En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Annexe : Démonstration que la somme infinie de tous les inverses des k! est égale à e
Fonction exponentielle/Annexe/Démonstration que la somme infinie de tous les inverses des k! est égale à e », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Le nombre e est appelé nombre d'Euler (constante de Neper). C'est la valeur en 1 de la fonction exponentielle : e = exp(1).
On cherche à démontrer que
et plus généralement, que pour tout réel
,
, en utilisant quelques propriétés de la fonction exponentielle :
Cette démonstration peut se faire avec des outils mathématiques du niveau de Terminale scientifique.
On se place dans le cas
, pour alléger l'écriture mais englober le cas particulier
(la preuve dans le cas
serait analogue).
Rappelons tout d’abord que par convention,
et pour tout réel
,
.
On pose, pour tout réel
et tout entier naturel
:
(donc
et
)
puis
.
Alors,
et pour tout entier
,
donc :
Or (par un théorème de comparaison),
donc
ce qu’il fallait démontrer.
Début d'un lemme
Fin du lemme
Démonstration
Soit
. La minoration de l'expression ci-dessus par 0 étant immédiate, il suffit de montrer la majoration de cette même expression par 1 . Le résultat de l'expression ci-dessus est compris (encadré) entre 0 et 1, respectivement pour
et
.
La valeur minimale de
est 1.
Voici quatre preuves. Les trois premières utilisent la limite de la suite
quand
tend vers
:
. La dernière, plus rapide, exploite l'inégalité de la section précédente, qui a permis de démontrer cette convergence.
- Soit
une suite réelle positive telle que :
.
- (Par exemple :
, ou encore :
, qui correspond aux deux suites adjacentes classiques convergeant vers e.)
- Alors,
car pour tout
,
, par télescopage.
- On a
(le même majorant qu'en choisissant
dans la première preuve) car pour tout
,
,
- où la dernière inégalité vient du calcul d'une somme de termes consécutifs d'une suite géométrique.
- (Inspiré de A. R. G. MacDivitt et Yukio Yanagisawa, « An elementary proof that e is irrational », The Mathematical Gazette, vol. 71, no 457, 1987) :
- On a
(le même majorant qu'en choisissant
dans la première preuve) car pour tout
,
![{\displaystyle {\begin{aligned}(n+1)!\,(u_{m}-u_{n})&=\sum _{k=n+1}^{m}{\frac {(n+1)!}{k!}}\\&\leq 1+{\frac {1}{n+2}}+\sum _{k=n+3}^{m}{\frac {n!}{(k-1)!}}\\&=1+{\frac {1}{n+2}}-{\frac {1}{n+1}}+\sum _{k=n+2}^{m}{\frac {n!}{(k-1)!}}\\&=1-{\frac {1}{(n+1)(n+2)}}+n!\,(u_{m-1}-u_{n}).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4bae1883a45a0aba29531d7c1b4bfc6a592a317)
-
- La majoration pour
, équivalente à
, se déduit par exemple, de :
.
- L'inégalité de la section précédente fournit alors, pour
, une majoration grossière mais suffisante :
![{\displaystyle n!\,(\mathrm {e} -u_{n})\leq {\frac {\mathrm {e} }{n+1}}\leq {\frac {\mathrm {e} }{3}}<1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e762fa7508a17bce33498378c8929e91f7bb5bf2)
Remarquons que
est entier, donc le lemme signifie que :
- cet entier est la partie entière de
;
- le réel
n'est pas entier.
Corollaire
Le nombre
est irrationnel.
On peut même démontrer de façon élémentaire que
n'est pas algébrique de degré ≤ 2 : Intégration en mathématiques/Devoir/e est-il un rationnel ?.
En fait,
est même transcendant, mais cela ne sera démontré qu'au niveau 16 : Introduction à la théorie des nombres/Annexe/Démonstration de la transcendance de e et pi.