Leçons de niveau 16

Module sur un anneau/Définitions

Une page de Wikiversité.
Sauter à la navigation Sauter à la recherche
Début de la boite de navigation du chapitre
Définitions
Icône de la faculté
Chapitre no 1
Leçon : Module sur un anneau
Retour auSommaire
Chap. suiv. :Module sur un anneau principal
fin de la boite de navigation du chapitre
Icon falscher Titel.svg
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Module sur un anneau : Définitions
Module sur un anneau/Définitions
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Ce premier chapitre peut être abordé dès le premier cycle universitaire ou en classes préparatoires en France, même si les notions sont souvent introduites en licence 3 ou en maitrise.

Dans tout ce chapitre, désigne un anneau.

Définition d’un module sur un anneau[modifier | modifier le wikicode]


Remarque
Ces axiomes sont les mêmes que ceux d’un espace vectoriel. Lorsque l'anneau A est un corps, les A-modules sont donc les A-espaces vectoriels.
Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Les -modules sont exactement les groupes commutatifs et les sous-modules d’un -module sont exactement ses sous-groupes.


Modules libres et de type fini[modifier | modifier le wikicode]

Une famille de vecteurs de M est dite :

  • génératrice de M si le morphisme est surjectif ;
  • libre lorsque ce morphisme est injectif.

Le module M est dit :

  • de type fini s'il possède une famille génératrice finie ;
  • libre s'il possède une base, c'est-à-dire une famille génératrice et libre.


Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Début d’un théorème
Fin du théorème


Pour un espace vectoriel, la dimension d'un sous-espace est toujours inférieure ou égale à la dimension de l'espace. Mais pour un module M de type fini, un sous-module n'est pas nécessairement de type fini (même si M est libre). Par exemple pour un anneau de polynômes en plusieurs indéterminées sur un anneau commutatif , l'idéal engendré par les (sous-module du -module ) n'est de type fini que si est fini. Cependant :

Début d’un théorème
Fin du théorème