Leçons de niveau 13

Fonction exponentielle/L'exponentielle comme solution d'une équation différentielle

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L'exponentielle comme solution d'une équation différentielle
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Chapitre no 1
Leçon : Fonction exponentielle
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Chap. suiv. :L'exponentielle comme fonction réciproque du logarithme népérien
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Exponentielle et équation différentielle de premier ordre[modifier | modifier le wikicode]


L'existence de la fonction exponentielle, admise à ce niveau, peut être démontrée par de nombreuses méthodes, dont aucune n'est élémentaire. Un exercice de niveau 15 propose une démonstration à l'aide des suites.

L'unicité de cette fonction sera généralisée et démontrée plus bas. La preuve d'unicité montrera, de plus, que pour tout réel , . En particulier, .

La fonction exponentielle est aussi utilisée dans la résolution d'équations différentielles de premier ordre.

En effet, une équation différentielle de premier ordre, à coefficients et second membre variables, est exprimée comme suit: (1)

  • : Fonctions connues et dépendantes de la variable .
  • : Fonction à déterminer et dépendante de la variable .
  • : Dérivée première de la fonction et dépendante de la variable .


La solution complète de l'équation différentielle (1) s'écrit sous la forme générale suivante:

  • : Solution générale de l'équation différentielle (1).
    • : Constante réelle.
    • : Primitive de la fonction
  •  : Solution particulière de l'équation différentielle (1).

Calculatrice[modifier | modifier le wikicode]

Pour prendre l'exponentielle d'un nombre, on utilise la touche «».

On effectue souvent cette opération en utilisant le préfixe «seconde» ou «shift» suivi de la touche .

Exemples[modifier | modifier le wikicode]

A la calculatrice, donner des valeurs approchées à  :

=

=

=


Cas général[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème
Fin du théorème