Mécanique 1 (PCSI)/Exercices/Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple

Pendule conique

Schéma de description d'un pendule conique OA tournant autour d'un axe vertical (Δ) à vitesse angulaire ω constante

......Une tige rigide $\;OA$, de masse négligeable, de longueur $\;l\;$ constante, mobile autour d'un point fixe $\;O$, tourne autour d'un axe vertical $\;(\Delta )\;$ passant par $\;O\;$ avec une vitesse angulaire $\;\omega \;$ constante [la vitesse angulaire est comptée positivement dans le sens indiqué sur le schéma, ce sens correspondant à l'orientation de l'axe $\;(\Delta )\;$ par $\;{\vec {u}}_{z}\;$ vertical ascendant].

......À l'extrémité $\;A\;$ de la tige est fixée une boule assimilable à un point matériel $\;M\;$ de masse $\;m$, l'ensemble « tige rigide - boule » étant placé dans le champ de pesanteur terrestre $\;{\vec {g}}\;$ uniforme.

......On désigne par $\;\theta \;$ l'angle $\;{\widehat {\left(-{\vec {u}}_{z}\,,\,{\overrightarrow {OA}}\right)}}\;$ que la tige $\;OA\;$ fait avec l'axe vertical $\;(\Delta )\;$ orienté dans le sens descendant.

Démonstration de l'invariabilité de l'inclinaison de la tige rigide relativement à l'axe vertical de rotation dans la mesure où le mouvement de cette dernière est uniforme

......Montrer que le caractère constant de la vitesse angulaire du « pendule conique » entraîne celui de son inclinaison $\;\theta \;$.

Solution

Schéma de description d'un pendule conique OA tournant autour d'un axe vertical (Δ) à vitesse angulaire ω constante, repérage cylindro-polaire d'axe vertical ascendant de la boule fixée en A et représentation des forces qui lui sont appliquées

......Rappelons, pour commencer, le caractère galiléen du référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ par rapport auquel la vitesse angulaire du pendule est mesurée ;

......choisissant de repérer le point matériel $\;M\;$ assimilant la boule fixée en $\;A\;$ en cylindro-polaire d'axe $\;(\Delta )\;$ orienté par $\;{\vec {u}}_{z}\;$, ses coordonnées cylindro-polaires sont $\;\left\lbrace \rho =l\,\sin(\theta )\,,\,\varphi \,,\,z=-l\,\cos(\theta )\right\rbrace \;$, la base cylindro-polaire associée $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{\rho }\,,\,{\vec {u}}_{\varphi }\,,\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \;$ étant choisie « directe » (voir schéma ci-contre) ;

......bilan des forces appliquées au point $\;M$ (voir ci-contre) :

• son poids $\;m\;{\vec {g}}\;$ vertical descendant soit encore $\;m\;{\vec {g}}=-m\;g\;{\vec {u}}_{z}\;$ et
• le vecteur tension de la tige rigide $\;{\vec {T}}\;$ porté par $\;OA\;$ et de sens contraire à $\;{\overrightarrow {OA}}$, dans le demi-plan méridien $\;\left(A\,,\,{\vec {u}}_{\rho }\,,\,{\vec {u}}_{z}\right)\;$ repéré par $\;\varphi$, soit $\;{\vec {T}}=-T\;\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{\rho }+T\;\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{z}$ ;

......application de la r.f.d.n. au point $\;M$ : $\;\sum \limits _{k}{\vec {F}}_{k}=m\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$ avec $\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$ vecteur accélération du point $\;M\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen, donne ici $\;{\vec {T}}+m\;{\vec {g}}=m\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$ et, comme aucune des forces n'a de composantes sur $\;{\vec {u}}_{\varphi }$, on en déduit $\;a_{M,\,\varphi }(t)=0\;\;\forall \;t$ ;

............application de la r.f.d.n. au point M  : ~or la forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale (applicable dans la mesure où $\;\rho \neq 0{\big )}\;$ étant $\;a_{M,\,\varphi }(t)={\dfrac {1}{\rho (t)}}{\dfrac {d\left[\rho ^{2}\,{\dot {\varphi }}\right]}{dt}}(t)\;$, on déduit donc de l'intégration de $\;a_{M,\,\varphi }(t)=0$, une intégrale 1^re du mouvement du pendule $\;\rho ^{2}(t)\,{\dot {\varphi }}(t)=cste\;$ ou,

............application de la r.f.d.n. au point M  : ~avec $\;{\dot {\varphi }}(t)=\omega \;$ constante, $\;\rho (t)=cste'\;$ c'est-à-dire la nature circulaire du mouvement de $\;M\;$ ou encore,

............application de la r.f.d.n. au point M  : ~avec $\;\rho =l\;\sin(\theta )$, de $\;\rho (t)=cste'\;$ on déduit $\;\theta =cste''\;$ c'est-à-dire la constance de l'angle d'inclinaison de la tige rigide $\;OA\;$ par rapport à la verticale descendante dans la mesure où le mouvement de rotation de $\;OA\;$ autour de la verticale reste à vitesse angulaire constante soit $\;{\dot {\varphi }}=\omega \;$ constante $\Rightarrow$ $\;{\widehat {\left(-{\vec {u}}_{z}\,,\,{\overrightarrow {OA}}\right)}}=\theta \;$ constante .

 

Détermination de la relation entre l'inclinaison du pendule conique par rapport à la verticale du lieu et sa vitesse angulaire de rotation autour de l'axe vertical

......Déterminer la relation liant l'inclinaison $\;\theta \;$ du pendule conique par rapport à la verticale du lieu et sa vitesse angulaire $\;\omega \;$ de rotation autour de l'axe vertical ;

......on précisera la valeur critique $\;\omega _{c}\;$ à partir de laquelle l'inclinaison du pendule conique par rapport à la verticale du lieu est possible c'est-à-dire telle que $\;\theta \;$ peut être $\;\neq 0$.

Solution

......Pour trouver la relation demandée nous allons projeter la r.f.d.n. sur les deux autres vecteurs unitaires non encore utilisés soit :

• sur $\;{\vec {u}}_{\rho }$, $\;-T\;\sin(\theta )+0=m\;a_{M,\,\rho }(t)\;$ avec $\;a_{M,\,\rho }(t)=\left[{\ddot {\rho }}-\rho \,{\dot {\varphi }}^{2}\right]\!(t)\;$ donnant, dans le cas présent où $\;\rho =cste'\;$ ainsi que $\;{\dot {\varphi }}=\omega \;$ constante, $\;T\;\sin(\theta )=m\;\rho \;\omega ^{2}\;$ ou encore, avec $\;\rho =l\;\sin(\theta )$, l'équation suivante $\;T\;\sin(\theta )=m\;l\;\sin(\theta )\;\omega ^{2}\;$ soit finalement $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\sin(\theta )&=&0&\\{\text{ou,}}&{\text{si }}&\sin(\theta )\neq 0&\Downarrow \\T&=&m\;l\;\omega ^{2}&({\mathfrak {1}})\end{array}}\right\rbrace \;$ et
• sur $\;{\vec {u}}_{z}$, $\;T\;\cos(\theta )-m\;g=m\;a_{M,\,z}(t)\;$ avec $\;a_{M,\,z}(t)={\ddot {z}}(t)\;$ donnant, dans le cas présent où $\;z=-l\;\cos(\theta )\;$ avec $\;\theta =cste''\;$ donc $\;z\;$ constante, l'équation suivante $\;T\;\cos(\theta )=m\;g\;\quad ({\mathfrak {2}})$.

......Détermination de la relation cherchée : En supposant la tige rigide effectivement inclinée par rapport à la verticale nous avons $\;\sin(\theta )\neq 0\;$ et par suite les deux équations $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}T&=&m\;l\;\omega ^{2}&({\mathfrak {1}})\\T\;\cos(\theta )&=&m\;g&({\mathfrak {2}})\end{array}}\right\rbrace$, la 1^re imposant le caractère strictement positif de $\;T\;$ et la 2^nde celui de $\;\cos(\theta )\;$ c'est-à-dire imposant $\;\theta \in \left]0\,,\,{\dfrac {\pi }{2}}\right[\;$ d'où, de $\;({\mathfrak {2}})\;$ on tire $\;T={\dfrac {m\;g}{\cos(\theta )}}\;$ alors que $\;({\mathfrak {1}})\;$ s'écrit $\;T=m\;l\;\omega ^{2}$, l'élimination de $\;T\;$ entre les deux donnant finalement la relation cherchée $\;{\dfrac {m\;g}{\cos(\theta )}}=m\;l\;\omega ^{2}\;$ ou encore $\;\cos(\theta )={\dfrac {g}{l\;\omega ^{2}}}$ ;

......Détermination de la relation cherchée : remarque : la relation ci-dessus n'est valide que si son 2^nd membre est strictement inférieur à 1 c'est-à-dire si $\;{\dfrac {g}{l\;\omega ^{2}}}<1\;$ $\Leftrightarrow$ $\;\omega >{\sqrt {\dfrac {g}{l}}}$, cette limite inférieure étant donc la vitesse angulaire critique $\;\omega _{c}\;$ à partir de laquelle la position inclinée du pendule conique (relativement à la verticale) est possible soit $\;\omega _{c}={\sqrt {\dfrac {g}{l}}}$.

......Détermination de la relation cherchée : Si $\;\omega \leqslant \omega _{c}={\sqrt {\dfrac {g}{l}}}$, la solution ci-dessus n'étant pas possible, nous avons nécessairement $\;\sin(\theta )=0\;$ et $\;T={\dfrac {m\;g}{\cos(\theta )}}$, la 1^re équation conduisant à $\;\theta =0\;{\text{ou}}\;\pi \;$ et la 2^nde associée à une solution de la 1^re à $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\text{si}}\;\theta =0,\;\;T=m\;g\\{\text{si}}\;\theta =\pi ,\;\;T=-m\;g\end{array}}\right\rbrace$, ces deux solutions dans le cas où $\;\omega \;$ est $\;\leqslant \omega _{c}\;$ étant admissibles car la force que la tige rigide $\;OA\;$ exerce sur $\;M\;$ fixé en $\;A\;$ peut être dans un sens ou un autre mais dans le cas où la tige rigide serait remplacée par un fil idéal, seule la solution $\;\theta =0\;$ resterait possible comme seul mouvement satisfaisant au caractère tendu du fil à savoir $\;T>0$.

 

Pendule cycloïdal, traitement par utilisation de la relation fondamentale de la dynamique newtonienne (r.f.d.n.)

Schéma d'un pendule cycloïdal (cycloïde droite inversée ) avec représentation de la base locale de Frenet

......Un point matériel $\;M\;$ de masse $\;m\;$ est assujetti à se déplacer dans le plan vertical $\;xOy\;$ sur la portion de cycloïde dont les équations paramétriques sont : $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x&=&a\,\left[\theta +\sin(\theta )\right]\\y&=&a\,\left[1-\cos(\theta )\right]\end{array}}\right\rbrace \;$ avec $\;\theta \in \left[-\pi \,,\,\pi \right]\;$ (voir ci-contre).

......À la date $\;t=0$, on lâche $\;M\;$ de $\;A\;$ sans vitesse initiale ; il est soumis au champ de pesanteur $\;{\vec {g}}\;$ uniforme et se déplace en liaison bilatérale sans frottement sur la portion de cycloïde.

Expression de l'angle d'inclinaison avec l'axe Ox du vecteur unitaire tangentiel de Frenet au point M

......Déterminer l'expression de $\;\varphi ={\widehat {\left({\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {\tau }}\right)}}\;$ en fonction de $\;\theta \;$ [il s'agit d'une question de géométrie voire de cinématique (si on fait intervenir le temps mais nous ne ferons pas) indépendante des forces appliquées, on rappelle la méthode : déterminer

• les composantes cartésiennes du vecteur déplacement élémentaire $\;{\overrightarrow {dM}}\;$ en fonction de $\;d\theta \;$ puis
• la valeur absolue de la variation élémentaire de l'abscisse curviligne $\;\vert ds\vert =\Vert {\overrightarrow {dM}}\Vert \;$ suivi de $\;ds\;$ après choix de l'orientation de la courbe et enfin
• le vecteur unitaire tangentiel de Frenet au point $\;M\;$ défini par $\;{\vec {\tau }}={\dfrac {\overrightarrow {dM}}{ds}}\;$ en fonction de $\;\theta \;$ dont on peut tirer
• $\;\cos(\varphi )={\vec {\tau }}\!\cdot {\vec {u}}_{x}\;$ en fonction de $\;\theta \;\ldots {\big ]}$.

Solution

Schéma d'un pendule cycloïdal (cycloïde droite inversée ) avec représentation de la base locale de Frenet (en rouge) et des forces appliquées (en bleu)

......À partir des équations cartésiennes paramétriques de la portion de cycloïde $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x&=&a\,\left[\theta +\sin(\theta )\right]\\y&=&a\,\left[1-\cos(\theta )\right]\end{array}}\right\rbrace \;$ (voir schéma ci-contre), on détermine le vecteur déplacement élémentaire par différenciation de $\;{\overrightarrow {OM}}=x(\theta )\;{\vec {u}}_{x}+y(\theta )\;{\vec {u}}_{y}\;$ soit $\;{\overrightarrow {dM}}=dx\;{\vec {u}}_{x}+dy\;{\vec {u}}_{y}\;$ avec $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}dx&=&a\,\left[1+\cos(\theta )\right]\,d\theta \\dy&=&a\,\left[0+\sin(\theta )\right]\,d\theta \end{array}}\right\rbrace \;$ d'où $\;{\overrightarrow {dM}}=a\,\left[1+\cos(\theta )\right]\,d\theta \;{\vec {u}}_{x}+a\;\sin(\theta )\;d\theta \;{\vec {u}}_{y}$ ;

......pour déterminer la valeur absolue de la variation élémentaire de l'abscisse curviligne $\;s\;$ repérant le point $\;M$, l'origine du repérage ayant été choisie en $\;O\;$, on utilise l'expression du vecteur déplacement élémentaire dans la base locale de Frenet $\;{\overrightarrow {dM}}=ds\;{\vec {\tau }}\;$ dont on tire $\;\vert ds\vert =\Vert {\overrightarrow {dM}}\Vert ={\sqrt {\left\lbrace a\,\left[1+\cos(\theta )\right]\,d\theta \right\rbrace ^{2}+\left\lbrace a\;\sin(\theta )\;d\theta \right\rbrace ^{2}}}=a\;\vert d\theta \vert \;{\sqrt {1+2\;\cos(\theta )+\cos ^{2}(\theta )+\sin ^{2}(\theta )}}\;$ soit, après simplification évidente $\;\vert ds\vert =a\;{\sqrt {2}}\;\vert d\theta \vert \;{\sqrt {1+\cos(\theta )}}\;$ ou, en utilisant la formule de trigonométrie $\;\cos(2\;\xi )=2\;\cos ^{2}(\xi )-1\;$ $\Rightarrow$ $\;1+\cos(2\;\xi )=2\;\cos ^{2}(\xi )$, l'expression suivante $\;\vert ds\vert =2\;a\;\vert d\theta \vert \;{\Bigg \vert }\cos \!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)\!{\Bigg \vert }$ ;

......de $\;\theta \in \left[-\pi \,,\,\pi \right]$, on tire $\;{\dfrac {\theta }{2}}\in \left[-{\dfrac {\pi }{2}}\,,\,{\dfrac {\pi }{2}}\right]\;$ et par suite $\;\cos \!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)\geqslant 0$, aussi, orientant la portion de cycloïde dans le sens croisant de θ, on en déduit $\;ds=2\;a\;\cos \!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)\,d\theta$ ; ......de $\;{\overrightarrow {dM}}=ds\;{\vec {\tau }}\;$ on en tire $\;{\vec {\tau }}={\dfrac {\overrightarrow {dM}}{ds}}={\dfrac {a\,\left[1+\cos(\theta )\right]\,d\theta \;{\vec {u}}_{x}+a\;\sin(\theta )\;d\theta \;{\vec {u}}_{y}}{2\;a\;\cos \!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)\,d\theta }}\;$ ou, avec $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}1+\cos(\theta )=2\;\cos ^{2}\!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)\\\sin(\theta )=2\;\sin \!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)\cos \!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)\end{array}}\right\rbrace$, la simplification suivante $\;{\vec {\tau }}=\cos \!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right){\vec {u}}_{x}+\sin \!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right){\vec {u}}_{y}$ ; ......finalement la définition de l'angle $\;\varphi ={\widehat {\left({\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {\tau }}\right)}}\;$ nous conduit au lien de cet angle $\;\varphi \;$ (ayant une signification directe sur la portion de cycloïde) avec le paramètre $\;\theta \;$ (sans signification directe sur la portion de cycloïde ) soit $\;\varphi ={\dfrac {\theta }{2}}$.

 

Expression, en fonction de l'angle d'inclinaison avec l'axe Ox du vecteur unitaire tangentiel de Frenet au point M, de l'abscisse curviligne du point sur la portion de cycloïde, puis du rayon de courbure de cette dernière au même point

......Déduire, de la question précédente, l'abscisse curviligne $\;s={\overset {\curvearrowright }{OM}}\;$ du point $\;M\;$ sur la portion de cycloïde en fonction de $\;\varphi \;$ angle d'inclinaison avec l'axe $\;Ox\;$ du vecteur unitaire tangentiel de Frenet $\;{\vec {\tau }}\;$ au même point $\;M\;$ puis,

......Déduire, de la question précédente, le rayon de courbure $\;{\mathcal {R}}\;$ de la portion de cycloïde au point $\;M\;$ en fonction de $\;\varphi \;$ ${\bigg [}$on rappelle une définition équivalente du rayon de courbure pour une courbe plane «$\;{\mathcal {R}}={\dfrac {ds}{d\varphi }}\;$» ${\bigg ]}$.

Solution

......Pour déterminer l'abscisse curviligne $\;s={\overset {\curvearrowright }{OM}}\;$ du point $\;M\;$ sur la portion de cycloïde, il suffit d'intégrer $\;ds=2\;a\;\cos \!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)\,d\theta =4\;a\;\cos \!\left(\varphi \right)\,d\varphi \;$ entre 0 et $\;\varphi \;$ soit $\;s=\displaystyle \int _{0}^{\varphi }4\;a\;\cos \!\left(\varphi '\right)\,d\varphi '\;$ donnant finalement $\;s=4\;a\;\sin \!\left(\varphi \right)$ ; ......de $\;ds=4\;a\;\cos \!\left(\varphi \right)\,d\varphi$, on en déduit le rayon de courbure au point $\;M\;$ de la portion de cycloïde par «$\;{\mathcal {R}}={\dfrac {ds}{d\varphi }}\;$» soit finalement $\;{\mathcal {R}}=4\;a\;\cos \!\left(\varphi \right)\;$.

 

Détermination de la nature oscillatoire du mouvement de M sur la portion de cycloïde déterminée par r.f.d.n. et expression de sa période d'oscillations

......En repérant le point $\;M\;$ par son abscisse curviligne $\;s\;$ et en appliquant la r.f.d.n. à $\;M\;$ dans le référentiel terrestre supposé galiléen dans lequel la courbe est fixe, trouver, par projection sur $\;{\vec {\tau }}\;$ vecteur unitaire tangentiel de Frenet lié à $\;M$ :

• l'équation différentielle du 2^ème ordre en $\;s(t)\;$ du mouvement de $\;M$, puis
• la nature de ce mouvement par résolution de l'équation différentielle précédente et enfin,
• l'expression de la période $\;T\;$ de ce mouvement.

Solution

......Les forces appliquées au point $\;M\;$ glissant sans frottement sur la portion de cycloïde étant :

• son poids $\;m\;{\vec {g}}=-m\;g\;{\vec {u}}_{y}=-m\;g\;\sin(\varphi )\;{\vec {\tau }}-m\;g\;\cos(\varphi )\;{\vec {n}}\;$ en utilisant la base locale de Frenet dans laquelle $\;{\vec {u}}_{y}=\sin(\varphi )\;{\vec {\tau }}+\cos(\varphi )\;{\vec {n}}\;$ (selon le schéma du début de texte ou celui de la solution de la 1^re question) et
• la réaction de la portion de cycloïde $\;{\vec {R}}\perp \;$ à $\;{\vec {\tau }}\;$ par absence de frottement soit $\;{\vec {R}}=R\;{\vec {n}}$, $\;R(t)\;$ pouvant être a priori de positif, nul ou négatif compte-tenu de la liaison bilatérale,

......l'application de la r.f.d.n. à $\;M\;$ dans le référentiel terrestre $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ supposé galiléen dans lequel la courbe est fixe, nous conduit à $\;m\;{\vec {g}}+{\vec {R}}(t)=m\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$ dans laquelle
$\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$ est le vecteur accélération de $\;M\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ défini à l'instant $\;t$ ; ......projetant la relation ci-dessus sur $\;{\vec {\tau }}\;$ le vecteur unitaire tangentiel de Frenet lié à $\;M$, et sachant que la composante de $\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$ sur ce vecteur définit l'accélération tangentielle de $\;M\;$ sur sa trajectoire $\;{\vec {a}}_{M}\cdot {\vec {\tau }}=a_{\tau ,\,M}$, laquelle est liée à l'abscisse curviligne du point à l'instant $\;t\;$ par $\;a_{\tau ,\,M}(t)={\ddot {s}}(t)\;$, on obtient $\;-m\;g\;\sin \!\left[\varphi (t)\right]=m\;{\ddot {s}}(t)\;$ soit, en éliminant $\;\varphi (t)\;$ au profit de $\;s(t)\;$ par $\;s=4\;a\;\sin \!\left(\varphi \right)\;$ et par suite $\;\sin \!\left[\varphi (t)\right]={\dfrac {s(t)}{4\;a}}$, on obtient l'équation différentielle en $\;s(t)\;$ cherchée soit $\;-m\;g\;{\dfrac {s(t)}{4\;a}}=m\;{\ddot {s}}(t)\;$ ou, en simplifiant $\;{\ddot {s}}(t)+{\dfrac {g}{4\;a}}\;s(t)=0\;$ c'est-à-dire
une équation différentielle linéaire homogène du 2^ème ordre à cœfficients constants sans terme du 1^er ordre. ......On reconnaît l'équation différentielle d'un oscillateur harmonique non amorti de pulsation propre $\;\omega _{0}={\sqrt {\dfrac {g}{4\,a}}}\;$ d'où la forme de l'équation horaire en $\;s(t)\;$ suivante $\;s(t)=$ $c\;\cos(\omega _{0}\,t)+d\;\sin(\omega _{0}\,t)\;$ avec $\;c\;$ et $\;d\;$ constantes d'intégration à déterminer par C.I. «$\;M\;$ lâché de $\;A\;$ sans vitesse initiale » soit $\;s(0)=4\;a\;$ et $\;{\dot {s}}(0)=0\;$ dont on tire $\;c=4\;a\;$ d'une part et, avec $\;{\dot {s}}(t)=-c\;\omega _{0}\;\sin(\omega _{0}\,t)+d\;\omega _{0}\;\cos(\omega _{0}\,t)$, $\;d=0\;$ d'autre part soit finalement $\;s(t)=4\;a\;\cos(\omega _{0}\,t)$.

......On en déduit la période $\;T\;$ du pendule cycloïdal identique à la période propre de l'oscillateur harmonique non amorti qu'il définit soit $\;T=T_{0}={\dfrac {2\;\pi }{\omega _{0}}}=4\;\pi \;{\sqrt {\dfrac {a}{g}}}$ ;

......remarque : la période d'un oscillateur harmonique non amorti étant indépendante de l'amplitude d'oscillations, il en est de même de celle du pendule cycloïdal défini ici, c'est-à-dire que l'on peut affirmer l'isochronisme des oscillations d'un pendule cycloïdal.

 

Expression de la réaction de la cycloïde sur le point M

......Trouver, par projection sur $\;{\vec {n}}\;$ vecteur unitaire normal principal de Frenet lié à $\;M$, de la r.f.d.n. appliquée à $\;M$, la réaction $\;{\vec {R}}\;$ de la cycloïde agissant sur $\;M\;$ [on l'exprimera en fonction de $\;t\;$ puis de $\;\varphi \;$].

Solution

......On détermine la réaction $\;{\vec {R}}\;$ de la portion de cycloïde sur $\;M\;$ en projetant la r.f.d.n. appliquée à $\;M\;$ sur le vecteur unitaire normal principal de Frenet $\;{\vec {n}}\;$ soit : $\;R-m\;g\;cos\!\left[\varphi (t)\right]=m\;a_{n,\,M}(t)\;$
dans laquelle $\;a_{n,\,M}\;$ est l'accélération normale de $\;M\;$ sur sa trajectoire soit $\;{\vec {a}}_{M}\cdot {\vec {n}}=a_{n,\,M}$,
laquelle est liée à la vitesse instantanée $\;v_{M}(t)={\dot {s}}(t)\;$ du point à l'instant $\;t\;$ par $\;a_{n,\,M}(t)={\dfrac {v_{M}^{2}(t)}{{\mathcal {R}}(t)}}\;$,
$\;{\mathcal {R}}(t)=4\;a\;\cos \!\left[\varphi (t)\right]\;$ étant le rayon de courbure de la portion de cycloïde en la position de $\;M\;$ à l'instant $\;t$ ;

......de la projection de la r.f.d.n. sur $\;{\vec {n}}\;$ on en tire $\;R=m\left\lbrace g\;cos\!\left[\varphi (t)\right]+{\dfrac {v_{M}^{2}(t)}{4\;a\;\cos \!\left[\varphi (t)\right]}}\right\rbrace \;$ ou,

......avec $\;v_{M}(t)={\dot {s}}(t)=-4\;a\;\omega _{0}\;\sin(\omega _{0}\,t)\;$ d'une part et

......avec les lois horaires $\;\cos(\varphi )=\cos \!\left[\varphi (t)\right]\;$ et $\;\sin(\varphi )=\sin \!\left[\varphi (t)\right]\;$ d'autre part, lois que l'on détermine en identifiant $\;s(t)=4\;a\;\cos(\omega _{0}\,t)\;$ avec $\;s(\varphi )=4\;a\;\sin(\varphi )\;$ soit $\;\sin(\varphi )=\cos(\omega _{0}\,t)\;$ et $\;\cos(\varphi )={\sqrt {1-\sin ^{2}(\varphi )}}={\sqrt {1-\cos ^{2}(\omega _{0}\,t)}}=\vert \sin(\omega _{0}\,t)\vert \;$,

......la réécriture de la composante normale de la réaction en fonction du temps $\;R=m\left\lbrace g\;\vert \sin(\omega _{0}\,t)\vert +{\dfrac {16\;a^{2}\;\omega _{0}^{2}\;\sin ^{2}(\omega _{0}\,t)}{4\;a\;\vert \sin(\omega _{0}\,t)\vert }}\right\rbrace \;$ soit encore, avec $\;\omega _{0}^{2}={\dfrac {g}{4\;a}}\;$ et après une simplification évidente, $\;R=2\;m\;g\;\vert \sin(\omega _{0}\,t)\vert \;$ ou encore
$\;R=\left\lbrace {\begin{array}{l}2\;m\;g\;\sin(\omega _{0}\,t)&{\text{si }}&t\in \left[k\;T\,,\,\left(k+{\dfrac {1}{2}}\right)T\right]\\-2\;m\;g\;\sin(\omega _{0}\,t)&{\text{si }}&t\in \left[\left(k+{\dfrac {1}{2}}\right)T\,,\,\left(k+1\right)T\right]\end{array}}\right\rbrace \;$ avec $\;k\in \mathbb {N}$ ; ......l'expression, en fonction de $\;\varphi$, de la composante normale $\;R\;$ de la réaction de la portion de cycloïde sur $\;M\;$ s'obtient aisément en remplaçant $\;\vert \sin(\omega _{0}\,t)\vert \;$ par $\;\cos(\varphi )\;$ soit $\;R=2\;m\;g\;\cos(\varphi )\;$.