Leçons de niveau 13

Intégration en mathématiques/Devoir/e est-il un rationnel ?

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e est-il un rationnel ?
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Devoir no2
Leçon : Intégration en mathématiques

Devoir de niveau 13.

Dev préc. :Encadrement du nombre e
Dev suiv. :Fonctions définies par une intégrale 1
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Intégration en mathématiques/Devoir/e est-il un rationnel ?
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— Ⅰ —

Dans toute cette partie, désigne un nombre réel.

Pour tout entier naturel , on considère l'intégrale

.

 Calculer .

 En utilisant la formule d'intégration par parties, démontrer que :

.

 Démontrer par récurrence sur la formule :

.


— Ⅱ —

On pose :

 ;
 ;
.

 Pour , on considère .

a)  Démontrer que :
.
b)  Démontrer que :
.
En déduire la limite de quand tend vers l'infini.
c)  Démontrer que le réel est le produit de par un entier.

 En déduire que si , alors il existe une infinité d'entiers tels que .

 a) Déduire des questions précédentes que ne peut être nul que si .

b)  Démontrer que ne peut pas être solution d'une équation de degré 1 ou 2 à coefficients dans .
c)  Le nombre est-il rationnel ?