}}}={\dfrac {-dx}{x^{2}-1}}\;$ dont on déduit $\;{\dfrac {dy}{dx}}$ .

Forme logarithmique de la fonction argument cotangente hyperbolique : « $\;\mathrm {argcoth} (x)={\dfrac {1}{2}}\,\ln \!\left({\dfrac {x+1}{x-1}}\right)\;\;\forall \;x\;$ » ;

     Forme logarithmique de la fonction argument cotangente hyperbolique : en effet « $\;y=\mathrm {argcoth} (x)\;$ » $\Leftrightarrow$ « $\;x=\coth(y)={\dfrac {\exp(y)+\exp(-y)}{\exp(y)-\exp(-y)}}\;$ » c'est-à-dire
     Forme logarithmique de la fonction argument cotangente hyperbolique : en effet « $\;y\;$ est la solution de même signe que $\;x\;$ de l'équation $\;\exp(y)+\exp(-y)=x\;\exp(y)-x\;\exp(-y)\;$ » que l'on réécrit selon « $\;(1+x)\;\exp(-y)=(x-1)\;\exp(y)\;$ » soit encore « $\;(x-1)\;\exp(2\;y)=(1+x)\;$ » ou enfin « $\;\exp(2\;y)={\dfrac {x+1}{x-1}}\;$ » dont on tire
     Forme logarithmique de la fonction argument cotangente hyperbolique : en effet « $\;\exp(y)={\sqrt {\dfrac {x+1}{x-1}}}\;$ » soit finalement, en inversant, « $\;y=\ln \!{\sqrt {\dfrac {x+1}{x-1}}}={\dfrac {1}{2}}\,\ln \!\left({\dfrac {x+1}{x-1}}\right)\;$ ».

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

↑ ^1,0 et ^1,1 Vincenzo Riccati (1707 - 1775) mathématicien de la province de Vénétie $\;{\big (}$ serait aujourd'hui italien ${\big )}\;$ surtout connu pour son travail sur les équations différentielles comme celle connue sous le nom d'équation de Riccati et pour la méthode de résolution par tractoire qu'il utilisa.
↑ ^2,0 ^2,1 et ^2,2 Voir le paragraphe « hyperbole de centre O, d'axes Ox et Oy » du chap. $11$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Ce n'est toutefois pas de cette façon que Vincenzo Riccati introduisit les cosinus et sinus hyperboliques $\;{\big (}$ voir le paragraphe « commentaires : explication du nom donné aux nouvelles fonctions créées par Vincenzo Riccati » plus loin dans le chapitre ${\big )}$ .
↑ On trouve encore la notation initiale $\;{\text{ch}}()$ .
↑ Voir le paragraphe « sinus hyperbolique » plus loin dans ce chapitre.
↑ Le graphe du cosinus hyperbolique est appelé « chaînette » car c'est la courbe que suit une chaînette $\;{\big (}$ ou tout objet filiforme homogène ${\big )}\;$ tenue par ses deux extrémités dans un champ de pesanteur uniforme $\;{\big (}$ pour que la courbe suivie par la chaînette soit symétrique il faut que les deux extrémités soient au même niveau horizontal ${\big )}$ .
↑ On trouve encore la notation initiale $\;{\text{sh}}()$ .
↑ Voir le paragraphe « cosinus hyperbolique » plus haut dans ce chapitre.
↑ On trouve encore la notation initiale $\;{\text{th}}()$ .
↑ ^10,0 ^10,1 ^10,2 et ^10,3 On utilise la relation fondamentale liant $\;\cosh(x)\;$ et $\;\sinh(x)\;$ établie au paragraphe « liens entre cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique » plus loin dans ce chapitre soit $\;\cosh ^{2}(x)-\sinh ^{2}(x)=1$ .
↑ ^11,0 et ^11,1 Bien sûr le qualificatif « horizontal » est un abus pour traduire de façon succincte « $\;\parallel \;$ à l'axe des abscisses ».
↑ On trouve encore la notation initiale $\;{\text{ctgh}}()$ .
↑ Tout comme la cotangente $\;{\big (}$ trigonométrique ${\big )}\;$ par rapport à la tangente $\;{\big (}$ trigonométrique ${\big )}$ .
↑ Bien sûr le qualificatif « vertical » est un abus pour traduire de façon succincte « $\;\parallel \;$ à l'axe des ordonnées ».
↑ ^15,0 et ^15,1
Méthode d'introduction des fonctions trigonométriques ayant inspiré Vincenzo Riccati pour introduire les fonctions hyperboliques
La méthode suivie par Vincenzo Riccati est calquée sur celle qu'il utilisait lorsque le cercle trigonométrique d'équation $\;x^{2}+y^{2}=1\;$ était à la place de l'hyperbole d'équation $\;x^{2}-y^{2}=1$ , voir ci-contre le diagramme explicatif de la méthode avec le cercle trigonométrique ;
Une demi-droite passant par l'origine coupe le cercle trigonométrique en un point dont les coordonnées paramétrées en fonction de l'angle polaire $\;\theta \;$ s'expriment respectivement en fonction du « cosinus » pour l'abscisse et « sinus » pour l'ordonnée, plus précisément $\;\left\lbrace x=\cos(\theta )\,;\,y=\sin(\theta )\right\rbrace$ , le paramètre $\;\theta \;$ s'avérant être aussi « le double de l'aire algébrique de la surface délimitée par la demi-droite, le cercle et l'axe des abscisses » (en rouge sur le schéma ci-contre) ;
en effet nous avons indiqué dans le corps du « paragraphe sur lequel se greffe cette note de bas de page » que le vecteur surface élémentaire $\;{\overrightarrow {dS}}\;$ balayée par le rayon vecteur $\;{\overrightarrow {OM}}\;$ quand le point $\;M\;$ se déplace sur une courbe donnée de $\;{\overrightarrow {dM}}$ , est défini par $\;{\overrightarrow {dS}}={\dfrac {{\overrightarrow {OM}}\wedge {\overrightarrow {dM}}}{2}}$ , pour le cercle trigonométrique le meilleur repérage étant le repérage polaire de base locale $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{\rho }\,,\,{\vec {u}}_{\theta }\right\rbrace \;$ le rayon vecteur s'écrivant $\;{\overrightarrow {OM}}={\vec {u}}_{\rho }\;$ ${\big (}$ le cercle étant de rayon unité ${\big )}\;$ et le vecteur déplacement élémentaire $\;{\overrightarrow {dM}}=d\theta \;{\vec {u}}_{\theta }$ , on en déduit $\;{\overrightarrow {dS}}={\dfrac {{\vec {u}}_{\rho }\wedge d\theta \;{\vec {u}}_{\theta }}{2}}={\dfrac {d\theta }{2}}\;{\vec {u}}_{z}\;$ d'où l'aire de la surface balayée par le rayon vecteur $\;{\overrightarrow {OM}}\;$ quand le point $\;M\;$ se déplace sur le cercle de $\;{\overrightarrow {dM}}\;$ valant $\;dS={\dfrac {d\theta }{2}}$ , celle quand le point $\;M\;$ se déplace sur le cercle du point de l'axe des abscisses jusqu'au point repéré par le paramètre $\;\theta \;$ est bien $\;{\dfrac {\theta }{2}}\;$ ${\bigg (}$ pour un cercle de rayon $\;R\;$ l'aire serait $\;{\dfrac {\theta }{2}}\;R^{2}\;$ correspondant à une aire de $\;\pi \;R^{2}\;$ pour un tour complet ${\bigg )}$ .
↑ Voir aussi l'article « fonction hyperbolique » de wikipédia.
↑ D'une part Le vecteur surface $\;{\overrightarrow {dS}}\;$ devant être « $\;\perp \;$ à $\;{\overrightarrow {OM}}\;$ et $\;{\overrightarrow {dM}}\;$ » est bien colinéaire à « $\;{\overrightarrow {OM}}\wedge {\overrightarrow {dM}}\;$ » et
d'autre part sa norme $\;\Vert {\overrightarrow {dS}}\Vert \;$ devant être identifiée à l'« aire de la surface triangulaire construite sur les deux vecteurs $\;{\overrightarrow {OM}}=r\;{\vec {u}}_{r}\;$ et $\;{\overrightarrow {dM}}=dr\;{\vec {u}}_{r}+r\;d\theta \;{\vec {u}}_{\theta }\;$ » c'est-à-dire « $\;\Vert {\overrightarrow {dS}}\Vert ={\dfrac {r\times r\;d\theta }{2}}\;$ » $\;{\big (}$ aire d'un triangle = la moitié du produit d'une base $\;r\;$ par la hauteur associée $\;r\;d\theta {\big )}\;$ soit finalement « $\;\Vert {\overrightarrow {dS}}\Vert ={\dfrac {\Vert {\overrightarrow {OM}}\wedge {\overrightarrow {dM}}\Vert }{2}}\;$ ».
↑ Ce Qu'il Fallait Vérifier.
↑ Voir méthode d'intégration exposée dans le paragraphe « développement de quelques méthodes de calcul (intégrer une fonction rationnelle par décomposition en éléments simples) » du chap. $15$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Appellation personnelle.
↑ Nettement moins utilisées que la précédente.
↑ Noter la différence avec la relation d'addition analogue en trigonométrie « $\;\cos(a+b)=\cos(a)\;\cos(b)-\sin(a)\;\sin(b)\;$ ».
↑ Noter la différence avec la relation d'addition analogue en trigonométrie « $\;\cos(a-b)=\cos(a)\;\cos(b)+\sin(a)\;\sin(b)\;$ ».
↑ Relation d'addition analogue en trigonométrie « $\;\sin(a+b)=\sin(a)\;\cos(b)+\sin(b)\;\cos(a)\;$ ».
↑ Relation d'addition analogue en trigonométrie « $\;\sin(a-b)=\sin(a)\;\cos(b)-\sin(b)\;\cos(b)\;$ ».
↑ Noter la différence avec la relation de duplication analogue en trigonométrie « $\;\cos(2\,a)=\cos ^{2}(a)-\sin ^{2}(a)=2\,\cos ^{2}(a)-1=1-2\,\sin ^{2}(a)\;$ ».
↑ Relation de linéarisation analogue en trigonométrie « $\;\cos ^{2}(a)={\dfrac {1+\cos(2\,a)}{2}}\;$ ».
↑ Noter la différence avec la relation de linéarisation analogue en trigonométrie « $\;\sin ^{2}(a)={\dfrac {1-\cos(2\,a)}{2}}\;$ ».
↑ Relation de duplication analogue en trigonométrie « $\;\sin(2\,a)=2\;\sin(a)\;\cos(a)\;$ ».
↑ On trouve encore la notation initiale $\;\mathrm {argsh} ()$ .
↑ Si $\;x\;$ est $\;>0$ , nous conserverons la solution telle que $\;y\;$ soit $\;>0\;$ c'est-à-dire telle que $\;\exp(y)\;$ soit $\;>1$ ,
si $\;x\;$ est $\;<0$ , nous conserverons la solution telle que $\;y\;$ soit $\;<0\;$ c'est-à-dire telle que $\;\exp(y)\;$ soit $\;<1$ .
↑ Le produit des racines valant $\;-1$ , les deux racines sont de signes contraires mais, seule la positive peut être une exponentielle et convenir ;
la recherche de la racine $\;>0\;$ nous conduit à $\;x+{\sqrt {x^{2}+1}}$ , l'autre $\;x-{\sqrt {x^{2}+1}}$ étant $\;<0\;$ car $\;{\sqrt {x^{2}+1}}\;$ est toujours $\;>\vert x\vert$ .
↑ ^33,0 ^33,1 ^33,2 ^33,3 ^33,4 et ^33,5 L'ensemble des réels positifs ou nuls est encore noté $\;\mathbb {R} ^{+}\;$ mais les mathématiciens utilisent $\;\mathbb {R} _{+}$ .
↑ On trouve encore la notation initiale $\;\mathrm {argch} ()$ .
↑ On rappelle que $\;y\;$ étant $\;>0\;$ il en est de même de $\;\sinh(y)$ .
↑ Le produit des racines valant $\;+1\;$ et la somme $\;2\;x\geqslant 2$ , les deux racines sont positives inverses l'une de l'autre mais, seule la plus grande peut être l'exponentielle d'une variable positive et convenir ;
la recherche de la racine la plus grande nous conduit à $\;x+{\sqrt {x^{2}-1}}$ , l'autre $\;x-{\sqrt {x^{2}-1}}$ étant la plus petite identifiable à $\;\exp(-y)$ .
↑ On trouve encore la notation initiale $\;\mathrm {argth} ()$ .
↑ ^38,0 et ^38,1 Toutefois on préférera toujours utiliser la décomposition de la fonction rationnelle $\;{\dfrac {1}{1-x^{2}}}={\dfrac {1}{(1-x)\,(1+x)}}\;$ en éléments simples comme cela est exposé dans le paragraphe « développement de quelques méthodes de calcul (intégrer une fonction rationnelle par décomposition en éléments simples) » du chap. $15$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » conduisant à $\;{\dfrac {1}{1-x^{2}}}={\dfrac {1}{2}}\left[{\dfrac {1}{1-x}}+{\dfrac {1}{1+x}}\right]\;$ qui s'intègre en $\;\displaystyle \int ^{x}{\dfrac {d\xi }{1-\xi ^{2}}}={\dfrac {1}{2}}\left[\displaystyle \int ^{x}{\dfrac {d\xi }{1-\xi }}+\displaystyle \int ^{x}{\dfrac {d\xi }{1+\xi }}\right]={\dfrac {1}{2}}\left[\displaystyle \int ^{x}-{\dfrac {d(1-\xi )}{1-\xi }}+\displaystyle \int ^{x}{\dfrac {d(1+\xi )}{1+\xi }}\right]={\dfrac {1}{2}}\left[-\ln \!\vert 1-x\vert +\ln \!\vert 1+x\vert \right]+cste\;$ soit finalement $\;\displaystyle \int ^{x}{\dfrac {d\xi }{1-\xi ^{2}}}={\dfrac {1}{2}}\,\ln \!{\bigg \vert }{\dfrac {1+x}{1-x}}{\bigg \vert }+cste\;$ .
↑ Dans la mesure où $\;x\in \left]-1\,,\,+1\right[$ , la primitive se réécrit donc $\;\displaystyle \int ^{x}{\dfrac {d\xi }{1-\xi ^{2}}}={\dfrac {1}{2}}\,\ln \!\left({\dfrac {1+x}{1-x}}\right)+cste\;$ ${\big [}$ le 1^er terme n'est rien d'autre que la forme logarithmique de $\;\mathrm {argtanh} (x)\;$ établie ci-après ${\big ]}$ .
↑ On trouve encore la notation initiale $\;\mathrm {argctgh} ()$ .
↑ Que l'on peut écrire encore $\;{\dfrac {d\left[\mathrm {argcoth} (x)\right]}{dx}}={\dfrac {1}{1-x^{2}}}\;$ c'est-à-dire la même expression que $\;{\dfrac {d\left[\mathrm {argtanh} (x)\right]}{dx}}\;$ mais sur des domaines de définition différents, plus exactement complémentaires.
↑ Dans la mesure où $\;\left]-\infty \,,\,-1\right[\cup \left]+1\,,\,+\infty \right[$ , la primitive $\;\displaystyle \int ^{x}{\dfrac {d\xi }{\xi ^{2}-1}}=-{\dfrac {1}{2}}\,\ln \!{\bigg \vert }{\dfrac {1+x}{1-x}}{\bigg \vert }+cste\;$ se réécrit finalement selon $\;\displaystyle \int ^{x}{\dfrac {d\xi }{\xi ^{2}-1}}=$ $-{\dfrac {1}{2}}\,\ln \!\left({\dfrac {1+x}{x-1}}\right)+cste\;$ ${\big [}$ le 1^er terme n'est rien d'autre que la forme logarithmique de $\;\mathrm {argcoth} (x)\;$ établie ci-après ${\big ]}$ .