Fonction exponentielle/Annexe/Activité d'introduction

La fonction carré

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb {R}$ par $f:x\mapsto x^{2}$.

1. Donner l’expression de $f'$.
2. Donner une relation entre $f'$ et $f$.

Cette relation peut être vue comme une équation différentielle dont l'inconnue est une fonction (ici $f$, notée plus généralement $y$), dont la fonction carré est solution.

Solution

1. Pour tout $x\in \mathbb {R}$, $f'(x)=2x$.
2. $f=\left({\frac {f'}{2}}\right)^{2}$. La fonction carré est donc solution de l'équation différentielle $y'^{2}=4y$ d'inconnue $y$.

 

La fonction inverse

On définit la fonction $f$ sur $\mathbb {R} ^{*}$ par $f:x\mapsto {\frac {1}{x}}$.

1. Donner l’expression de $f'$.
2. Donner une équation différentielle d'inconnue y, dont la fonction inverse est solution.

Solution

1. Pour tout $x\in \mathbb {R} ^{*}$, $f'(x)=-{\frac {1}{x^{2}}}$.
2. $f'=-f^{2}$. La fonction inverse est donc solution de l'équation différentielle $y'=-y^{2}$.

 

La fonction cosinus

1. Donner les expressions de $\cos '$ et $\cos ''$.
2. Donner une équation différentielle d'inconnue y dont la fonction cosinus est solution, en utilisant l’expression de $\cos ''$.

Solution

1. $\cos '(x)=-\sin(x)$ donc $\cos ''(x)=-\sin '(x)=-\cos(x)$.
2. $\cos ''(x)=-\cos(x)$. La fonction cosinus est donc solution de l'équation différentielle $y''=-y$.

 

Exponentielle

Supposons qu’il existe une fonction $f$ qui vérifie l'équation différentielle $f'=f$ sur $\mathbb {R}$ et supposons que $f(0)=1$

1. Expliquer pourquoi cette fonction $f$ sera nécessairement croissante.
2. Que penser de sa « vitesse de croissance » ?

Solution

1. Montrons par l'absurde que $f\geq 0$ (ainsi, on aura $f'\geq 0$, c'est-à-dire $f$ croissante). Supposons donc qu'il existe un réel $b$, par exemple positif (le cas négatif est analogue), tel que $f(b)<0$. D'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe entre $0$ et $b$ des réels $c$ tels que $f(c)=0$. Considérons le plus grand d'entre eux (son existence n'est pas immédiate mais est démontrée au niveau 14). Alors, sur $[c,b]$, $f'=f\leq 0$ donc $f$ est décroissante, ce qui contredit $f(c)=0>f(b)$.
2. Si $f(0)=1$, on aura $f'(0)=1$, ce qui implique que la fonction est croissante au voisinage de 0. Lorsque x grandit, f(x) augmente de valeur encore plus rapidement. Comme la fonction est croissante et égale à sa propre dérivée, la pente de la tangente à la courbe de f est également croissante, ce qui signifie que la courbe se met à monter de plus en plus rapidement. La vitesse de croissance est alors extrêmement grande.