Leçons de niveau 13

Fonction exponentielle/Annexe/Restitution organisée de connaissances

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Restitution organisée de connaissances
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Annexe 4
Leçon : Fonction exponentielle

Cette annexe est de niveau 13.

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Exercice 1[modifier | modifier le wikicode]

L'exercice proposé ici constitue une ROC ou "Question de cours" ou "démonstration de cours", spécifiquement au programme du bac S.

Les prérequis sont des propositions admises ici, qui doivent servir à démontrer le résultat demandé.

Prérequis[modifier | modifier le wikicode]

  1. exp est un fonction dérivable sur .
  2. sa fonction dérivée, est pour tout x de .


Résultat à démontrer[modifier | modifier le wikicode]

En utilisant que ces trois propriétés de la fonction exp, démontrer successivement que :

a) Pour tout réel x, .

b) Pour tout réel a et pour tout réel x, .

Application[modifier | modifier le wikicode]

c) Pour tout réel x,

d) Pour tout réel x, .

Exercice 2[modifier | modifier le wikicode]



Existence : On admet ici l’existence (qui peut être démontrée en calcul intégral).

Unicité :

  • Remarquons tout d’abord que f ne s'annule pas sur .

En effet la fonction définie par a pour dérivée :

.

donc est ................ et comme ,

on en déduit pour tout x.

Finalement pour tout x

donc ne .......................... pas.


  • Soit g une autre fonction dérivable sur telle que :

et ,

alors est défine et dérivable sur (car f ne s'annule pas).

Alors

donc h est ............................ sur .

Or

donc .

Exercice 3[modifier | modifier le wikicode]

En utilisant uniquement les propriétés algébriques de la fonction exponentielle

et le fait qu’elle ne s’annule pas sur , démontrer que pour tout x de :

.