Calcul différentiel/Exercices/Examen
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Examen de L3, université Paul Sabatier, 17/05/2017, durée : 3 h.
Ex. I[modifier | modifier le wikicode]
Dans le plan muni d'un repère orthonormé , on se propose d'étudier la courbe paramétrée
- Étudier les éventuelles symétries de la courbe (dans chaque cas, expliciter la transformation géométrique qui laisse la courbe invariante et la transformation associée du domaine de définition).
- Déterminer les éventuels points singuliers de et les étudier. Dessiner l'allure de la courbe au voisinage de ces points dans le repère donné.
- Étudier les branches infinies de et déterminer ses éventuelles asymptotes.
- Préciser l'allure de au voisinage de l'origine.
- Donner l'allure de sur un dessin.
Solution
- est définie sur et et . On en déduit que où est la symétrie orthogonale par rapport à la droite d'équation .
- et . DoncDonc a exactement un point critique, et il est en .
De plus, et donc en posant et , on a avec . Comme , on en déduit que a un point de rebroussement de première espèce en , dirigé par . - On a . Pour assez grand, et .
Ainsi , et admet la direction pour direction asymptotique en .
De plus donc . La courbe a donc des branches paraboliques de direction au voisinage de et . - . et donc passe deux fois par l'origine, une fois avec une tangente horizontale, une fois avec une tangente verticale.
Ex. II[modifier | modifier le wikicode]
On considère la fonction donnée par la relation , et l'on note où est la norme euclidienne canonique de .
- Déterminer les points critiques de .
- Étudier les extrema locaux de .
Solution
- En notant et , on a
.
Ainsi
Donc a trois points critiques : , et . -
- Étude de . . Cette matrice a deux valeurs propres strictement positives : la forme bilinéaire associée est donc de signature et l'on en déduit que est un minimum local.
Comme par ailleurs, et , ce minimum est aussi global. - Étude de . On remarque que . Donc et sont de même nature : il s'agit encore d'un minimum global.
- Étude de . . Cette matrice a deux valeurs propres non nulles et opposées : la forme bilinéaire associée est donc de signature et l'on en déduit que est un point col.
- Étude de . . Cette matrice a deux valeurs propres strictement positives : la forme bilinéaire associée est donc de signature et l'on en déduit que est un minimum local.
Ex. III[modifier | modifier le wikicode]
- Montrer qu'il existe des voisinages et de dans tels que, pour tout , le systèmeadmet une unique solution dans .
- Montrer que l'équation détermine localement comme une fonction de au voisinage de , c'est-à-dire qu'il existe une fonction , de classe , définie sur un voisinage de et à valeurs dans un voisinage de , telle que.Calculer .
Solution
- Soit l'application définie par .
est comme composée de fonctions , et.En particulier, est inversible, donc par le théorème d'inversion locale, il existe un voisinage de et un voisinage de tels que soit un difféomorphisme de sur . En particulier,. - Posons . est , et d'après les calculs précédents, est inversible. Par le théorème des fonctions implicites, on en déduit qu'il existe un voisinage de , un voisinage de , et une application , tels que.On a alors , donc en dérivant par rapport à :.En , on obtient , qui montre que .
Ex. IV[modifier | modifier le wikicode]
Étant données deux fonctions continues et de dans , on considère l'équation différentielle
.
- On suppose dans cette question que et sont des constantes. Expliciter alors, en discutant suivant et , toutes les solutions réelles de .
- Dans la suite, on ne suppose plus et constantes. En posant,donner une équation linéaire de la formeéquivalente à .
- Justifier que pour tout et , il existe une unique solution maximale de telle que et . Que dire de son domaine de définition ?
- Soit une solution de . On suppose qu'il existe tel que et . Montrer que est l'application nulle.
En déduire qu'une solution non constamment nulle n'a que des zéros isolés. - Soit et deux solutions non constamment nulles de . On suppose qu'il existe tel que . On pose et . Montrer que .
En déduire que deux solutions linéairement indépendantes n'ont pas de zéro commun.
Solution
-
- Si : en posant , on a.
- Si : en posant , on a.
- Si : on a.
- Si : en posant , on a
- En posant et , on obtient bien .
- L'équation différentielle est une équation linéaire à coefficients continus définis sur , donc par toute condition initiale il passe une et une seule solution maximale, et celle-ci est définie sur .
- On remarque que est solution de l'équation et satisfait les mêmes conditions initiales en que : par unicité des solutions, on en déduit que .
Ainsi, si une solution s'annule en un point , alors . Au voisinage de on a avec . Puisque , il existe un voisinage de sur lequel ne s'annule pas, et donc un voisinage de sur lequel ne s'annule qu'en . - est une solution de . De plus et . On en déduit que , et donc que et ne sont pas linéairement indépendantes.
Ainsi, si et sont linéairement indépendantes, elles n'ont pas de zéro commun.