Leçons de niveau 14

Espace vectoriel/Exercices/Rang, dimension

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Rang, dimension
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Exercices no2
Leçon : Espace vectoriel
Chapitre du cours : Dimension

Exercices de niveau 14.

Exo préc. :Espaces et sous-espaces vectoriels
Exo suiv. :Sommaire
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Espace vectoriel/Exercices/Rang, dimension
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Exercice 2-1 : Lemme de Steinitz[modifier | modifier le wikicode]

Démontrer que si v1, … , vm sont des vecteurs linéairement indépendants d'un espace vectoriel V engendré par w1, … , wn alors mn et, à permutation près des wk, l'ensemble {v1, … , vm, wm+1, … , wn} engendre V.

Exercice 2-2[modifier | modifier le wikicode]

Montrer que est un sous-espace vectoriel de et déterminer une base de .

  1. Montrer que est une base de .
  2. En déduire que pour tous réels , et , il existe un unique polynôme tel que , et .

Exercice 2-3[modifier | modifier le wikicode]

Soient et .

  1. Si , où est un polynôme de degré , , montrer que est une base de .
  2. Si est un polynôme de degré , montrer que est une base de . Déterminer les composantes dans du polynôme défini par , où est un réel fixé.
  3. Montrer que est une base de et déterminer, pour tout , les composantes de dans .

Exercice 2-4[modifier | modifier le wikicode]

Montrer que les vecteurs et forment une base de . Pour tout vecteur de , donner (en fonction de et ) les coordonnées de dans cette base.

Soient

  1. La famille est-elle libre ? Est-elle génératrice de  ?
  2. Montrer que est une base de .
  3. La famille est-elle libre ? Est-elle génératrice de  ?
  4. Déterminer les coordonnées du vecteur dans la base .

Exercice 2-5[modifier | modifier le wikicode]

Soit le système d'équations

Montrer que l'ensemble des solutions de est un sous-espace vectoriel de . Déterminer la dimension et une base de .

Montrer que est un sous-espace vectoriel de . Déterminer une base de et la compléter en une base de .

Exercice 2-6[modifier | modifier le wikicode]

Soient , , , et .

Donner une base du sous-espace vectoriel de .

Exercice 2-7[modifier | modifier le wikicode]

Soient (dans un espace vectoriel) des vecteurs linéairement indépendants. Montrer que :

  1. les vecteurs , et sont linéairement indépendants ;
  2. les vecteurs , et sont linéairement dépendants.

Déterminer si les vecteurs suivants sont linéairement dépendants ou indépendants :

  1. et  ;
  2. et  ;
  3. et  ;
  4. , et  ;
  5. , et .

Pour quelles valeurs de la famille de vecteurs est-elle libre ?

Les systèmes de vecteurs suivants de sont-ils libres ou liés ? Forment-ils une base de  ? Quelle est la dimension du sous-espace qu'ils engendrent ?

    1. .

Exercice 2-8[modifier | modifier le wikicode]

Soient et .

Trouver la dimension et une base de .

Donner des bases des espaces vectoriels :

  •  ;
  •  ;
  •  ;
  •  ;
  •  ;
  • .

Exercice 2-9[modifier | modifier le wikicode]

Dans , soient et avec , , , et sont des paramètres fixés.

  1. A-t-on  ?
  2. A-t-on  ?
  3. Déterminer .
  4. Est-ce que est une base de  ?

Mêmes questions 1 à 3 pour

Exercice 2-10[modifier | modifier le wikicode]

Soient

Pour de à , dire si la famille est libre, si elle est génératrice de , et si c'est une base de .

Soient . Quelle est la dimension de l'espace vectoriel  ? Soient

Pour de à , dire si la famille est libre, si elle est génératrice de , et si c'est une base de .

Exercice 2-11[modifier | modifier le wikicode]

Dans , montrer que le sous-ensemble des matrices symétriques et celui des matrices antisymétriques sont deux sous-espaces vectoriels supplémentaires et préciser leurs dimensions.

Exercice 2-12[modifier | modifier le wikicode]

Soit A un anneau non nul (non forcément commutatif). Prouver que les trois conditions suivantes sont équivalentes :

a) tout A-module à gauche est libre;
b) tout A-module à gauche non nul comprend au moins un vecteur libre;
c) A est un corps.

Indication : d'après l'exercice 19 de la page Anneau (mathématiques)/Exercices/Exercices, il suffit, pour prouver que A est un corps, de prouver que pour tout élément non nul de A, il existe un élément de A tel que ; pour cela, on peut choisir un idéal à gauche maximal J de A et appliquer l'hypothèse b) au A-module à gauche A/J (puis faire preuve d'un peu d'astuce).

Exercice 2-13[modifier | modifier le wikicode]

Cet exercice n'est pas vraiment un exercice sur les espaces vectoriels. Il montre qu'une propriété importante des espaces vectoriels, l'équipotence des bases d'un même espace, n'est pas vraie pour tous les modules.

a) Soit A un anneau. On a vu que les deux lois de A (addition et multiplication) font de A un A-module à gauche, parfois noté On dira ici « le A-module A ». Il est clair que ce module admet une base de cardinal 1, à savoir

On suppose que ce module admet aussi une base de cardinal 2. Prouver que pour tout nombre naturel , ce module admet une base à éléments. (Indication : on peut raisonner par récurrence sur )

b) Soit V un espace vectoriel, par exemple sur le corps (Le fait que V soit un espace vectoriel et non un module sur un anneau plus général que n'est pas vraiment important.) On suppose que V admet une base (On peut par exemple prendre pour V la somme directe d'une famille infinie dénombrable de -espaces vectoriels égaux à ) L'ensemble End(V) des endomorphismes de V peut se munir d'une structure d'anneau, l'addition étant définie « point par point » : et la multiplication étant la composition des endomorphismes de V. Notons A = End(V) l'anneau ainsi défini. Le neutre multiplicatif de l'anneau A est l'endomorphisme identique de V. Comme au point a), considérons le A-module à gauche A.

D'après un théorème du chapitre Module sur un anneau/Définitions (détermination d'un homomorphisme par ses valeurs en les éléments d'une base), il existe un et un seul endomorphisme de V tel que

pour tout pair
et pour tout impair.

De même, il existe un et un seul endomorphisme de V tel que

pour tout impair
et pour tout pair.

Prouver que et forment une base (à deux éléments) du A-module à gauche A. (D'après le point a), il en résulte que pour tout nombre naturel , le A-module à gauche A admet une base à éléments.)

Exercice 2-14[modifier | modifier le wikicode]

Soit .

  1. Expliciter sa base canonique .
  2. Soient , . Déterminer la matrice de dans et son déterminant. En déduire que est une base de .
  3. Pour , trouver par deux méthodes différentes l'expression du polynôme dans la base .