Leçons de niveau 14

Sommation/Définition et premiers calculs

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Définition et premiers calculs
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Chapitre no 1
Leçon : Sommation
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Ce premier chapitre donne les définitions de base ainsi que le calcul de sommes élémentaires à bien connaître.

Définition[modifier | modifier le wikicode]



Les trois notations de somme données précédemment sont équivalentes mais, selon le contexte, on peut être amené à préférer l'une d'entres elles.

Nous allons voir ci-après une première technique de calcul d'une somme.

Sommation par télescopage[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème


Fin du théorème

Pour pouvoir utiliser la technique précédente, le plus délicat est de déterminer la fonction f.

Nous allons voir trois exemples fondamentaux d'utilisation du théorème précédent :

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Premier exemple

Soit à calculer :

(k joue le même rôle que i. On dit que c’est une variable muette.)

La fonction f à déterminer sera ici un polynôme, nous le noterons donc p.

On doit donc déterminer un polynôme p vérifiant, pour les besoins du théorème, la relation :

Si nous essayons de trouver un polynôme du premier degré vérifiant cette relation, c’est un échec (Le lecteur est invité à le faire.). Essayons avec un polynôme de deuxième degré. Soit :

Nous devons déterminer a, b, c tels que :

En développant et en faisant passer tous les termes dans le premier membre, on obtient :

Cette relation devant être vraie pour tout k, nous obtenons :

Dont la solution est :

Le polynôme recherché est donc :

c, ayant été éliminée des calculs, n'a pas d'importance. Pour simplifier, on a pris c = 0.

Par télescopage, on obtient donc :

Nous retiendrons :


Exclamation mark white icon.svg

Deuxième exemple

Soit à calculer :

On doit donc déterminer un polynôme p vérifiant, pour les besoins du théorème, la relation :

Si nous essayons de trouver un polynôme du premier ou du deuxième degré vérifiant cette relation, c’est un échec (Le lecteur est invité à le faire.). Essayons avec un polynôme du troisième degré. Soit :

Nous devons déterminer a, b, c, d tels que :

En développant et en faisant passer tous les termes dans le premier membre, on obtient :

Cette relation devant être vraie pour tout k, nous obtenons :

Dont la solution est :

Le polynôme recherché est donc :

d, ayant été éliminée des calculs, n'a pas d'importance. Pour simplifier, on a pris d = 0.

Par télescopage, on obtient donc :

Nous retiendrons :


Exclamation mark white icon.svg

Troisième exemple

Soit à calculer :

On doit donc déterminer un polynôme p vérifiant, pour les besoins du théorème, la relation :

Si nous essayons de trouver un polynôme du premier, deuxième ou troisième degré vérifiant cette relation, c’est un échec (Le lecteur est invité à le faire.). Essayons avec un polynôme du quatrième degré. Soit :

Nous devons déterminer a, b, c, d, e tel que :

En développant et en faisant passer tous les termes dans le premier membre, on obtient :

Cette relation devant être vraie pour tout k, nous obtenons :

Dont la solution est :

Le polynôme recherché est donc :

e, ayant été éliminée des calculs, n'a pas d'importance. Pour simplifier, on a pris e = 0.

Par télescopage, on obtient donc :

Nous retiendrons :


Établissement des formules à l'aide des dénombrements[modifier | modifier le wikicode]

Quelquefois, pour démontrer une formule de sommation, on se sert des dénombrements. On imagine une situation concrète et on effectue un calcul de dénombrement de deux façons possibles. L'une des deux façons faisant appel à la sommation que l’on veut démontrer et l'autre façon n'utilisant aucune sommation. En égalisant les deux calculs, nous obtenons la formule à démontrer.

Exclamation mark white icon.svg

Exemple d'application.

Wikipédia possède un article à propos de « Identité de Vandermonde ».
Image logo représentative de la faculté Voir les exercices sur : Exercice 5-4.


Soit à démontrer la formule :

Cette formule est connue sous le nom de formule de Vandermonde.

Pour établir cette formule, nous supposerons que nous avons une urne contenant r boules blanches et s boules noires. On se propose de dénombrer les parties ayant n éléments de l’ensemble des boules de l'urne. Pour cela, on voit que l’on peut procéder de deux façons différentes.

Dans une première façon, on peut se baser sur les couleurs et dire que le nombre de parties contenant n boules est égale à la somme des parties contenant k boules blanches et n - k boules noires en donnant à k toutes les valeurs de 0 à n. Soit :

Dans une seconde façon, on oublie les couleurs et on dénombre directement les parties ayant n éléments parmi les r + s boules de l'urne. Soit :

Les deux façons devant logiquement donner le même résultat, nous obtenons la formule :