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Approfondissement sur les suites numériques : Relations de comparaison
Approfondissement sur les suites numériques/Relations de comparaison », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Dans cette leçon, on va aborder les relations de comparaison entre les suites, et l'objectif est d'étudier le comportement des suites en l'infini. Une première information sur ce comportement est donnée par la limite de la suite, mais cela ne suffit pas pour décrire son comportement en l'infini.
Par exemple, les deux suites définies par
et
divergent toutes les deux vers
mais ne divergent pas à la même vitesse, car l'exponentielle croît beaucoup plus vite, comme en témoigne la limite
. L'objectif des notions présentées ici va justement être de formaliser ces différences, et elles trouveront des applications dans le calcul de limite, et dans le cours sur les séries elles permettront d'étudier la convergence des séries.
Les notions abordées dans cette leçon pour les suites (équivalence, domination et négligeabilité) sont un cas particulier des mêmes notions pour les fonctions.
Une suite sera dite dominée par une autre si son comportement en l'infini est « encadré » par la suite dominante, et cela permet d'obtenir des informations sur la suite dominée. On traduit cette idée dans la définition suivante :
Définition
Soient

et

deux suites. On dit que

est dominée par

, ce que l'on note

, ou plus simplement

, lorsqu'il existe une suite

bornée telle que

à partir d'un certain rang.
- Remarque
- La notation utilisée ici est celle de Landau. Il existe une autre notation, la notation de Hardy, moins courante, où l'on note
pour signifier que
est dominée par
.
- On remarque que deux suites différentes
et
peuvent être dominées par la même suite
. Dans ce cas l'emploi du signe égalité dans la notation de Landau peut prêter à confusion car on écrit :
et
avec malgré tout
. Pour éviter cette confusion, on pourrait écrire
où
désigne l'ensemble des suites dominées par
, mais nous nous conformerons à la pratique courante de la notation.
Proposition
Si

ne s'annule pas pour

assez grand alors :
est bornée.
À ce stade, il faut savoir comment se comporte la relation de comparaison vis-à-vis des opérations usuelles, et ici (contrairement à l'équivalence) tout se passe bien comme nous l'assure le résultat suivant :
Proposition : Opérations sur

'Démonstration'
Démontrons le premier point, les autres se démontrant de façon similaire.
- Soient
trois suites. Si
alors
et une suite
bornée tels que
. De même,
et une suite
bornée tels que
.
- Alors
, et la suite
est bornée.
- Ce qui montre que
.
Voyons quelques applications de la domination :
Proposition : Comportement en l'infini
Voyons maintenant la notion de suite négligeable devant une autre. Concrètement, ce phénomène se produit lorsqu'une suite est « beaucoup plus petite » ou « beaucoup moins grande » qu'une autre quand
devient très grand.
Définition
Soient

et

deux suites. On dit que

est négligeable devant

, ou que

est prépondérante devant

, ce que l'on note

, ou plus simplement

, lorsqu'il existe une suite

telle que

et que

à partir d'un certain rang.
La même remarque que pour la domination s'applique concernant la notation
. Et l'on conserve une caractérisation plus simple à l'aide d'un quotient comme nous l'indique la proposition suivante :
Proposition
Si

ne s'annule pas pour

assez grand alors :
.
De même que pour la domination, la notion de prépondérance se comporte bien vis-à-vis des opérations algébriques sur les suites.
Proposition : Opérations sur

'Démonstration'
Démontrons le premier point, les autres se démontrant de façon similaire.
- Soient
trois suites. Si
alors
et une suite
tels que
et
. De même,
et une suite
tels que
et
.
- Alors
, et la suite
tend vers
.
- Ce qui montre que
.
Les applications de cette notion se manifestent également dans le comportement « à l'infini » des suites, ce qui est, rappelons-le, l'objectif des notions développées dans cette leçon.
Proposition : Comportement en l'infini
Début de l'exemple
Exemples de référence
On a les résultats suivants, obtenus en formant le quotient des deux suites et en montrant qu'il tend vers

:
.
.
.
.

Fin de l'exemple
Avec la notation de Hardy
pour
, on peut mémoriser l'essentiel de ces résultats sous la forme :
:

.
Intuitivement, deux suites vont être équivalentes si elles sont « à peu près égales quand
devient très grand », et ainsi elles auront le même « comportement » en l'infini. C'est ce que traduit la définition suivante :
Définition
On dit que deux suites

et

sont équivalentes, ce que l'on note

, ou plus simplement

, lorsqu'il existe une suite

qui converge vers

et telle que

à partir d'un certain rang.
- Remarques
-
- Pour des suites équivalentes, la notation
est non ambiguë (de même que la notation
pour la limite d'une suite), contrairement à la notation
pour des fonctions.
- D'après la définition, les seules suites équivalentes à la suite nulle sont les suites
nulles à partir d'un certain rang. De plus, nous avons la caractérisation suivante, très utile pour déterminer des équivalents (attention, on a souvent tendance à penser que ceci constitue la définition des suites équivalentes).
Proposition
Si

ne s'annule pas pour

assez grand alors :
.
- Remarque
- On en déduit que si
et si
est non nulle à partir d'un certain rang alors, pour
assez grand,
est non nul et du même signe que
.
Regardons maintenant quelques exemples de suites équivalentes qui s'obtiennent directement en montrant que
.
Début de l'exemple
Fin de l'exemple
Montrons maintenant que le vocabulaire retenu ici est cohérent.
'Démonstration'
La démonstration est assez directe mais rédigeons-la afin de nous habituer aux raisonnements.
Soit
,
et
trois suites.
- Pour la réflexivité :
- Posons
. On a ainsi
, ce qui par définition donne
.
- Pour la symétrie :
- Supposons que
.
- Alors, il existe une suite
telle que
et
tel que
. Comme
converge vers
, il existe
tel que pour tout
.
- On a ainsi
et
, et donc
.
- Pour la transitivité :
- Supposons que
et
.
- Alors, il existe une suite
telle que
et
tel que
, et une suite
telle que
et
tel que
.
- Et finalement,
et
, d'où
.
L'objectif est ici de voir les propriétés qui vont nous servir pour le calcul des équivalents. En premier lieu, voici les opérations qu'il est possible de réaliser sur les suites équivalentes, ce qui permettra de simplifier le calcul effectif d'équivalent :
Proposition : Opérations sur les équivalents
Soient

des suites numériques, et

.
- Si
et
alors
.
- En particulier, si
alors
et
.
- Si
et
pour
assez grand, alors
.
- Si
et
pour
assez grand, alors
.
Début de l'exemple
Exemple
Déterminer un équivalent de

.
On a

donc

.
Fin de l'exemple
- Remarques
- De manière générale, il est « interdit » de réaliser des sommes d'équivalents ou de composer une relation d'équivalence par une fonction. De manière formelle, si
et
, on peut avoir
, et pour une fonction
,
.
- Par exemple, on a
mais
.
- Et pour la composition, un contre-exemple est donné, pour
, par
mais
.
Voyons maintenant des équivalents qui serviront de référence. Tous se déduisent d'équivalents usuels en 0 de fonctions, en les composant à droite par la suite.
Début de l'exemple
Exemple
Déterminer un équivalent de

.
On a
avec
.
D'où,

.
Fin de l'exemple
Ici, nous allons voir quelques applications du calcul d'équivalent. Ces applications vont reposer majoritairement sur les propriétés suivantes :
Utilisons maintenant la notion d'équivalence pour le calcul de limite de suite :
Début de l'exemple
Exemple
Soit

. Déterminons la limite de la suite définie pour tout

par

.
On a :
. Et donc :
.
Finalement, par continuité de l'exponentielle, on obtient :

.
Fin de l'exemple
Dans cette partie, nous allons donner des résultats sur le comportement des trois notions vues ci-dessus entre elles. À ce stade, le lecteur débutant peut se sentir submergé par le nombre de résultats à retenir mais il faut bien voir qu'une fois les notions bien comprises (à travers des exercices), la majorité des résultats de cette leçon deviennent élémentaires. Les démonstrations découlant directement des définitions, elles seront laissées à titre d’exercice.
Remarque
Si

ou

, alors

.
Proposition : conversions entre

et

Proposition : Opérations entre

et
