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Examen de L3, université Paul Sabatier, 17/05/2017, durée : 3 h.
Dans le plan muni d'un repère orthonormé , on se propose d'étudier la courbe
paramétrée
Étudier les éventuelles symétries de la courbe (dans chaque cas, expliciter la transformation géométrique qui laisse la courbe invariante et la transformation associée du domaine de définition).
Déterminer les éventuels points singuliers de et les étudier. Dessiner l'allure de la courbe au voisinage de ces points dans le repère donné.
Étudier les branches infinies de et déterminer ses éventuelles asymptotes.
Préciser l'allure de au voisinage de l'origine.
Donner l'allure de sur un dessin.
Solution
est définie sur et et . On en déduit que où est la symétrie orthogonale par rapport à la droite d'équation .
et . Donc
Donc a exactement un point critique, et il est en . De plus, et donc en posant et , on a avec . Comme , on en déduit que a un point de rebroussement de première espèce en , dirigé par .
On a . Pour assez grand, et . Ainsi , et admet la direction pour direction asymptotique en . De plus donc . La courbe a donc des branches paraboliques de direction au voisinage de et .
. et donc passe deux fois par l'origine, une fois avec une tangente horizontale, une fois avec une tangente verticale.
On considère la fonction donnée par la relation , et l'on note où est la norme euclidienne canonique de .
Déterminer les points critiques de .
Étudier les extrema locaux de .
Solution
En notant et , on a . Ainsi Donc a trois points critiques : , et .
Étude de . . Cette matrice a deux valeurs propres strictement positives : la forme bilinéaire associée est donc de signature et l'on en déduit que est un minimum local. Comme par ailleurs, et , ce minimum est aussi global.
Étude de . On remarque que . Donc et sont de même nature : il s'agit encore d'un minimum global.
Étude de . . Cette matrice a deux valeurs propres non nulles et opposées : la forme bilinéaire associée est donc de signature et l'on en déduit que est un point col.
Montrer qu'il existe des voisinages et de dans tels que, pour tout , le système
admet une unique solution dans .
Montrer que l'équation détermine localement comme une fonction de au voisinage de , c'est-à-dire qu'il existe une fonction , de classe , définie sur un voisinage de et à valeurs dans un voisinage de , telle que
.
Calculer .
Solution
Soit l'application définie par . est comme composée de fonctions , et
.
En particulier, est inversible, donc par le théorème d'inversion locale, il existe un voisinage de et un voisinage de tels que soit un difféomorphisme de sur . En particulier,
.
Posons . est , et d'après les calculs précédents, est inversible. Par le théorème des fonctions implicites, on en déduit qu'il existe un voisinage de , un voisinage de , et une application , tels que
Étant données deux fonctions continues et de dans , on considère l'équation différentielle
.
On suppose dans cette question que et sont des constantes. Expliciter alors, en discutant suivant et , toutes les solutions réelles de .
Dans la suite, on ne suppose plus et constantes. En posant
,
donner une équation linéaire de la forme
équivalente à .
Justifier que pour tout et , il existe une unique solution maximale de telle que et . Que dire de son domaine de définition ?
Soit une solution de . On suppose qu'il existe tel que et . Montrer que est l'application nulle. En déduire qu'une solution non constamment nulle n'a que des zéros isolés.
Soit et deux solutions non constamment nulles de . On suppose qu'il existe tel que . On pose et . Montrer que . En déduire que deux solutions linéairement indépendantes n'ont pas de zéro commun.
Solution
Si : en posant , on a
.
Si : en posant , on a
.
Si : on a
.
En posant et , on obtient bien .
L'équation différentielle est une équation linéaire à coefficients continus définis sur , donc par toute condition initiale il passe une et une seule solution maximale, et celle-ci est définie sur .
On remarque que est solution de l'équation et satisfait les mêmes conditions initiales en que : par unicité des solutions, on en déduit que . Ainsi, si une solution s'annule en un point , alors . Au voisinage de on a avec . Puisque , il existe un voisinage de sur lequel ne s'annule pas, et donc un voisinage de sur lequel ne s'annule qu'en .
est une solution de . De plus et . On en déduit que , et donc que et ne sont pas linéairement indépendantes. Ainsi, si et sont linéairement indépendantes, elles n'ont pas de zéro commun.