Leçons de niveau 16

Topologie générale/Exercices/Espaces topologiques

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Espaces topologiques
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Exercices no2
Leçon : Topologie générale
Chapitre du cours : Espace topologique, Adhérence, intérieur

Exercices de niveau 16.

Exo préc. :Topologie de R ou C
Exo suiv. :Espaces métriques
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Topologie générale/Exercices/Espaces topologiques
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Exercice 1 : Topologie définie par les voisinages[modifier | modifier le wikicode]

Soient un ensemble et une application

.

1. — Vérifier que si est muni d'une topologie pour laquelle est l'application qui à chaque point de associe l'ensemble des voisinages de , alors possède les cinq propriétés suivantes (pour tout ) :

(i) ,
(ii) ,
(iii) ,
(iv) ,
(v) .

2. — La suite de l'exercice consiste à démontrer la réciproque. On suppose donc que est une application vérifiant ces cinq propriétés, et l'on note l'ensemble des parties de qui vérifient : . Montrer que :

(a) est une topologie sur  ;
(b) pour tout et tout voisinage de pour ,  ;
(c) pour toute partie de , l'ensemble
appartient à  ;
(d) pour tout et tout , est un voisinage de pour .

Exercice 2 : Mesurabilité des convexes[modifier | modifier le wikicode]

Soit un convexe dont l'enveloppe affine (le plus petit sous-espace affine contenant ) est tout entier.

Wikipédia possède un article à propos de « Adhérence, intérieur et frontière d'un convexe ».
  1. Montrer que le convexe (l'intérieur de ) est non vide.
  2. Pour simplifier les notations, on suppose désormais que . Montrer qu'alors, .
  3. En déduire que pour tout réel , l'adhérence est incluse dans l'ouvert .
  4. En déduire que si est borné alors sa frontière est Lebesgue-négligeable, puis étendre ce résultat au cas non borné. En déduire que est Lebesgue-mesurable.
  5. Montrer que si est de volume fini alors est borné.
  6. Montrer qu'il existe, dans , des convexes non boréliens.

Exercice 3 : Théorème « 14 » de Kuratowski[modifier | modifier le wikicode]

Wikipédia possède un article à propos de « Théorème de fermeture/complémentaire de Kuratowski ».

Pour toute partie S d'un espace topologique X, notons kS l'adhérence de S et cS le complémentaire de S. On utilisera des notations allégées, sans signes ∘ ni parenthèses, pour les diverses composées de k et c, appliquées à S.

  1. Montrer que ckcSS.
  2. En déduire que kckckck = kck.
  3. En déduire que parmi toutes les applications de 𝒫(X) dans 𝒫(X) obtenues à partir de 1 (l'identité) par compositions répétées par k ou c (qui pourraient a priori former un ensemble dénombrable) en fait au plus 14 (que l'on explicitera) sont distinctes.
  4. Pour X = ℝ muni de sa topologie usuelle, montrer que ces 14 composées sont effectivement distinctes (considérer la partie ]0, 1[ ∪ ]1, 2[ ∪ {3} ∪ (ℚ ∩ ]4, 5[)).
  5. Existe-t-il des espaces X pour lesquels seules deux de ces composées sont distinctes ?
  6. Existe-t-il des espaces X pour lesquels toutes ces composées sont égales ?

Exercice 4[modifier | modifier le wikicode]

Soient un espace métrique, et pour tout , . On considère .

  1. Montrer que est une topologie sur .
  2. Cette topologie est-elle séparée ?
  3. Vérifier que toute partie contenant est dense dans .

Exercice 5[modifier | modifier le wikicode]

Soient continue et son graphe ( est muni de la topologie produit).

Montrer que (muni de la topologie induite) est homéomorphe à .

Exercice 6[modifier | modifier le wikicode]

Soient une famille d'espaces topologiques et l'espace produit associé.

  1. Soit . Montrer que l'application est continue.
  2. Supposons que chaque est séparé. Montrer que l'est également.
  3. Supposons que et que chaque est séparable. Montrer que l'est également.

Exercice 7 : séparabilité et cardinaux[modifier | modifier le wikicode]

  1. Soient un espace séparé et à bases dénombrables de voisinages et une partie dense dans .
    1. Montrer (en signalant où chaque hypothèse est utilisée) que le cardinal de est inférieur ou égal au cardinal de l'ensemble des suites à valeurs dans .
    2. En déduire que si est de plus séparable, son cardinal est inférieur ou égal au cardinal de .
  2. Pour tout , notons l'ensemble des entiers de à , l'ensemble de ses parties et l'ensemble des applications de dans . Montrer que l'ensemble est dénombrable.
  3. Soit une famille d'espaces séparables non vides indexée par , et muni de la topologie produit. On va montrer que est séparable.
    On fixe dans chaque une partie dense .
    On considère l'ensemble dénombrable de la question 2. À chaque application , définie sur pour un certain , on associe le point de . On note l'ensemble de tous ces .
    1. Montrer que tout ouvert élémentaire non vide rencontre .
      (Indication : en notant les pour lesquels l'ouvert n'est pas tout entier, montrer qu'il existe tels que , puis fixer un entier suffisamment grand pour que les parties finies soient distinctes et choisir un convenable.)
    2. En déduire que est séparable.
  4. En utilisant les questions 1 et 3, construire au moins un espace séparé, séparable et non métrisable (c'est-à-dire dont la topologie ne peut pas être définie à partir d'une distance).

Exercice 8[modifier | modifier le wikicode]

Dans cet exercice, désigne la boule fermée de rayon de , centrée à l'origine. On considère l'espace produit

.
  1. Soient deux entiers. On note la projection sur définie par

    Vérifier que est continue.
  2. On considère le sous-ensemble de  :
    .
    Montrer que c'est une partie fermée de (on pourra écrire comme une intersection de fermés).
  3. Soit . Déterminer la suite .
  4. En déduire qu'il existe une injection continue .
  5. À quoi est homéomorphe le complémentaire  ?