Fonction exponentielle/Annexe/Restitution organisée de connaissances

Exercice 1

L'exercice proposé ici constitue une ROC ou "Question de cours" ou "démonstration de cours", spécifiquement au programme du bac S.

Les prérequis sont des propositions admises ici, qui doivent servir à démontrer le résultat demandé.

Prérequis

1. exp est une fonction dérivable sur $ℝ$.
2. sa fonction dérivée est $ex{p}^{\prime }(x)=exp(x)$ pour tout x de $ℝ$.
3. $exp(0)=1$

Résultat à démontrer

En utilisant ces trois propriétés de la fonction exp, démontrer successivement la vérité des propositions suivantes :

a) Pour tout réel x, $exp(x)\times exp(-x)=1$.

b) Pour tout réel a et pour tout réel x, $exp(a+x)=exp(a)\times exp(x)$.

Application

c) Pour tout réel x, $exp(x)>0$

d) Pour tout réel x, $exp(x)+exp(-x)\ge 2$.

Exercice 2

Définition

Il existe une unique fonction dérivable de $ℝ$ dans $ℝ$, appelée fonction exponentielle et notée exp, qui vérifie :

• $\exp (0)=1$
• Pour tout $x\in ℝ,{\exp }^{\prime }(x)=\exp (x)$

Autrement dit, l'exponentielle est la seule fonction qui est égale à sa propre dérivée et valant 1 en 0.

Existence : On admet ici l’existence de la fonction exponentielle (qui peut être démontrée en calcul intégral).

Unicité :

• Remarquons tout d’abord que f ne s'annule pas sur $ℝ$.

En effet, la fonction définie par $\varphi (x)=f(x)\times f(-x)$ a pour dérivée :

${\varphi }^{\prime }(x)=\mathrm{..................................................................}$.

donc $\varphi$ est ................ et comme $\varphi (0)=1$,

on en déduit $\varphi (x)=\mathrm{.........}$ pour tout x.

Finalement $f(x)\times f(-x)=\mathrm{..............}$ pour tout x

donc $f(x)$ ne .......................... pas.

• Soit g une autre fonction dérivable sur $ℝ$ telle que :

$g^{\prime }=g$ et $g(0)=1$,

alors $h=\frac{g}{f}$ est définie et dérivable sur $ℝ$ (car f ne s'annule pas).

Alors $h^{\prime }=\mathrm{........................................................................}$

donc h est ............................ sur $ℝ$.

Or $h(0)=\frac{g(0)}{f(0)}=\mathrm{...........................................}$

donc $g=\mathrm{........................................}$.

Exercice 3

En utilisant uniquement les propriétés algébriques de la fonction exponentielle et le fait qu’elle ne s’annule pas sur $ℝ$, démontrer que pour tout x de $ℝ$ :

$e^x>0$.