Espace vectoriel/Familles de vecteurs
Soient :
- et deux -espaces vectoriels ;
- une famille d'éléments de .
Familles de vecteurs
[modifier | modifier le wikicode]La famille est dite génératrice de si
- .
Cela équivaut à dire que tout vecteur de s'exprime (pas forcément de façon unique) comme combinaison linéaire de la famille :
- .
- On dit que la famille est libre, ou que les vecteurs sont linéairement indépendants, s'il n'existe pas de relation linéaire dans .
Cela équivaut à dire que :
. |
- Une famille qui n'est pas libre est dite liée. Elle est donc liée s'il existe une relation linéaire non triviale dans , c'est-à-dire :
. |
- Une famille n'ayant qu'un vecteur est libre si et seulement si ce vecteur est non nul.
- Toute sous-famille d'une famille libre est libre.
- Toute sur-famille d'une famille liée est liée.
- Toute sur-famille d'une famille génératrice de est génératrice de .
- Soit une famille à un seul élément. Par définition, elle est libre si . Donc :
- si , alors (cf. propriété du chapitre précédent) et donc est libre ;
- si , alors , or , donc la famille est liée.
- Soient libre et . Toute famille telle que se complète par des zéros en une famille telle que . Tous les pour sont alors nuls, en particulier les pour .
- Contraposée du point précédent.
- Soit . Alors, donc si alors .
Base d'un espace vectoriel
[modifier | modifier le wikicode]Définition
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est une base de si et seulement si tout vecteur de admet une unique décomposition suivant les :
. |
Dans ce cas, est alors appelée la famille des coordonnées de dans la base .
Si est une base de , alors les existent car est génératrice de . Reste à montrer leur unicité.
Pour cela, on considère deux familles et de scalaires vérifiant . Cela implique donc que :
.
Mais est une base de et est donc libre : ainsi, puisque est une relation linéaire dans , tous ses coefficients sont nuls, ce qui montre l'unicité de la décomposition de .
Si tout vecteur de admet une unique décomposition suivant les , alors il est clair que est génératrice de . Comme le vecteur nul se décompose lui aussi uniquement suivant les , et comme est une décomposition de , on en déduit que c’est la seule. Autrement dit, la seule relation linéaire dans est la relation triviale, ce qui prouve la liberté de : est libre et génératrice de , donc c’est une base de .
Base canonique
[modifier | modifier le wikicode]Souvent, un espace vectoriel est muni d'une base privilégiée, appelée base canonique. Cette expression n'a pas de sens mathématique. Elle désigne seulement la base qui paraît « la plus naturelle » pour travailler dans l'espace vectoriel étudié.
- La base canonique de en tant que -espace vectoriel est . Ceci est assuré par l’existence et l'unicité des parties réelle et imaginaire de tout complexe.
- La base canonique du -espace vectoriel est la famille définie par :
- .
- La base canonique du -espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à 2 à une indéterminée à coefficients dans est la famille .
Changement de bases
[modifier | modifier le wikicode]Un vecteur est une entité géométrique. Il ne dépend pas du formalisme utilisé pour son étude, en particulier de la base dans laquelle on choisit d'exprimer ses coordonnées. Le choix de deux bases différentes conduira à deux systèmes de coordonnées différents pour décrire le même objet.
C'est un peu comme si on étudiait une poutre dans un quadrillage d'unité 1 cm et dans un quadrillage d'unité 5,27 dm. Les expressions des propriétés de la poutre (longueur, largeur...) seront différentes dans les deux repères, mais décriront bien le même objet.
On rappelle que . On considère en tant que -espace vectoriel.
- On note la base canonique de
- On note . est une autre base de .
Soit .
- Dans la base e, z a pour coordonnées
- Dans la base f, z a pour coordonnées .
- En effet, donc .