Leçons de niveau 16

Topologie générale/Exercices/Espaces topologiques

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Espaces topologiques
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Exercices no2
Leçon : Topologie générale
Chapitre du cours : Espace topologique

Ces exercices sont de niveau 16.

Exo préc. :Topologie de R ou C
Exo suiv. :Espaces métriques
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Topologie générale/Exercices/Espaces topologiques
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Exercice 1 : Topologie définie par les voisinages[modifier | modifier le wikicode]

Soient un ensemble et une application

.

1. — Vérifier que si est muni d'une topologie pour laquelle est l'application qui à chaque point de associe l'ensemble des voisinages de , alors possède les cinq propriétés suivantes (pour tout ) :

(i) ,
(ii) ,
(iii) ,
(iv) ,
(v) .

2. — La suite de l'exercice consiste à démontrer la réciproque. On suppose donc que est une application vérifiant ces cinq propriétés, et l'on note l'ensemble des parties de qui vérifient : . Montrer que :

(a) est une topologie sur  ;
(b) pour tout et tout voisinage de pour ,  ;
(c) pour toute partie de , l'ensemble
appartient à  ;
(d) pour tout et tout , est un voisinage de pour .

Exercice 2 : Mesurabilité des convexes[modifier | modifier le wikicode]

Soit un convexe dont l'enveloppe affine (le plus petit sous-espace affine contenant ) est tout entier.

Wikipédia possède un article à propos de « Adhérence, intérieur et frontière d'un convexe ».
  1. Montrer que le convexe (l'intérieur de ) est non vide.
  2. Pour simplifier les notations, on suppose désormais que . Montrer qu'alors, .
  3. En déduire que pour tout réel , l'adhérence est incluse dans l'ouvert .
  4. En déduire que si est borné alors sa frontière est Lebesgue-négligeable, puis étendre ce résultat au cas non borné. En déduire que est Lebesgue-mesurable.
  5. Montrer que si est de volume fini alors est borné.
  6. Montrer qu'il existe, dans , des convexes non boréliens.