Leçons de niveau 14

Espace vectoriel/Exercices/Rang, dimension

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Rang, dimension
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Exercices no2
Leçon : Espace vectoriel
Chapitre du cours : Dimension

Exercices de niveau 14.

Exo préc. :Espaces et sous-espaces vectoriels
Exo suiv. :Sommaire
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Espace vectoriel/Exercices/Rang, dimension
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Exercice 2-1 : Lemme de Steinitz[modifier | modifier le wikicode]

Démontrer que si v1, … , vm sont des vecteurs linéairement indépendants d'un espace vectoriel V engendré par w1, … , wn alors mn et, à permutation près des wk, l'ensemble {v1, … , vm, wm+1, … , wn} engendre V.

Exercice 2-2[modifier | modifier le wikicode]

Montrer que est un sous-espace vectoriel de et déterminer une base de .

  1. Montrer que est une base de .
  2. En déduire que pour tous réels , et , il existe un unique polynôme tel que , et .

Exercice 2-3[modifier | modifier le wikicode]

Soient et .

  1. Si , où est un polynôme de degré , , montrer que est une base de .
  2. Si est un polynôme de degré , montrer que est une base de . Déterminer les composantes dans du polynôme défini par , où est un réel fixé.
  3. Montrer que est une base de et déterminer, pour tout , les composantes de dans .

Exercice 2-4[modifier | modifier le wikicode]

Montrer que les vecteurs et forment une base de . Pour tout vecteur de , donner (en fonction de et ) les coordonnées de dans cette base.

Soient

  1. La famille est-elle libre ? Est-elle génératrice de  ?
  2. Montrer que est une base de .
  3. La famille est-elle libre ? Est-elle génératrice de  ?
  4. Déterminer les coordonnées du vecteur dans la base .

Exercice 2-5[modifier | modifier le wikicode]

Soit le système d'équations

Montrer que l'ensemble des solutions de est un sous-espace vectoriel de . Déterminer la dimension et une base de .

Montrer que est un sous-espace vectoriel de . Déterminer une base de et la compléter en une base de .

Exercice 2-6[modifier | modifier le wikicode]

Soient , , , et .

Donner une base du sous-espace vectoriel de .

Exercice 2-7[modifier | modifier le wikicode]

Soient (dans un espace vectoriel) des vecteurs linéairement indépendants. Montrer que :

  1. les vecteurs , et sont linéairement indépendants ;
  2. les vecteurs , et sont linéairement dépendants.

Déterminer si les vecteurs suivants sont linéairement dépendants ou indépendants :

  1. et  ;
  2. et  ;
  3. et  ;
  4. , et  ;
  5. , et .

Pour quelles valeurs de la famille de vecteurs est-elle libre ?

Les systèmes de vecteurs suivants de sont-ils libres ou liés ? Forment-ils une base de  ? Quelle est la dimension du sous-espace qu'ils engendrent ?

    1. .

Exercice 2-8[modifier | modifier le wikicode]

Soient et .

Trouver la dimension et une base de .

Donner des bases des espaces vectoriels :

  •  ;
  •  ;
  •  ;
  •  ;
  •  ;
  • .

Exercice 2-9[modifier | modifier le wikicode]

Dans , soient et avec , , , et sont des paramètres fixés.

  1. A-t-on  ?
  2. A-t-on  ?
  3. Déterminer .
  4. Est-ce que est une base de  ?

Mêmes questions 1 à 3 pour

Exercice 2-10[modifier | modifier le wikicode]

Soient

Pour de à , dire si la famille est libre, si elle est génératrice de , et si c'est une base de .

Soient . Quelle est la dimension de l'espace vectoriel  ? Soient

Pour de à , dire si la famille est libre, si elle est génératrice de , et si c'est une base de .

Exercice 2-11[modifier | modifier le wikicode]

Dans , montrer que le sous-ensemble des matrices symétriques et celui des matrices antisymétriques sont deux sous-espaces vectoriels supplémentaires et préciser leurs dimensions.