Leçons de niveau 15

Calcul différentiel/Exercices/Examen

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Examen
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Exercices no6
Leçon : Calcul différentiel

Ces exercices sont de niveau 15.

Exo préc. :Équations différentielles non linéaires
Exo suiv. :Courbes paramétrées
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Calcul différentiel/Exercices/Examen
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Examen de L3, université Paul Sabatier, 17/05/2017, durée : 3 h.

Ex. I[modifier | modifier le wikicode]

Dans le plan muni d'un repère orthonormé , on se propose d'étudier la courbe paramétrée

  1. Étudier les éventuelles symétries de la courbe (dans chaque cas, expliciter la transformation géométrique qui laisse la courbe invariante et la transformation associée du domaine de définition).
  2. Déterminer les éventuels points singuliers de et les étudier. Dessiner l'allure de la courbe au voisinage de ces points dans le repère donné.
  3. Étudier les branches infinies de et déterminer ses éventuelles asymptotes.
  4. Préciser l'allure de au voisinage de l'origine.
  5. Donner l'allure de sur un dessin.

Ex. II[modifier | modifier le wikicode]

On considère la fonction donnée par la relation , et l'on note est la norme euclidienne canonique de .

  1. Déterminer les points critiques de .
  2. Étudier les extrema locaux de .

Ex. III[modifier | modifier le wikicode]

  1. Montrer qu'il existe des voisinages et de dans tels que, pour tout , le système
    admet une unique solution dans .
  2. Montrer que l'équation détermine localement comme une fonction de au voisinage de , c'est à dire qu'il existe une fonction , de classe , définie sur un voisinage de et à valeurs dans un voisinage de , telle que
    .
    Calculer .

Ex. IV[modifier | modifier le wikicode]

Étant données deux fonctions continues et de dans , on considère l'équation différentielle

.
  1. On suppose dans cette question que et sont des constantes. Expliciter alors, en discutant suivant et , toutes les solutions réelles de .
  2. Dans la suite, on ne suppose plus et constantes. En posant
    ,
    donner une équation linéaire de la forme
    équivalente à .
  3. Justifier que pour tout et , il existe une unique solution maximale de telle que et . Que dire de son domaine de définition ?
  4. Soit une solution de . On suppose qu'il existe tel que et . Montrer que est l'application nulle.
    En déduire qu'une solution non constamment nulle n'a que des zéros isolés.
  5. Soit et deux solutions non constamment nulles de . On suppose qu'il existe tel que . On pose et . Montrer que .
    En déduire que deux solutions linéairement indépendantes n'ont pas de zéro commun.