En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) : Fonctions hyperboliques directes et inverses Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Fonctions hyperboliques directes et inverses », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Les fonctions hyperboliques ont été inventées par Vincenzo Riccati[1] vers en cherchant à calculer l'« aire sous l'hyperbole d'équation » [2], la méthode géométrique qu'il employa était semblable à celle qu'il utilisait pour calculer l'« aire sous le cercle d'équation » méthode où il introduisait les fonctions trigonométriques qu'il appela « circulaires » ; par analogie il nomma les nouvelles fonctions créées « hyperboliques ».
Il y a un lien de construction à partir de la fonction exponentielle entre les fonctions « trigonométriques » directes et « hyperboliques » directes, par exemple : Il y a un lien de construction à partir de la fonction exponentielle « le cosinustrigonométrique est construit à partir de la fonction exponentielle définie sur et Il y a un lien de construction à partir de la fonction exponentielle « le cosinus hyperboliqueest construit à partir de la fonction exponentielle définie sur » [3].
Le cosinus hyperbolique, noté , « son domaine de valeurs est »,
Le cosinus hyperbolique, noté , c'est une fonction « paire » c.-à-d. «» et
Le cosinus hyperbolique, noté , c'est une fonction « dérivable sur » avec «» [5] car Le cosinus hyperbolique, noté , c'est une fonction « dérivable sur » [5] ;
Le cosinus hyperbolique, noté , variation de : « de à sur » puis Le cosinus hyperbolique, noté , variation de : « de à sur », Le cosinus hyperbolique, noté , variation de : voir graphe ci-contre sur l'intervalle de définition restreint à ;
Le cosinus hyperbolique, noté , variation de : ce graphe est appelé « chaînette » [6], Le cosinus hyperbolique, noté , variation de : ce graphe il est symétrique relativement à l'axe des ordonnées .
Le sinus hyperbolique, noté , « son domaine de valeurs est »,
Le sinus hyperbolique, noté , c'est une fonction « impaire » c.-à-d. «» et
Le sinus hyperbolique, noté , c'est une fonction « dérivable sur » avec «» [8] car Le sinus hyperbolique, noté , c'est une fonction « dérivable sur » [8] ;
Le sinus hyperbolique, noté , variation de : « de à sur » Le sinus hyperbolique, noté , variation de : voir graphe ci-contre sur l'intervalle de définition restreint à , Le sinus hyperbolique, noté , variation de : voir graphe ci-contre l'intervalle de valeurs étant ;
Le sinus hyperbolique, noté , variation de : ce graphe est symétrique relativement à l'origine du repérage .
Tracé du graphe de tangente hyperbolique sur l'intervalle de définition restreint à , l'intervalle de valeurs correspondantes étant
La tangente hyperbolique, notée [9], est « définie sur » selon «» ou encore, La tangente hyperbolique, notée , est « définie sur » selon «» [10],
La tangente hyperbolique, notée , « son domaine de valeurs est »,
La tangente hyperbolique, notée , c'est une fonction « impaire » c.-à-d. «» et
La tangente hyperbolique, notée , c'est une fonction « dérivable sur » avec «» car La tangente hyperbolique, noté , c'est une fonction « dérivable sur » La tangente hyperbolique, noté , c'est une fonction « dérivable sur » [11] La tangente hyperbolique, noté , c'est une fonction « dérivable sur » [12] C.Q.F.D. [13] ou bien
La tangente hyperbolique, notée , c'est une fonction « dérivable sur » avec «» [14] ;
La tangente hyperbolique, notée , variation de : « de à sur » La tangente hyperbolique, notée , variation de : voir graphe ci-dessus avec un intervalle de définition restreint à ;
La tangente hyperbolique, notée , variation de : ce graphe est symétrique relativement à l'origine du repérage et La tangente hyperbolique, notée , variation de : ce graphe admet deux asymptotes horizontales[15] pour les ordonnées .
Tracé du graphe de cotangente hyperbolique sur l'intervalle restreint de définition avec pour intervalle de valeurs associées
La cotangente hyperbolique, notée [16], est « définie sur » selon «» ou encore, La cotangente hyperbolique, notée , est « définie sur » selon «» [17] ou enfin, La cotangente hyperbolique, notée , est « définie sur » selon «» [18],[19],
La cotangente hyperbolique, notée , « son domaine de valeurs est »,
La cotangente hyperbolique, notée , c'est une fonction « impaire » c.-à-d. «»,
La cotangente hyperbolique, notée , c'est une fonction « dérivable sur », de dérivée «» car La cotangente hyperbolique, noté , c'est une fonction « dérivable sur » La cotangente hyperbolique, noté , c'est une fonction « dérivable sur » [20] La cotangente hyperbolique, noté , c'est une fonction « dérivable sur » [12] C.Q.F.D. [13], ou encore, «» [21] ;
La cotangente hyperbolique, notée , variation de : « de à sur » puis La cotangente hyperbolique, notée , variation de : « de à sur » La cotangente hyperbolique, notée , variation de : voir graphe ci-dessus avec un intervalle de définition restreint à et un domaine de valeurs à ;
La cotangente hyperbolique, notée , variation de : ce graphe est symétrique relativement à l'origine du repérage et La cotangente hyperbolique, notée , variation de : ce graphe admet deux asymptotes horizontales[15] pour les ordonnées ainsi qu' La cotangente hyperbolique, notée , variation de : ce graphe admet une asymptote verticale [22] pour .
Commentaires : explication du nom donné aux nouvelles fonctions créées par Vincenzo Riccati
« Une demi-droite passant par l'origine coupe l’hyperbole d'équation [2] en un point dont les coordonnées paramétrées par Vincenzo Riccati en fonction d'une grandeur » lui permirent de créer de nouvelles fonctions baptisées « cosinus hyperbolique » pour l'abscisse et « sinus hyperbolique » pour l'ordonnée, plus précisément «», « le paramètre s'avérant être le double de l'aire algébrique de la surface délimitée par la demi-droite, l'hyperbole et l'axe des abscisses » en rouge sur le schéma ci-contre.
Identification des fonctions hyperboliques créées par Vincenzo Ricati avec celles définies par exponentielles[24] : on établit
d'abord que « le point d'abscisse et d'ordonnée vérifie l'équation de l'hyperbole » [2] par utilisation de la relation fondamentale liant et [12] soit «»,
ensuite, du fait que le vecteur position de s'écrivant «» on peut en déduire ensuite l'expression du « vecteur déplacement élémentaire » puis ensuite celle du « vecteur surface élémentaire balayée par quand se déplace de sur l'hyperbole » ensuite à l'aide de sa définition «» [25], ce qui permet de déterminer, dans le cas présent, l'expression ensuite «» et, ensuite en utilisant la relation fondamentale liant et [12] c.-à-d. «», l'expression finale ensuite «» d'où
« l'aire de la surface balayée par le rayon vecteur quand le point se déplace de sur l'hyperbole », valant «» « l'aire balayée par le rayon vecteur quand le point se déplace sur l'hyperbole du point de l'axe des abscisses jusqu'au point repéré par le paramètre » est «» C.Q.F.V. [26].
Remarque : Il y a également un lien entre « l'angle » et Remarque : Il y a également un lien entre « l'aire de la surface balayée par quand se déplace sur l'hyperbole du point de l'axe des abscisses jusqu'au point repéré par » mais Remarque : Il y a également un lien contrairement au cas du cercle [23], «» en effet : Remarque : Il y a également un lien « dans le cas de la branche d'hyperbole, les coordonnées polaires de sont telles que » [27] ou Remarque : Il y a également un lien « dans le cas de la branche d'hyperbole, « équation polaire de la branche d'hyperbole » Remarque : Il y a également un lien « dans le cas de la branche d'hyperbole, on trouve ainsi les deux asymptotes de l'hyperbole correspondant à soit dont on peut déduire Remarque : Il y a également un lien « dans le cas de la branche d'hyperbole, « le vecteur surface élémentaire balayée par quand se déplace de sur la branche d'hyperbole » Remarque : Il y a également un lien « dans le cas de la branche d'hyperbole, «[25] se réécrivant en polaire » dont on tire Remarque : Il y a également un lien « dans le cas de la branche d'hyperbole, « l'aire de la surface élémentaire balayée par le rayon vecteur effectivement » ; Remarque : Il y a également un lien « dans le cas de la branche d'hyperbole, on obtient alors « en intégrant la relation précédente entre et soit » qui s'intègre Remarque : Il y a également un lien « dans le cas de la branche d'hyperbole, on obtient en posant « soit » et Remarque : Il y a également un lien « dans le cas de la branche d'hyperbole, on obtient en posant «[28] Remarque : Il y a également un lien « dans le cas de la branche d'hyperbole, on obtient en posant « soit «» d'où Remarque : Il y a également un lien « dans le cas de la branche d'hyperbole, on obtient alors «» ou, avec «» [29] donnant Remarque : Il y a également un lien « dans le cas de la branche d'hyperbole, on obtient alors « Remarque : Il y a également un lien « dans le cas de la branche d'hyperbole, on obtient alors «» soit finalement «» [30].
Liens entre cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique
Relation fondamentale[31] : Si on calcule et Relation fondamentale : Si on calcule , Relation fondamentale : Si on vérifie aisément, en ajoutant les deux relations ci-dessus et après simplification évidente, la relation fondamentale [31] «».
Autres relations : Il existe deux autres liens entre cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique faisant intervenir l'une ou l'autre exponentielle de la variable ou de son opposée et Autres relations : Il existe deux autres liens entre cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique se démontrant par simple utilisation de la définition des fonctions hyperboliques, ce sont
Autres relations : Il existe deux autres liens entre cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique «» [32].
Relations d'addition : celles-ci se vérifient sans difficulté en utilisant la définition de la fonction hyperbolique utilisée, Relations d'addition : celles-ci se vérifient sans difficulté en utilisant les propriétés des exponentielles et Relations d'addition : celles-ci se vérifient sans difficulté en faisant réapparaître les fonctions hyperboliques souhaitées : «» [33] et Relations d'addition : celles-ci se vérifient sans difficulté en faisant réapparaître les fonctions hyperboliques souhaitées : «» [34],
Relations d'addition : celles-ci se vérifient sans difficulté en faisant réapparaître les fonctions hyperboliques souhaitées : «» [35] et Relations d'addition : celles-ci se vérifient sans difficulté en faisant réapparaître les fonctions hyperboliques souhaitées : «» [36].
Relations de duplication : celles-ci se vérifient à partir des relations d'addition précédentes et éventuelle utilisation de la relation fondamentale [31] liant le cosinus hyperbolique et le sinus hyperbolique[37] :
Relations de duplication : «» [38] Relations de duplication : on en déduit les relations de linéarisation suivantes «» [39] et «» [40],
« La fonction est inversable sur son domaine de définition » car elle y est « bijective » ; « son inverse notée » [42] définit la fonction « argument sinus hyperbolique » ;
Tracé du graphe de sur l'intervalle de définition restreint à , avec pour intervalle de valeurs
« La fonction est la fonction inverse de», « pour le domaine de définition étant et le domaine des valeurs », pour « le domaine de définition de la fonction est » et « son domaine de valeurs» ;
tracé du graphe de la fonction : le graphe de est le symétrique par rapport à la 1ère diagonale tracé du graphe de la fonction : de celui de voir ci-contre ;
tracé du graphe de la fonction : on observe que la fonction est «», tracé du graphe de la fonction : on observe que la fonction est « impaire » , tracé du graphe de la fonction : on observe que la fonction est « continue et dérivable sur », sa dérivée valant tracé du graphe de la fonction : on observe que la fonction est « continue et «» ; tracé du graphe de la fonction : on déduit de cette expression de dérivée de la fonction la propriété : tracé du graphe de la fonction : on déduit « une primitive de est ».
Justification de l'expression de la dérivée de : on inverse la fonction selon , puis Justification de l'expression de la dérivée de : on différencie la fonction inversée [5] dont on tire Justification de l'expression de la dérivée de : on différencie la fonction inversée sans restriction Justification de l'expression de la dérivée de : on différencie la fonction inversée car [8], Justification de l'expression de la dérivée de : on termine en éliminant au profit de avec [43] soit Justification de l'expression de la dérivée de : on différencie la fonction inversée dont on déduit .
Forme logarithmique de la fonction argument sinus hyperbolique : «» ; Forme logarithmique de la fonction argument sinus hyperbolique : en effet «» «» c.-à-d. Forme logarithmique de la fonction argument sinus hyperbolique : en effet « est la solution de même signe que de l'équation » ou, Forme logarithmique de la fonction argument sinus hyperbolique : en multipliant les deux membres par et en ordonnant en puissance de , Forme logarithmique de la fonction argument sinus hyperbolique : en effet « est solution [44] de l'équation », Forme logarithmique de la fonction argument sinus hyperbolique : en effet « est solution de l’équation du 2nd degré en de discriminant réduit d'où Forme logarithmique de la fonction argument sinus hyperbolique : en effet «» [45] soit finalement, en inversant, «».
« Pour que la fonction soit inversable » il faut « restreindre son domaine de définition » pour qu'elle y soit « bijective », « Pour que la fonction soit inversable » on le « restreint à » [46] ; « son inverse notée » [47] définit alors la fonction « argument cosinus hyperbolique » ;
Tracé du graphe de sur l'intervalle de définition restreint à , avec pour intervalle de valeurs
« La fonction est la fonction inverse de», « pour le domaine de définition étant restreint à » [46] et « le domaine des valeurs étant », pour « le domaine de définition de la fonction est » et « son domaine de valeurs» [46] ;
tracé du graphe de la fonction : le graphe de est le symétrique par rapport à la 1ère diagonale tracé du graphe de la fonction : de celui de restreint à [46] voir ci-contre ;
tracé du graphe de la fonction : on observe que la fonction est «», tracé du graphe de la fonction : on observe que la fonction est « continue et dérivable sur », tracé du graphe de la fonction : on observe que la fonction sa dérivée valant «» ; tracé du graphe de la fonction : on déduit de cette expression de dérivée de la fonction la propriété : tracé du graphe de la fonction : on déduit « une primitive de est ».
Justification de l'expression de la dérivée de : on inverse la fonction selon [46] et Justification de l'expression de la dérivée de : on différencie la fonction inversée [8] dont on tire Justification de l'expression de la dérivée de : on différencie la fonction inversée nécessitant non dérivable pour , Justification de l'expression de la dérivée de : on termine en éliminant au profit de avec [48] soit Justification de l'expression de la dérivée de : on différencie la fonction inversée dont on déduit .
Forme logarithmique de la fonction argument cosinus hyperbolique : «» ; Forme logarithmique de la fonction argument cosinus hyperbolique : en effet «» «» [46] c.-à-d. Forme logarithmique de la fonction argument cosinus hyperbolique : en effet « est solution de l'équation » ou, Forme logarithmique de la fonction argument cosinus hyperbolique : en multipliant les deux membres par et en ordonnant en puissance de , Forme logarithmique de la fonction argument cosinus hyperbolique : en effet « est solution [49] de l'équation », Forme logarithmique de la fonction argument cosinus hyperbolique : en effet « est solution de l’équation du 2nd degré en de discriminant réduit d'où Forme logarithmique de la fonction argument cosinus hyperbolique : en effet «» [50] soit finalement, en inversant, «».
« La fonction est inversable sur son domaine de définition » car elle y est « bijective » ; « son inverse notée » [51] définit la fonction « argument tangente hyperbolique » ;
Tracé du graphe de sur l'intervalle de définition , avec pour intervalle de valeurs restreint à
« La fonction est la fonction inverse de», « pour le domaine de définition étant et le domaine des valeurs », pour « le domaine de définition de la fonction est » et « son domaine de valeurs» ;
tracé du graphe de la fonction : le graphe de est le symétrique par rapport à la 1ère diagonale tracé du graphe de la fonction : de celui de voir ci-contre ;
tracé du graphe de la fonction : on observe que la fonction est «», tracé du graphe de la fonction : on observe que la fonction est « impaire » , tracé du graphe de la fonction : on observe que la fonction est « continue et dérivable sur », tracé du graphe de la fonction : on observe que la fonction sa dérivée valant «» ; tracé du graphe de la fonction : on déduit de cette expression de dérivée de la fonction la propriété : tracé du graphe de la fonction : on déduit « une primitive de est » [52],[53].
Justification de l'expression de la dérivée de : on inverse la fonction selon , puis Justification de l'expression de la dérivée de : on différencie la fonction inversée [54] et Justification de l'expression de la dérivée de : on différencie la fonction inversée sans restriction car [54], Justification de l'expression de la dérivée de : on termine en éliminant au profit de avec soit dont on déduit .
Forme logarithmique de la fonction argument tangente hyperbolique : «» ; Forme logarithmique de la fonction argument tangente hyperbolique : en effet «» «» c.-à-d. Forme logarithmique de la fonction argument tangente hyperbolique : en effet « est la solution de même signe que de l'équation » ou, Forme logarithmique de la fonction argument tangente hyperbolique : en regroupant les termes en et en dans des membres distincts «» puis Forme logarithmique de la fonction argument tangente hyperbolique : en multipliant chaque membre par «» ou, étant , «» Forme logarithmique de la fonction argument tangente hyperbolique : en multipliant chaque membre par «» ou, étant , «» soit Forme logarithmique de la fonction argument tangente hyperbolique : en inversant cette dernière relation, «».
« La fonction est inversable sur son domaine de définition » car elle y est « bijective » ; « son inverse notée » [55] définit la fonction « argument cotangente hyperbolique » ;
Tracé du graphe de sur l'intervalle de définition restreint à , avec un intervalle de valeurs restreint à
« La fonction est la fonction inverse de», « pour le domaine de définition étant et le domaine des valeurs », pour « le domaine de définition de la fonction est » et pour « son domaine de valeurs» ;
tracé du graphe de la fonction : le graphe de est le symétrique par rapport à la 1ère diagonale tracé du graphe de la fonction : de celui de voir ci-contre ;
tracé du graphe de la fonction : on observe que la fonction est « sur ainsi que sur », tracé du graphe de la fonction : on observe que la fonction est « impaire » , tracé du graphe de la fonction : on observe que la fonction est « continue et dérivable sur ainsi que tracé du graphe de la fonction : on observe que la fonction est « continue et dérivable sur », tracé du graphe de la fonction : on observe que la fonction sa dérivée valant «» [56] ; tracé du graphe de la fonction : on déduit de cette expression de dérivée de la fonction la propriété : tracé du graphe de la fonction : on déduit « une primitive de est » [52],[57].
Justification de l'expression de la dérivée de : on inverse la fonction selon , puis Justification de l'expression de la dérivée de : on différencie la fonction inversée [58] et Justification de l'expression de la dérivée de : on différencie la fonction inversée sans restriction car [58], Justification de l'expression de la dérivée de : on termine en éliminant au profit de avec soit dont on déduit .
Forme logarithmique de la fonction argument cotangente hyperbolique : «» ; Forme logarithmique de la fonction argument cotangente hyperbolique : en effet «» «» c.-à-d. Forme logarithmique de la fonction argument cotangente hyperbolique : en effet « est la solution de même signe que de l'équation » ou, Forme logarithmique de la fonction argument cotangente hyperbolique : en regroupant les termes en et en dans des membres distincts «» puis Forme logarithmique de la fonction argument cotangente hyperbolique : en multipliant chaque membre par «» ou, étant , «» Forme logarithmique de la fonction argument cotangente hyperbolique : en multipliant chaque membre par «» ou, étant , «» soit Forme logarithmique de la fonction argument cotangente hyperbolique : en inversant cette dernière relation, «».
↑ 1,0 et 1,1Vincenzo Riccati (1707 - 1775) mathématicien de la province de Vénétieserait aujourd'hui italien surtout connu pour son travail sur les équations différentielles comme celle connue sous le nom d'équation de Riccati et pour la méthode de résolution par tractoire qu'il utilisa.
↑ Le graphe du cosinus hyperbolique est appelé « chaînette » car c'est la courbe que suit une chaînette ou tout objet filiforme homogène tenue par ses deux extrémités dans un champ de pesanteur uniforme pour que la courbe suivie par la chaînette soit symétrique il faut que les deux extrémités soient au même niveau horizontal.
↑ En utilisant la formule de dérivation d'un quotient de fonctions avec voir le paragraphe « sinus hyperbolique » plus haut dans ce chapitre et voir le paragraphe « cosinus hyperbolique » plus haut dans ce chapitre d'où
↑ Ce dernier lien étant la raison pour laquelle la cotangente hyperbolique est très peu utilisée tout comme la cotangente trigonométrique par rapport à la tangente trigonométrique.
↑ En utilisant la formule de dérivation d'un quotient de fonctions avec voir le paragraphe « cosinus hyperbolique » plus haut dans ce chapitre et voir le paragraphe « sinus hyperbolique » plus haut dans ce chapitre d'où
↑ Bien sûr le qualificatif « vertical » est un abus pour traduire de façon succincte « à l'axe des ordonnées ».
↑ 23,0 et 23,1Méthode d'introduction des fonctions trigonométriques ayant inspiré Vincenzo Riccati pour introduire les fonctions hyperboliques La méthode suivie par Vincenzo Riccati est calquée sur celle qu'il utilisait lorsque le cercle trigonométrique d'équation était à la place de l'hyperbole d'équation , voir ci-contre le diagramme explicatif de la méthode avec le cercle trigonométrique ; Une demi-droite passant par l'origine coupe le cercle trigonométrique en un point dont les coordonnées paramétrées en fonction de l'angle polaire s'expriment respectivement en fonction du « cosinus » pour l'abscisse et « sinus » pour l'ordonnée, plus précisément , le paramètre s'avérant être aussi « le double de l'aire algébrique de la surface délimitée par la demi-droite, le cercle et l'axe des abscisses » en rouge sur le schéma ci-contre ; en effet nous avons indiqué dans le corps du « paragraphe sur lequel se greffe cette note de bas de page » que le vecteur surface élémentaire balayée par le rayon vecteur quand le point se déplace de sur une courbe donnée, est défini par , pour le cercle trigonométrique le meilleur repérage étant le repérage polaire de base locale le rayon vecteur s'écrivant et le vecteur déplacement élémentaire le cercle étant de rayon unité, on en déduit d'où l'aire de la surface balayée par le rayon vecteur quand le point se déplace sur le cercle de valant , celle quand le point se déplace sur le cercle du point de l'axe des abscisses jusqu'au point repéré par le paramètre est bien pour un cercle de rayon l'aire serait correspondant à une aire de pour un tour complet.
↑ 25,0 et 25,1 D'une part Le vecteur surface devant être « à et » est bien colinéaire à «» et d'autre part sa norme devant être identifiée à l'« aire de la surface triangulaire construite sur les deux vecteurs et » c.-à-d. «» aire d'un triangle = la moitié du produit d'une base par la hauteur associée soit finalement «».
↑ Ce lien «» entre l'angle et l'aire de la surface balayée par le rayon vecteur quand le point se déplace sur l'hyperbole du point de l'axe des abscisses jusqu'au point repéré par est nettement plus complexe que «» obtenu dans le cas du cercle d'équation cartésienne , sa complexité impliquant sa inutilisation.
↑ Si est , nous conserverons la solution telle que soit c.-à-d. telle que soit , si est , nous conserverons la solution telle que soit c.-à-d. telle que soit .
↑ Le produit des racines valant , les deux racines sont de signes contraires mais, seule la positive peut être une exponentielle et convenir ; la recherche de la racine nous conduit à , l'autre étant car est toujours .
↑ 46,046,146,246,346,4 et 46,5 L'ensemble des réels positifs ou nuls est encore noté mais les mathématiciens utilisent .
↑ Le produit des racines valant , les deux racines sont de signes contraires mais, seule la positive peut être une exponentielle et convenir ; la recherche de la racine nous conduit à , l'autre étant car est toujours .
↑ 52,0 et 52,1 Toutefois on préférera toujours utiliser la décomposition de la fonction rationnelle en éléments simples comme cela est exposé dans le paragraphe « développement de quelques méthodes de calcul (intégrer une fonction rationnelle par décomposition en éléments simples) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » qui s'intègre en soit finalement .
↑ Dans la mesure où , la primitive se réécrit donc le 1er terme n'est rien d'autre que la forme logarithmique de établie ci-après.
![{\displaystyle \;\left[-4\,;\,+4\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57a9b76c8e0421ab1f3b71c5fbef63544ac63f00)
![{\displaystyle \;\left[+1\,;\,\simeq +27,3\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5708d29bb150c0c6a6a21363b0fcc5dc2c9531a1)
![{\displaystyle \;{\dfrac {d\left[\cosh(x)\right]}{dx}}=\sinh(x)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6eae5af904e12af20febe690ab20b635e5ac2860)
![{\displaystyle \;{\dfrac {d\left[\cosh(x)\right]}{dx}}={\dfrac {\exp(x)-\exp(-x)}{2}}=\sinh(x)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77b82262c0bae3f70b072dc9418546d32bf723c6)
![{\displaystyle \;\left]-\infty \,,\,0\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fad3923dea3e63acd43b8bd681930a6c8be40fc)
![{\displaystyle \;\left[-4\,,\,+4\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e67ed97da6ea25adc1d1b0d9aab79c4bec9d7214)
![{\displaystyle \;\left[\simeq -27,3\,;\,\simeq +27,3\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b19fe3c9bb467c3c5919b6d58bba46e83d1f2ca)
![{\displaystyle \;\left]-\infty \,,\,+\infty \right[\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90d3af76969b01bf6283ca73ecef3bfc16ef6658)
![{\displaystyle \;{\dfrac {d\left[\sinh(x)\right]}{dx}}=\cosh(x)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad1fdbd4592d74d02394bf1a18a48faed1085502)
![{\displaystyle \;{\dfrac {d\left[\sinh(x)\right]}{dx}}={\dfrac {\exp(x)+\exp(-x)}{2}}=\cosh(x)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/643f355c7039f15e03c45e8d857f33fbaa880e0d)
![{\displaystyle \;\left[\simeq -0,9993\,;\,\simeq +0,9993\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db083775bd4c2964a262b3008078a418d3a9113c)
![{\displaystyle \;\left]-1\,,\,+1\right[\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c92f9f4dab4ed2e3c25fb41271c97ed2a4350f28)
![{\displaystyle \;{\dfrac {d\left[\tanh(x)\right]}{dx}}={\dfrac {1}{\cosh ^{2}(x)}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f474238e109b0b2e7356984cbacaea1086465db3)
![{\displaystyle \;{\dfrac {d\left[\tanh(x)\right]}{dx}}={\dfrac {d\left[{\dfrac {\sinh(x)}{\cosh(x)}}\right]}{dx}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0c4eba2749691118dfafd47d55dc87ccac3d3c9)
![{\displaystyle \;\color {transparent}{{\dfrac {d\left[\tanh(x)\right]}{dx}}=}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06d1d877af9880589e8f354fffd95c81619f03bc)
![{\displaystyle \;\color {transparent}{\dfrac {d\left[\tanh(x)\right]}{dx}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58f7e87bf52ef2531b1b642c480ce19fac23136d)
![{\displaystyle \;{\dfrac {d\left[\tanh(x)\right]}{dx}}=1-\tanh ^{2}(x)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d25d7e4dcbd9f63c856d57ad0dd72d4c768fce56)
![{\displaystyle \;\left[-4\,;\,+4\right]\setminus \left\lbrace 0\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a118e19c654a595cd84fe59abdbb4f2a784319b0)
![{\displaystyle \;\mathbb {R} \setminus \left[\simeq -1,0007\,;\,\simeq +1,0007\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37f82948e2be5ee3505e86a7f7830e43ed1e278a)
![{\displaystyle \;\left]-\infty \,,\,-1\right[\cup \left]+1\,,\,+\infty \right[\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c9422af92d5a4ea9e8894e0a9adcfb1fab3a3fa)
![{\displaystyle \;{\dfrac {d\left[\coth(x)\right]}{dx}}={\dfrac {-1}{\sinh ^{2}(x)}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66e8189944999b401eeddf048ce9c978bd0048ba)
![{\displaystyle \;{\dfrac {d\left[\coth(x)\right]}{dx}}={\dfrac {d\left[{\dfrac {\cosh(x)}{\sinh(x)}}\right]}{dx}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79d183614d533dd7f37153e7cf607a6a4f5066de)
![{\displaystyle \;\color {transparent}{{\dfrac {d\left[\coth(x)\right]}{dx}}=}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc23bfc57167378df85a442067eb757507348def)
![{\displaystyle \;\color {transparent}{\dfrac {d\left[\coth(x)\right]}{dx}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7443fdce7a2aa7ed57241230cf3905b102681c5a)
![{\displaystyle \;{\dfrac {d\left[\coth(x)\right]}{dx}}=1-\coth ^{2}(x)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/390cbee165ebd2a57a8bd2a7fa8105eaeba47c5c)
![{\displaystyle \;\left]-\infty \,,\,0\right[\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49f7719c4e8173af7d8a1eddd361c8ea2c600b25)
![{\displaystyle \;\left]0\,,+\infty \right[\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/953c014723cfd7e5a1d364b4a61cd967c6b2a1c3)
![{\displaystyle \;\left[-4\,,\,+4\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afb73e7e3c8c1cac249dc1c128192767a4a4815e)
![{\displaystyle \;\left[-5\,,\,-1\right[\cup \left]+1\,,\,+5\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf5258e5510d977c00908322bb597191fd982faf)
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {dS}}={\dfrac {\left[\cosh({\mathfrak {a}})\;{\vec {u}}_{x}+\sinh({\mathfrak {a}})\;{\vec {u}}_{y}\right]\wedge \left[\sinh({\mathfrak {a}})\;d{\mathfrak {a}}\;{\vec {u}}_{x}+\cosh({\mathfrak {a}})\;d{\mathfrak {a}}\;{\vec {u}}_{y}\right]}{2}}={\dfrac {\left[\cosh ^{2}({\mathfrak {a}})-\sinh ^{2}({\mathfrak {a}})\right]d{\mathfrak {a}}}{2}}\;{\vec {u}}_{z}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0faa3bbbb15ed844c6b07f1a69d2b1ab6b3e034)
![{\displaystyle \;\theta \rightarrow \pm {\dfrac {\pi }{4}}{\bigg ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e94a2e262278be48def7ec4476a5a0d7bbd8768)
![{\displaystyle \;dt'=\left[1+\tan ^{2}\!\left(\theta '\right)\right]d\theta '\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e6a246e797eda658621470571d3b1682bc4b323)
![{\displaystyle \;\cos(2\;\theta ')=\cos ^{2}(\theta ')-\sin ^{2}(\theta ')=\cos ^{2}(\theta ')\left[1-\tan ^{2}(\theta ')\right]={\dfrac {1-\tan ^{2}(\theta ')}{1+\tan ^{2}(\theta ')}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad90176ff7e3b3c7724ffbd0d0148bb6e5cb2389)
![{\displaystyle \;{\mathfrak {a}}={\dfrac {1}{4}}\left[\displaystyle \int _{0}^{t}{\dfrac {dt'}{1-t'}}+\displaystyle \int _{0}^{t}{\dfrac {dt'}{1+t'}}\right]={\dfrac {1}{4}}\left[\displaystyle \int _{t'\,=\,0}^{t'\,=\,t}{\dfrac {d(1+t')}{1+t'}}-\displaystyle \int _{t'\,=\,0}^{t'\,=\,t}{\dfrac {d(1-t')}{1-t'}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1aee431c376b1df643a83a0361d50cce995909b2)
![{\displaystyle ={\dfrac {1}{4}}\left[\ln \!\left({\dfrac {1+t'}{1-t'}}\right)\right]_{0}^{t}={\dfrac {1}{4}}\,\ln \!\left({\dfrac {1+t}{1-t}}\right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef7b41f7a18ab6dc227bd2df4b5fa49ebb17f118)
![{\displaystyle \;{\mathfrak {a}}={\dfrac {1}{4}}\,\ln \!\left[{\dfrac {1+\tan(\theta )}{1-\tan(\theta )}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb374ab7759ed5fa4c01133e7f12dbda0f3f98c2)
![{\displaystyle \;\cosh ^{2}(x)=\left[{\dfrac {\exp(x)+\exp(-x)}{2}}\right]^{2}={\dfrac {\exp ^{(}2\,x)+\exp(-2\,x)+2}{4}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d0eb4d15a589bd8905a7f5022002ad9bd9cc956)
![{\displaystyle \;\sinh ^{2}(x)=\left[{\dfrac {\exp(x)-\exp(-x)}{2}}\right]^{2}={\dfrac {\exp ^{(}2\,x)+\exp(-2\,x)-2}{4}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7d4ec3a9b45c7a6431608c80d69b15ee4c9e55b)
![{\displaystyle {\Bigg ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5009a1a3c1fcd7483273ceb0ed46bba07856fae5)
![{\displaystyle \;\left[-27\,;\,+27\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b5d0a6fa3972ecd6ff5657a28ce8c7c1a083b0f)
![{\displaystyle \;\left[\simeq -3,99\,;\,\simeq +3,99\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1bf2f6afa82257bd5eb0ac1f5883279f71f6607)
![{\displaystyle \;x=\sinh(y){\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8381577e9c298427dfbcffe8fe38f8a85c30a10)
![{\displaystyle \;{\big [}\mathrm {argsinh} (-x)=-\mathrm {argsinh} (x){\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ebb4a43c7697705bbbce7cc7ec4b8c94f7d140c)
![{\displaystyle \;{\dfrac {d\left[\mathrm {argsinh} (x)\right]}{dx}}={\dfrac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b92af38b79355f6baf0be4746f4364e56a45eb60)
![{\displaystyle \;\mathrm {argsinh} (x)=\ln \!\left[x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right]\;\;\forall \;x\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66700bcdfd933585ccb3829b0a8eb8ee6d77b2cf)
![{\displaystyle \;y=\ln \!\left[x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f75ea36f0e9eea670b199f2e00ecdf7ed5648812)
![{\displaystyle \;\left[1\,;\,+25\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10e060202befb336d6ea7c400b700ab2b8a8f3e9)
![{\displaystyle \;\left[0\,;\,\simeq 3,9\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c787902007659ae59630ce7cec2e47a904739824)
![{\displaystyle {\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6409e9848c1422eef16462fbeae301d8fa0f831)
![{\displaystyle \;\left]1\,,\,+\infty \right[\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3be81d59d50feb77179d92bf2df071a78097f7b4)
![{\displaystyle \;{\dfrac {d\left[\mathrm {argcosh} (x)\right]}{dx}}={\dfrac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f78e3f2964808a0f7d2425b1f123667d01f57b8)
![{\displaystyle \;x=1{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad35076ef0e242fd142134c84824de1d36e6ba9b)
![{\displaystyle \;\mathrm {argcosh} (x)=\ln \!\left[x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right]\;\;\forall \;x\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/678194f2eb817d34075b5aa790020d3e820c1018)
![{\displaystyle \;\left]-1\,;\,+1\right[}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b9018f16773fc893626ee1ffdb7f9df9a2f4a95)
![{\displaystyle \;\left[\simeq -4\,;\,\simeq +4\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b14fa41f0e2e60d544b9c4e5a83c22cc85579ba7)
![{\displaystyle \;x=\tanh(y){\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cf5a01d89d019449570f5af48bfd356576a9af4)
![{\displaystyle \;{\big [}\mathrm {argtanh} (-x)=-\mathrm {argtanh} (x){\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/224d2096c87349aa645c512c6feead1de272dd8a)
![{\displaystyle \;{\dfrac {d\left[\mathrm {argtanh} (x)\right]}{dx}}={\dfrac {1}{1-x^{2}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b11bdd9458f38a7e87c6b90021955b9edbf2181f)
![{\displaystyle \;dx=\left[1-\tanh ^{2}(y)\right]\,dy\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/face79ef5d632dd867644836dabfd6b59158e5c2)
![{\displaystyle \;\left[\simeq -5\,;\,-1\right[\cup \left]+1\,;\,\simeq +5\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62d6c3cf510072e0ca5ea796da4023531a42a036)
![{\displaystyle \;\left[\simeq -2,7\,;\,\simeq +2,7\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/916c8b3bb8cc46762b01c0e7f296d90f2c75d0ce)
![{\displaystyle \;x=\coth(y){\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fd161dadab6d03069335a7bbd1a288e3c23dc68)
![{\displaystyle \;\left]-\infty \,,\,-1\right[\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e1ae69b93d5fca6e76a10c624ecf223b4a1d36d)
![{\displaystyle \;\left]+1\,,\,+\infty \right[\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a9b81819556587c78e20b1b97d823aba9c51065)
![{\displaystyle \;{\big [}\mathrm {argcoth} (-x)=-\mathrm {argcoth} (x){\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b38088036a040949ce12097e35e2c017905bd9b)
![{\displaystyle \;{\dfrac {d\left[\mathrm {argtanh} (x)\right]}{dx}}={\dfrac {-1}{x^{2}-1}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff9b621524e4a863b7e7234b38a575a2b4a6905d)
![{\displaystyle \;dx=\left[1-\coth ^{2}(y)\right]\,dy\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f02a5e76e28d524c31e991acbc64e5c08a5898ca)
![{\displaystyle \;{\dfrac {d\left[{\dfrac {\sinh(x)}{\cosh(x)}}\right]}{dx}}={\dfrac {\cosh(x)\;\cosh(x)-\sinh(x)\;\sinh(x)}{\cosh ^{2}(x)}}\;\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a97e3f844c863fd648981bf7f56fe0155f8ef46)
![{\displaystyle \;{\dfrac {d\left[\tanh(x)\right]}{dx}}\;{\stackrel {\cdots }{=}}\;{\dfrac {\cosh ^{2}(x)-\sinh ^{2}(x)}{\cosh ^{2}(x)}}=1-\left[{\dfrac {\sinh(x)}{\cosh(x)}}\right]^{2}=1-\tanh ^{2}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b59bc7fd930f3d1497911877ea52eeed653d136)
![{\displaystyle \;{\dfrac {d\left[{\dfrac {\cosh(x)}{\sinh(x)}}\right]}{dx}}={\dfrac {\sinh(x)\;\sinh(x)-\cosh(x)\;\cosh(x)}{\sinh ^{2}(x)}}\;\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85a0f4e7f300f213d7755fb6bc1c40ed1de03615)
![{\displaystyle \;{\dfrac {d\left[\coth(x)\right]}{dx}}\;{\stackrel {\cdots }{=}}\;{\dfrac {\sinh ^{2}(x)-\cosh ^{2}(x)}{\sinh ^{2}(x)}}=1-\left[{\dfrac {\cosh(x)}{\sinh(x)}}\right]^{2}=1-\coth ^{2}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1127461c187dbb68f09048dea8e8cbbb789fd91e)
![{\displaystyle \;{\dfrac {1}{1-x^{2}}}={\dfrac {1}{2}}\left[{\dfrac {1}{1-x}}+{\dfrac {1}{1+x}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c009e773582c623926f6a96c2b3ef9e4d6d4019c)
![{\displaystyle \;\displaystyle \int ^{x}{\dfrac {d\xi }{1-\xi ^{2}}}={\dfrac {1}{2}}\left[\displaystyle \int ^{x}{\dfrac {d\xi }{1-\xi }}+\displaystyle \int ^{x}{\dfrac {d\xi }{1+\xi }}\right]={\dfrac {1}{2}}\left[\displaystyle \int ^{x}-{\dfrac {d(1-\xi )}{1-\xi }}+\displaystyle \int ^{x}{\dfrac {d(1+\xi )}{1+\xi }}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0e2d4e4fe0a66968285036aeabfe88cf7985fdd)
![{\displaystyle ={\dfrac {1}{2}}\left[-\ln \!\vert 1-x\vert +\ln \!\vert 1+x\vert \right]+cste\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/781805a808c51852a973062df5cb70326da8b4a3)
![{\displaystyle \;x\in \left]-1\,,\,+1\right[}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c56ca6956c64d26af902433c566247669934cb5)
![{\displaystyle {\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31d63350d68291e3f56604a089e0e0b5a86c2472)
![{\displaystyle \;{\dfrac {d\left[\mathrm {argcoth} (x)\right]}{dx}}={\dfrac {1}{1-x^{2}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96df8b8e0145600edb684aec9daeccabc698c505)
![{\displaystyle \;{\dfrac {d\left[\mathrm {argtanh} (x)\right]}{dx}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/866e02885bea7f857b9a1826cd8aa57ee494a23c)
![{\displaystyle \;x\in \left]-\infty \,,\,-1\right[\cup \left]+1\,,\,+\infty \right[}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e08f38ef50140f6db68f5b0a2f3ae014ccdf7720)
