Leçons de niveau 14

Espace vectoriel/Exercices/Espaces et sous-espaces vectoriels

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Espaces et sous-espaces vectoriels
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Exercices no1
Leçon : Espace vectoriel
Chapitre du cours : Définitions

Exercices de niveau 14.

Exo préc. :Sommaire
Exo suiv. :Rang, dimension
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Espace vectoriel/Exercices/Espaces et sous-espaces vectoriels
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  • désigne ou
  • E est un -espace vectoriel.

Être ou ne pas être un espace vectoriel ?[modifier | modifier le wikicode]

1. Les espaces suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels de  ?

a. (où est un réel fixé)
b.
c.
d.
e.

2. Les espaces suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels de  ?

a. E2a = Ensemble des suites bornées
b. E2b = Ensemble des suites monotones
c. E2c = Ensemble des suites convergentes
d. E2d = Ensemble des suites arithmétiques

3. Les espaces suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels de  ?

a.
b.
c.
d.

4. Les espaces suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels de  ?

a. le sous-ensemble des matrices vérifiant
b. le sous-ensemble des matrices vérifiant

Exercice 1-1[modifier | modifier le wikicode]

Soient et .

  1. Montrer que F et G sont des sous-espaces vectoriels de .
  2. Déterminer .

Exercice 1-2[modifier | modifier le wikicode]

Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E. Montrer que .

Exercice 1-3[modifier | modifier le wikicode]

Soient et deux sous-espaces vectoriels de . Montrer que est un sous-espace vectoriel de (si et) seulement si ou .

Exercice 1-4[modifier | modifier le wikicode]

Soient et .

Montrer que ces deux sous-espaces de sont supplémentaires.

Exercice 1-5[modifier | modifier le wikicode]

Soit , . Montrer que les sous-espaces et sont supplémentaires dans .

Exercice 1-6[modifier | modifier le wikicode]

Soit muni de la loi interne définie par et de la loi externe définie par .

Montrer que est un -espace vectoriel.

Exercice 1-7[modifier | modifier le wikicode]

Soient et l'espace vectoriel des polynômes de degré . On définit (pour tout réel )

.

Montrer que si alors . La somme est-elle directe ?

Exercice 1-8[modifier | modifier le wikicode]

Soient deux droites d'un même espace vectoriel. Montrer que si un vecteur non nul appartient à , alors .

Exercice 1-9[modifier | modifier le wikicode]

Soient et .

  1. Déterminer l'ensemble des couples tels que .
  2. Même question pour les couples tels que .

Déterminer des équations cartésiennes des sous-espaces vectoriels suivants :

  •  ;
  •  ;
  • .

Voir aussi[modifier | modifier le wikicode]

« Rechercher des exercices → L1 Algèbre, 106 Espace vectoriel », sur exo7