Leçons de niveau 14

Application linéaire/Exercices/Application directe

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Application directe
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Exercices no1
Leçon : Application linéaire
Chapitre du cours : Définitions

Exercices de niveau 14.

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Application linéaire/Exercices/Application directe
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Être ou ne pas être une application linéaire ?[modifier | modifier le wikicode]

Les applications suivantes sont-elles linéaires ?

Pour chaque couple d'espaces vectoriels et chaque application , indiquer si elle est linéaire ou non en justifiant la réponse.

  1. , , , , , .
  2. , , , , .
  3. , , .
  4. , , , , .

Bijectivité[modifier | modifier le wikicode]

Montrer que l'application

est un automorphisme de et calculer l'automorphisme réciproque.

Montrer que l'application définie par est bijective et calculer son inverse.

Soit .

  1. Soient deux à deux distincts et l'application définie par . Montrer que est linéaire et bijective.
  2. Soient . Montrer qu'il existe un unique polynôme tel que . Calculer , et .

Forme linéaire[modifier | modifier le wikicode]

Soient deux réels, le -espace vectoriel des applications continues de dans , et .

Montrer que l’application

est une forme linéaire sur .

Applications linéaires proportionnelles[modifier | modifier le wikicode]

Soient telles que

.

Montrer que est la composée de par une homothétie de , c.-à-d. :

.

Une base adaptée[modifier | modifier le wikicode]

Pour tout , on note le sous-espace vectoriel des polynômes de degré dans .

Soit l'application définie par .

  1. Démontrer que est linéaire.
  2. Démontrer que pour tout dont le degré est  ; en déduire le noyau de .
  3. On considère , pour tout . Démontrer que pour tout .
  4. Démontrer que est une base de .
  5. Soit .
    1. Démontrer que .
    2. Pour tout , donner une méthode permettant de calculer tel que .
    3. Calculer tel que et . En déduire la somme pour tout .
    4. Calculer de même pour tout .

Isométries planes[modifier | modifier le wikicode]

Soit . On considère comme un -espace vectoriel et l'on fixe la base .

  1. Montrer que est -linéaire.
  2. Calculer .
  3. Existe-t-il et tels que et  ? Si c'est le cas, déterminer un tel et un tel .
  4. Décrire géométriquement .
  5. Soit . Calculer et décrire géométriquement .