En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Exercice : Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple
Mécanique 1 (PCSI)/Exercices/Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Schéma de description d'un pendule conique OA tournant autour d'un axe vertical (Δ) à vitesse angulaire ω constante
......Une tige rigide
, de masse négligeable, de longueur
constante, mobile autour d'un point fixe
, tourne autour d'un axe vertical
passant par
avec une vitesse angulaire
constante [la vitesse angulaire est comptée positivement dans le sens indiqué sur le schéma, ce sens correspondant à l'orientation de l'axe
par
vertical ascendant].
......À l'extrémité
de la tige est fixée une boule assimilable à un point matériel
de masse
, l'ensemble « tige rigide - boule » étant placé dans le champ de pesanteur terrestre
uniforme.
......On désigne par
l'angle
que la tige
fait avec l'axe vertical
orienté dans le sens descendant.
Démonstration de l'invariabilité de l'inclinaison de la tige rigide relativement à l'axe vertical de rotation dans la mesure où le mouvement de cette dernière est uniforme[modifier | modifier le wikicode]
......Montrer que le caractère constant de la vitesse angulaire du « pendule conique » [1] entraîne celui de son inclinaison
[2].
Solution
Schéma de description d'un pendule conique OA tournant autour d'un axe vertical (Δ) à vitesse angulaire ω constante, repérage cylindro-polaire d'axe vertical ascendant de la boule fixée en A et représentation des forces qui lui sont appliquées
......Rappelons, pour commencer, le caractère galiléen du référentiel
par rapport auquel la vitesse angulaire du pendule est mesurée ;
......choisissant de repérer le point matériel
assimilant la boule fixée en
en cylindro-polaire d'axe
orienté par
[2], ses coordonnées cylindro-polaires sont
, la base cylindro-polaire associée
étant choisie « directe » (voir schéma ci-contre) ;
......bilan des forces appliquées au point
(voir ci-contre) :
- son poids
vertical descendant soit encore
et
- le vecteur tension de la tige rigide
porté par
et de sens contraire à
, dans le demi-plan méridien
repéré par
, soit
;
......application de la r.f.d.n. [3] au point
:
avec
vecteur accélération du point
dans le référentiel
galiléen, donne ici
et, comme aucune des forces n'a de composantes sur
, on en déduit
;
............application de la r.f.d.n. au point M : ~or la forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale (applicable dans la mesure où

étant
[4], on déduit donc de l'intégration de

, une intégrale
1re du mouvement du pendule
ou,
............application de la r.f.d.n. au point M : ~avec
constante,
c'est-à-dire la nature circulaire du mouvement de
ou encore,
............application de la r.f.d.n. au point M : ~avec

, de

on déduit

c'est-à-dire la constance de l'angle d'inclinaison de la tige rigide

par rapport à la verticale descendante dans la mesure où le mouvement de rotation de

autour de la verticale reste à vitesse angulaire constante
[5] soit
constante
constante [6].
Détermination de la relation entre l'inclinaison du pendule conique par rapport à la verticale du lieu et sa vitesse angulaire de rotation autour de l'axe vertical[modifier | modifier le wikicode]
......Déterminer la relation liant l'inclinaison
du pendule conique par rapport à la verticale du lieu et sa vitesse angulaire
de rotation autour de l'axe vertical ;
......on précisera la valeur critique
à partir de laquelle l'inclinaison du pendule conique par rapport à la verticale du lieu est possible c'est-à-dire telle que
peut être
.
Solution
......Pour trouver la relation demandée nous allons projeter la r.f.d.n. [3] sur les deux autres vecteurs unitaires non encore utilisés soit :
- sur
,
avec
donnant, dans le cas présent où
ainsi que
constante,
ou encore, avec
, l'équation suivante
[7] soit finalement
et
- sur
,
avec
donnant, dans le cas présent où
avec
donc
constante, l'équation suivante
.
......Détermination de la relation cherchée : En supposant la tige rigide effectivement inclinée par rapport à la verticale nous avons

et par suite les deux équations

, la
1re imposant le caractère strictement positif de

et la 2
nde celui de

c'est-à-dire imposant
[8] d'où, de

on tire

alors que

s'écrit

, l'élimination de

entre les deux donnant finalement la relation cherchée

ou encore
;
......Détermination de la relation cherchée : remarque : la relation ci-dessus n'est valide que si son 2nd membre est strictement inférieur à 1 c'est-à-dire si
, cette limite inférieure étant donc la vitesse angulaire critique
à partir de laquelle la position inclinée du pendule conique (relativement à la verticale) est possible soit
.
......Détermination de la relation cherchée : Si
, la solution ci-dessus n'étant pas possible, nous avons nécessairement
et
, la 1re équation conduisant à
et la 2nde associée à une solution de la 1re à
, ces deux solutions dans le cas où
est
étant admissibles car la force que la tige rigide
exerce sur
fixé en
peut être dans un sens ou un autre [9] mais dans le cas où la tige rigide serait remplacée par un fil idéal, seule la solution
resterait possible comme seul mouvement satisfaisant au caractère tendu du fil à savoir
.
Pendule cycloïdal, traitement par utilisation de la relation fondamentale de la dynamique newtonienne (r.f.d.n.)[modifier | modifier le wikicode]
Schéma d'un pendule cycloïdal (cycloïde droite inversée
[10]) avec représentation de la base locale de Frenet
[11]
......Un point matériel
de masse
est assujetti à se déplacer dans le plan vertical
sur la portion de cycloïde dont les équations paramétriques sont :
avec
[12] (voir ci-contre).
......À la date
, on lâche
de
sans vitesse initiale ; il est soumis au champ de pesanteur
uniforme et se déplace en liaison bilatérale sans frottement sur la portion de cycloïde.
Expression de l'angle d'inclinaison avec l'axe Ox du vecteur unitaire tangentiel de Frenet au point M[modifier | modifier le wikicode]
......Déterminer l'expression de
en fonction de
[il s'agit d'une question de géométrie voire de cinématique (si on fait intervenir le temps mais nous ne ferons pas) indépendante des forces appliquées, on rappelle la méthode : déterminer
- les composantes cartésiennes du vecteur déplacement élémentaire
en fonction de
puis
- la valeur absolue de la variation élémentaire de l'abscisse curviligne
suivi de
après choix de l'orientation de la courbe et enfin
- le vecteur unitaire tangentiel de Frenet [11] au point
défini par
en fonction de
dont on peut tirer
en fonction de
.
Solution
Schéma d'un pendule cycloïdal (cycloïde droite inversée
[10]) avec représentation de la base locale de Frenet
[11] (en rouge) et des forces appliquées (en bleu)
......À partir des équations cartésiennes paramétriques de la portion de cycloïde
(voir schéma ci-contre), on détermine le vecteur déplacement élémentaire par différenciation de
soit
avec
d'où
;
......pour déterminer la valeur absolue de la variation élémentaire de l'abscisse curviligne
repérant le point
, l'origine du repérage ayant été choisie en
[13], on utilise l'expression du vecteur déplacement élémentaire dans la base locale de Frenet [11]
[14] dont on tire
soit, après simplification évidente
ou, en utilisant la formule de trigonométrie
, l'expression suivante
;
......de
![{\displaystyle \;\theta \in \left[-\pi \,,\,\pi \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10d47fdff398088787db73ed2f3acf37d16778b1)
, on tire
![{\displaystyle \;{\dfrac {\theta }{2}}\in \left[-{\dfrac {\pi }{2}}\,,\,{\dfrac {\pi }{2}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64fe6510c87d916027a6959198accafa5e425baa)
et par suite

, aussi,
orientant la portion de cycloïde dans le sens croisant de θ, on en déduit
;
......de
[14] on en tire
![{\displaystyle \;{\vec {\tau }}={\dfrac {\overrightarrow {dM}}{ds}}={\dfrac {a\,\left[1+\cos(\theta )\right]\,d\theta \;{\vec {u}}_{x}+a\;\sin(\theta )\;d\theta \;{\vec {u}}_{y}}{2\;a\;\cos \!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)\,d\theta }}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/411c25d04ffec4a6f258a398613f56b8054e7ebd)
ou, avec

, la simplification suivante
;
......finalement la définition de l'angle

nous conduit au lien de cet angle

(ayant une signification directe sur la portion de cycloïde) avec le paramètre

(sans signification directe sur la portion de cycloïde
[12]) soit
.
Expression, en fonction de l'angle d'inclinaison avec l'axe Ox du vecteur unitaire tangentiel de Frenet au point M, de l'abscisse curviligne du point sur la portion de cycloïde, puis du rayon de courbure de cette dernière au même point[modifier | modifier le wikicode]
......Déduire, de la question précédente, l'abscisse curviligne
[13] du point
sur la portion de cycloïde en fonction de
angle d'inclinaison avec l'axe
du vecteur unitaire tangentiel de Frenet [11]
au même point
[15] puis,
......Déduire, de la question précédente, le rayon de courbure
de la portion de cycloïde au point
en fonction de
on rappelle une définition équivalente du rayon de courbure pour une courbe plane «
» [16]
.
Solution
......Pour déterminer l'abscisse curviligne
[13] du point

sur la portion de cycloïde, il suffit d'intégrer
[17] entre 0 et

soit

donnant finalement
;
......de

, on en déduit le rayon de courbure au point

de la portion de cycloïde par «

»
[16] soit finalement
[18].
Détermination de la nature oscillatoire du mouvement de M sur la portion de cycloïde déterminée par r.f.d.n. et expression de sa période d'oscillations[modifier | modifier le wikicode]
......En repérant le point
par son abscisse curviligne
et en appliquant la r.f.d.n. [3] à
dans le référentiel terrestre supposé galiléen dans lequel la courbe est fixe, trouver, par projection sur
vecteur unitaire tangentiel de Frenet [11] lié à
:
- l'équation différentielle du 2ème ordre en
du mouvement de
, puis
- la nature de ce mouvement par résolution de l'équation différentielle précédente et enfin,
- l'expression de la période
de ce mouvement.
Solution
......Les forces appliquées au point
glissant sans frottement sur la portion de cycloïde étant :
- son poids
en utilisant la base locale de Frenet [11] dans laquelle
(selon le schéma du début de texte ou celui de la solution de la 1re question) et
- la réaction de la portion de cycloïde
à
par absence de frottement soit
,
pouvant être a priori de positif, nul ou négatif compte-tenu de la liaison bilatérale,
......l'application de la r.f.d.n.
[3] à

dans le référentiel terrestre

supposé galiléen dans lequel la courbe est fixe, nous conduit à
dans laquelle
est le vecteur accélération de
dans
défini à l'instant
;
......projetant la relation ci-dessus sur

le vecteur unitaire tangentiel de Frenet
[11] lié à

, et sachant que la composante de

sur ce vecteur définit l'accélération tangentielle de

sur sa trajectoire

, laquelle est liée à l'abscisse curviligne du point à l'instant

par
[19], on obtient
![{\displaystyle \;-m\;g\;\sin \!\left[\varphi (t)\right]=m\;{\ddot {s}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/676ace2239df31bf0c74acd02cc7001c48e21244)
soit, en éliminant

au profit de

par

et par suite
![{\displaystyle \;\sin \!\left[\varphi (t)\right]={\dfrac {s(t)}{4\;a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73c2cd053b9eaae41d8f4083d5b247f99161bf8e)
, on obtient l'équation différentielle en

cherchée soit

ou, en simplifiant
c'est-à-dire
une équation différentielle linéaire homogène du 2ème ordre à cœfficients constants sans terme du 1er ordre.
......On reconnaît l'équation différentielle d'un oscillateur harmonique non amorti de pulsation propre

d'où la forme de l'équation horaire en

suivante

avec

et

constantes d'intégration à déterminer par C.I.
[20] «

lâché de

sans vitesse initiale » soit
[21] et
[22] dont on tire

d'une part et, avec

,

d'autre part soit finalement
.
......On en déduit la période
du pendule cycloïdal identique à la période propre de l'oscillateur harmonique non amorti qu'il définit soit
;
......remarque : la période d'un oscillateur harmonique non amorti étant indépendante de l'amplitude d'oscillations, il en est de même de celle du pendule cycloïdal défini ici, c'est-à-dire que l'on peut affirmer l'isochronisme des oscillations [23] d'un pendule cycloïdal.
Expression de la réaction de la cycloïde sur le point M[modifier | modifier le wikicode]
......Trouver, par projection sur
vecteur unitaire normal principal de Frenet [11] lié à
, de la r.f.d.n. [3] appliquée à
, la réaction
de la cycloïde agissant sur
[on l'exprimera en fonction de
puis de
[24]].
Solution
......On détermine la réaction

de la portion de cycloïde sur

en projetant la r.f.d.n.
[3] appliquée à

sur le vecteur unitaire normal principal de Frenet
[11] 
soit :
dans laquelle
est l'accélération normale de
sur sa trajectoire soit
,
laquelle est liée à la vitesse instantanée
du point à l'instant
par
[19],
étant le rayon de courbure de la portion de cycloïde en la position de
à l'instant
;
......de la projection de la r.f.d.n. [3] sur
on en tire
ou,
......avec
d'une part et
......avec les lois horaires
et
d'autre part, lois que l'on détermine en identifiant
avec
soit
et
[25],
......la réécriture de la composante normale de la réaction en fonction du temps

soit encore, avec

et après une simplification évidente,
[26] ou encore
avec
;
......l'expression, en fonction de

, de la composante normale

de la réaction de la portion de cycloïde sur

s'obtient aisément en remplaçant

par

soit
[27].
- ↑ Dans la mesure où on démontre
(et c'est l'objet de cette question), ceci a pour conséquence que l'ensemble « tige rigide - boule » se déplace sur un cône d'où le qualificatif « conique » attribué (historiquement) au pendule.
- ↑ 2,0 et 2,1 Le meilleur repérage serait sphérique de pôle
et d'axe
orienté par
, la boule
étant alors de coordonnées sphériques
, mais l'expression du vecteur accélération en sphérique étant trop compliquée, on se tournera vers
...le repérage cylindro-polaire de même axe
, la boule
étant alors de coordonnées cylindro-polaires
;
...pour montrer que
reste constant, il suffit de démontrer que
ou (et)
ne varie(nt) pas, ou encore de montrer que le mouvement de
reste circulaire en utilisant
[mais attention à ne pas utiliser le caractère circulaire tant que celui-ci n'a pas été établi].
- ↑ 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 et 3,6 Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.
- ↑ Voir le paragraphe « composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chapitre
de la leçon « Mécanique 1(PCSI) » (attention, dans le paragraphe précité, la 2ème coordonnée cylindro-polaire de
était
, ici elle est
, il faut donc substituer
par
dans la formule semi-intégrée).
- ↑ La variation de l'inclinaison de la tige
avec la verticale ne pouvant se manifester que par une modification de la vitesse angulaire, on peut se servir de cette propriété pour vérifier le caractère uniforme de la rotation …
- ↑ Ou, tant que le mouvement de
autour de
est uniforme, il reste circulaire …
- ↑ Attention à ne pas simplifier inconsidérément par
qui pourrait être nul (et qui le sera sous conditions).
- ↑ La borne inférieure étant exclue par l'hypothèse
.
- ↑ Toutefois on pourrait montrer que seul le mouvement avec
est stable (c'est-à-dire insensible aux petites perturbations extérieures), le mouvement avec
étant qualifié d'instable (c'est-à-dire qu'une petite perturbation extérieure suffira pour que
devienne nul).
- ↑ 10,0 et 10,1 Une cycloïde droite, aussi appelée roue d'Aristote ou roulette de Pascal, est la courbe plane, trajectoire d'un point fixé sur un cercle qui roule sans glisser sur une droite (appelée directrice de la cycloïde droite) ; ici la cycloïde droite est dite inversée car sa directrice se trouve au-dessus de la cycloïde.
Schéma explicatif du paradoxe de la roue d'Aristote : si le cercle bleu roulait sur une droite (violette) il roulerait en glissant
...Appeler « roue d'Aristote » une cycloïde est en fait un abus de langage faisant référence
- d'une part à la construction de cette dernière comme trajectoire d'un point
fixé sur un disque
de centre
,
étant
,
roulant sans glisser sur une droite (la cycloïde étant « droite » si
est choisi sur la circonférence du disque) et
- d'autre part au paradoxe de la « roue d'Aristote » c'est-à-dire une roue de rayon
(représentée ci-contre par le cercle rouge) roulant sans glisser sur une route (représentée ci-contre par la droite marron) parcourant une longueur
par tour et son moyeu de rayon
(représenté ci-contre par le cercle bleu), évidemment solidaire de la roue, parcourant la même longueur
par tour soit
pourquoi n'a-t-on pas
? Réponse : si le cercle bleu roulait sur une droite (violette), il roulerait en y glissant …
...Aristote (384 av J.C. - 322 av J.C.) philosophe grec de l'Antiquité, il est l'un des rares à avoir abordé presque tous les domaines de connaissance de son temps : la biologie, la physique, la métaphysique, la logique, la poétique, la politique, la rhétorique et même l'économie …
...Une cycloïde est encore appelée « roulette de Pascal » par référence au titre de l'ouvrage que Blaise Pascal lui consacra en
à savoir le traité de la roulette (signé avec son nom de plume Amos Dettonville) ;
...Blaise Pascal (1623 - 1662) mathématicien, physicien, inventeur, philosophe, moraliste et théologien français ; ses premiers travaux contribuèrent à clarifier la notion de pression et de vide mais il est aussi l'inventeur de la 1re machine à calculer ainsi qu'un mathématicien de premier ordre (il a publié à
un traité de géométrie projective, a développé en
une méthode de résolution du problème des partis ayant donné naissance, au siècle suivant, au calcul des probabilités) ; on lui doit aussi une réflexion philosophique et théologique voir LesProvinciales et les Pensées qui ne furent publiées qu'après sa mort.
- ↑ 11,0 11,1 11,2 11,3 11,4 11,5 11,6 11,7 11,8 et 11,9 Jean Frédéric Frenet (1816 - 1900) est un mathématicien, astronome et météorologue français à qui on doit six des neuf formules de géométrie différentielle associées au trièdre (ou base) de Serret-Frenet [Joseph-Alfred Serret (1819 - 1885) mathématicien et astronome français ayant trouvé indépendamment ces formules].
- ↑ 12,0 et 12,1
n'a pas de signification directe sur la portion de cycloïde droite mais nécessite de revenir à la construction de celle-ci comme trajectoire d'un point fixé sur un cercle qui roule sans glisser sur une droite (appelée directrice de la cycloïde droite),
repérant le point sur le cercle.
- ↑ 13,0 13,1 et 13,2 Voir le paragraphe « notion d'abscisse curviligne d'un point d'une courbe » du chapitre
de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
- ↑ 14,0 et 14,1 Voir le paragraphe « composante de Frenet du vecteur déplacement élémentaire à partir d'un point d'une courbe continue » du chapitre
de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
- ↑ Ayant déterminé
en fonction de
, puis
en fonction de
, on en déduit
en fonction de
- ↑ 16,0 et 16,1 Voir le paragraphe « notion de cercle osculateur en un point d'une courbe plane, de centre et de rayon de courbure en ce point, 1re définition du rayon de courbure d'une courbe plane en un point non anguleux de celle-ci » du chapitre
de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
- ↑ En effet
.
- ↑ De
on tire
et par suite
effectivement
, le rayon de courbure étant nul en
et en son symétrique relativement à
.
- ↑ 19,0 et 19,1 Voir le paragraphe « composantes locales de Frenet du vecteur accélération du point repéré sur sa trajectoire dans le référentiel d'étude, accélérations tangentielle et normale du point » du chapitre
de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
- ↑ Conditions Initiales.
- ↑ En effet, en
,
et donc
.
- ↑ On rappelle que la vitesse instantanée
, composante de Frenet du vecteur vitesse (composante évidemment tangentielle)
est liée à l'abscisse curviligne du point à l'instant
par
[voir le paragraphe « composante locale de Frenet du vecteur vitesse du point repéré sur sa trajectoire dans le référentiel d'étude, vitesse instantanée du point » du chapitre
de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »].
- ↑ Voir le paragraphe « définition d'isochronisme d'un oscillateur » du chapitre
de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
- ↑ Dans un 1er temps, la projection fait apparaître
et
(laquelle s'exprime en fonction de
, il faut donc connaître la variation de
en fonction de
et pour cela on dispose de
d'une part et de
d'autre part d'où on tire
- ↑
, son cosinus est positif ou non alors que
est alternativement positif et négatif …
- ↑ Cette forme de la composante normale de la réaction établit que
est
c'est-à-dire que le vecteur réaction est toujours dans le sens de
, ce qui permet d'affirmer que la liaison bilatérale avait été unilatérale, il n'y aurait eu aucune modification, en particulier il n'y aurait pas eu de rupture de liaison …
- ↑ Évidemment
dans la mesure où
.