En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Annexe : Restitution organisée de connaissances
Fonction exponentielle/Annexe/Restitution organisée de connaissances », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
L'exercice proposé ici constitue une ROC ou "Question de cours" ou "démonstration de cours", spécifiquement au programme du bac S.
Les prérequis sont des propositions admises ici, qui doivent servir à démontrer le résultat demandé.
- exp est une fonction dérivable sur
.
- sa fonction dérivée est
pour tout x de
.

En utilisant ces trois propriétés de la fonction exp, démontrer successivement la vérité des propositions suivantes :
a) Pour tout réel x,
.
b) Pour tout réel a et pour tout réel x,
.
c) Pour tout réel x,
d) Pour tout réel x,
.
Définition
Il existe
une unique fonction dérivable de
dans 
, appelée
fonction exponentielle et notée
exp, qui vérifie :

- Pour tout

Autrement dit, l'exponentielle est la
seule fonction qui est égale à sa propre dérivée et valant 1 en 0.
Existence : On admet ici l’existence de la fonction exponentielle (qui peut être démontrée en calcul intégral).
Unicité :
- Remarquons tout d’abord que f ne s'annule pas sur
.
En effet, la fonction définie par
a pour dérivée :
.
donc
est ................ et comme
,
on en déduit
pour tout x.
Finalement
pour tout x
donc
ne .......................... pas.
- Soit g une autre fonction dérivable sur
telle que :
et
,
alors
est définie et dérivable sur
(car f ne s'annule pas).
Alors
donc h est ............................ sur
.
Or
donc
.
En utilisant uniquement les propriétés algébriques de la fonction exponentielle et le fait qu’elle ne s’annule pas sur
, démontrer que pour tout x de
:
.