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Exercice : Espaces et sous-espaces vectoriels
Espace vectoriel/Exercices/Espaces et sous-espaces vectoriels », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
- désigne ou
- E est un -espace vectoriel.
1. Les espaces suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels de ?
- a. (où est un réel fixé)
- b.
- c.
- d.
- e.
2. Les espaces suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels de ?
- a. E2a = Ensemble des suites bornées
- b. E2b = Ensemble des suites monotones
- c. E2c = Ensemble des suites convergentes
- d. E2d = Ensemble des suites arithmétiques
3. Les espaces suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels de ?
- a.
- b.
- c.
- d.
4. Les espaces suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels de ?
- a. le sous-ensemble des matrices vérifiant
- b. le sous-ensemble des matrices vérifiant
Solution
- Série 1
- a. Non car et .
- b. Non : cf. Exercice 1-3.
- c. Oui car .
- d. Non car .
- e. Non car (par exemple) mais .
- Série 2
- a. : Oui. b. : Non. c. : Oui. d. : Oui.
- Série 3
- a. : Non. b. : Oui. c. : Non. d. : Oui.
- Série 4
- a. : Oui. b. : Non.
Soient et .
- Montrer que F et G sont des sous-espaces vectoriels de .
- Déterminer .
Solution
-
- Soient . Alors et . Donc F est bien un sous-espace vectoriel de .
- donc G est bien un sous-espace vectoriel de .
-
- Ainsi, .
Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E. Montrer que .
Soient et deux sous-espaces vectoriels de . Montrer que est un sous-espace vectoriel de (si et) seulement si ou .
Solution
est immédiat. Pour prouver , démontrons la contraposée, c'est-à-dire : supposons que et et montrons qu'alors, n'est pas un sous-espace vectoriel de .
Par hypothèse, il existe un vecteur et un vecteur .
Ces deux vecteurs appartiennent à mais leur somme n'appartient ni à (sinon, puisque et que est stable par différences, on aurait , ce qui est contraire au choix de ), ni à (de même en intervertissant les couples et ). Donc n'est pas stable par .
Soient et .
Montrer que ces deux sous-espaces de sont supplémentaires.
Soit , . Montrer que les sous-espaces et sont supplémentaires dans .
Solution
Par division euclidienne, tout polynôme est, de façon unique, somme d'un élément de et d'un élément de .
Soit muni de la loi interne définie par et de la loi externe définie par .
Montrer que est un -espace vectoriel.
Solution
Simple transport de structure de la structure canonique de -espace vectoriel de , par la bijection .
Soient et l'espace vectoriel des polynômes de degré . On définit (pour tout réel )
- .
Montrer que si alors . La somme est-elle directe ?
Soient deux droites d'un même espace vectoriel. Montrer que si un vecteur non nul appartient à , alors .
Soient et .
- Déterminer l'ensemble des couples tels que .
- Même question pour les couples tels que .
Solution
.
- n'a pas de solution .
- a pour solution .
Déterminer des équations cartésiennes des sous-espaces vectoriels suivants :
- ;
- ;
- ;
- ;
- ;
- ;
Solution
- .
- (une autre méthode est de calculer le produit vectoriel de ces deux vecteurs, puis d'écrire que appartient à si et seulement si son produit scalaire par ce vecteur est nul, ou plus directement, d'écrire que le déterminant des trois vecteurs , et est nul).
- donc .
.
- .
- (analogue à ).
- (analogue à ).
Soient trois s.e.v. de . On va comparer trois propriétés :
- ;
- ;
- .
a) Démontrer que équivaut à .
b) En déduire que équivaut à .
Solution
b) résultera immédiatement de a), puisque est symétrique en .
Supposons et montrons . Soient , , tels que . Alors , donc et , donc et .
Supposons et montrons : si alors, de on déduit , et si
, de on déduit .
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