Fonction exponentielle/L'exponentielle comme solution d'une équation différentielle

**L'exponentielle comme solution d'une équation différentielle**
Leçon : Fonction exponentielle

Chapitre n^o 1
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Chap. suiv. :	L'exponentielle comme fonction réciproque du logarithme népérien

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Exponentielle et équation différentielle de premier ordre[modifier | modifier le wikicode]

Théorème et définition

Il existe une unique fonction dérivable de $\mathbb {R}$ dans $\mathbb {R}$ , appelée fonction exponentielle et notée exp qui vérifie :

$\exp(0)=1$
Pour tout $x\in \mathbb {R} ,~\exp '(x)=\exp(x)$

Autrement dit, l'exponentielle est la seule fonction qui est égale à sa propre dérivée et qui vaut 1 en 0 (lorsque $x=0$ ).

L'existence de la fonction exponentielle, admise à ce niveau, peut être démontrée par de nombreuses méthodes, dont aucune n'est élémentaire. Un exercice de niveau 15 propose une démonstration à l'aide des suites.

L'unicité de cette fonction sera généralisée et démontrée plus bas. La preuve d'unicité montrera, de plus, que pour tout réel $x$ , $\exp(x)\times \exp(-x)=1$ . En particulier, $\exp(x)\neq 0$ .

La fonction exponentielle est aussi utilisée dans la résolution d'équations différentielles de premier ordre.

En effet, une équation différentielle de premier ordre, à coefficients et second membre variables, est exprimée comme suit: $a(x).y'+b(x).y=c(x)$ (1)

$a(x),b(x),c(x)$ : Fonctions connues et dépendantes de la variable $x$ .
$y$ : Fonction à déterminer et dépendante de la variable $x$ .
$y'$ : Dérivée première de la fonction $y$ et dépendante de la variable $x$ .

La solution complète de l'équation différentielle (1) s'écrit sous la forme générale suivante: $y=y_{H}(x)+y_{p}(x)=K.e^{-F(x)}+g(x).e^{-F(x)}$

$y_{H}(x)=K.e^{-F(x)}$ : Solution générale de l'équation différentielle (1).
- $K=e^{C}$ : Constante réelle.
- $F(x)$ : Primitive de la fonction $f(x)={b(x) \over a(x)}$
$y_{p}(x)=g(x).e^{-F(x)}$ : Solution particulière de l'équation différentielle (1).
- $g(x)=\int {c(x) \over a(x)}.e^{F(x)}dx$

Calculatrice[modifier | modifier le wikicode]

Pour prendre l'exponentielle d'un nombre, on utilise la touche « $e^{x}$ ».

On effectue souvent cette opération en utilisant le préfixe «seconde» ou «shift» suivi de la touche $\ln$ .

Exemples[modifier | modifier le wikicode]

Cas général[modifier | modifier le wikicode]

Théorème

Pour tout réel $k$ $(k\in \mathbb {R} )$ , la fonction $x\mapsto \exp(kx)$ est l'unique fonction $f$ dérivable sur $\mathbb {R}$ telle que :
$f'=kf$
$f'(0)=k$
$f(0)=1$
Cette fonction vérifie : $\forall x\in \mathbb {R} \quad f(x)\times f(-x)=1$ .

Démonstration

La fonction $f_{0}:x\mapsto \exp(kx)$ vérifie évidemment $f'_{0}=kf_{0}$ et $f_{0}(0)=1$ .
Réciproquement, soit $f$ une fonction telle que $f'=kf$ et $f(0)=1$ .
- Posons $g(x)=f(x)f_{0}(-x)$ .
- D’après les règles usuelles de dérivation : $\forall x\in \mathbb {R} \quad g'(x)=f'(x)f_{0}(-x)+f(x)f'_{0}(-x)=\left(kf(x)\right)f_{0}(-x)-f(x)\left(kf_{0}(-x)\right)=0$
- Donc $g$ est constante et égale à sa valeur pour $x=0$ c'est-à-dire à $1$ . Tout ceci prouve que : $\forall x\in \mathbb {R} \quad f(x)f_{0}(-x)=1$ .
- En particulier, $\forall x\in \mathbb {R} \quad f_{0}(x)f_{0}(-x)=1$ .
On déduit de ces deux points que $f=f_{0}$ .