Leçons de niveau 16

Topologie générale/Exercices/Espaces topologiques

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Espaces topologiques
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Exercices no2
Leçon : Topologie générale
Chapitre du cours : Espace topologique, Adhérence, intérieur

Exercices de niveau 16.

Exo préc. :Topologie de R ou C
Exo suiv. :Espaces métriques
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Topologie générale/Exercices/Espaces topologiques
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Exercice 1 : Topologie définie par les voisinages[modifier | modifier le wikicode]

Soient un ensemble et une application

.

1. — Vérifier que si est muni d'une topologie pour laquelle est l'application qui à chaque point de associe l'ensemble des voisinages de , alors possède les cinq propriétés suivantes (pour tout ) :

(i) ,
(ii) ,
(iii) ,
(iv) ,
(v) .

2. — La suite de l'exercice consiste à démontrer la réciproque. On suppose donc que est une application vérifiant ces cinq propriétés, et l'on note l'ensemble des parties de qui vérifient : . Montrer que :

(a) est une topologie sur  ;
(b) pour tout et tout voisinage de pour ,  ;
(c) pour toute partie de , l'ensemble
appartient à  ;
(d) pour tout et tout , est un voisinage de pour .

Exercice 2 : Mesurabilité des convexes[modifier | modifier le wikicode]

Soit un convexe dont l'enveloppe affine (le plus petit sous-espace affine contenant ) est tout entier.

Wikipédia possède un article à propos de « Adhérence, intérieur et frontière d'un convexe ».
  1. Montrer que le convexe (l'intérieur de ) est non vide.
  2. Pour simplifier les notations, on suppose désormais que . Montrer qu'alors, .
  3. En déduire que pour tout réel , l'adhérence est incluse dans l'ouvert .
  4. En déduire que si est borné alors sa frontière est Lebesgue-négligeable, puis étendre ce résultat au cas non borné. En déduire que est Lebesgue-mesurable.
  5. Montrer que si est de volume fini alors est borné.
  6. Montrer qu'il existe, dans , des convexes non boréliens.

Exercice 3 : Théorème « 14 » de Kuratowski[modifier | modifier le wikicode]

Wikipédia possède un article à propos de « Théorème de fermeture/complémentaire de Kuratowski ».

Pour toute partie S d'un espace topologique X, notons kS l'adhérence de S et cS le complémentaire de S. On utilisera des notations allégées, sans signes ∘ ni parenthèses, pour les diverses composées de k et c, appliquées à S.

  1. Montrer que ckcSS.
  2. En déduire que kckckck = kck.
  3. En déduire que parmi toutes les applications de 𝒫(X) dans 𝒫(X) obtenues à partir de 1 (l'identité) par compositions répétées par k ou c (qui pourraient a priori former un ensemble dénombrable) en fait au plus 14 (que l'on explicitera) sont distinctes.
  4. Pour X = ℝ muni de sa topologie usuelle, montrer que ces 14 composées sont effectivement distinctes (considérer la partie ]0, 1[ ∪ ]1, 2[ ∪ {3} ∪ (ℚ ∩ ]4, 5[)).
  5. Existe-t-il des espaces X pour lesquels seules deux de ces composées sont distinctes ?
  6. Existe-t-il des espaces X pour lesquels toutes ces composées sont égales ?