Leçons de niveau 14

Équation différentielle/Exercices/Équation différentielle du premier ordre

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Équation différentielle/Exercices/Équation différentielle du premier ordre
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Cette page ne traite que des équations différentielles du premier ordre non linéaires.

Pour les équations différentielles du premier ordre linéaires, voir ce cours et ces exercices.

Équation de Riccati[modifier | modifier le wikicode]

Wikipédia possède un article à propos de « Équation de Riccati ».

Résoudre .

On se propose d'intégrer, sur l'intervalle le plus grand possible contenu dans , l'équation différentielle .

  1. Déterminer un réel tel que x soit une solution particulière de .
  2. Montrer que le changement de fonction inconnue transforme en l'équation différentielle linéaire .
  3. Trouver toutes les solutions de sur .
  4. Donner toutes les solutions de définies sur .

Équation de Bernoulli[modifier | modifier le wikicode]

Wikipédia possède un article à propos de « Équation différentielle de Bernoulli ».

Soient deux fonctions continues, et une solution de

.

1.  Si , déterminer par un changement convenable de fonction inconnue.

2.  Que se passe-t-il si  ?

3.  Résoudre .

4  Résoudre .

5.

  1. Résoudre .
  2. Étudier le comportement (intervalle de définition, monotonie, limites) des solutions définies en et telles que .
  3. Soient , , et . Résoudre le système
    .

6  Résoudre est un entier .

7.  Résoudre (poser ).

Méthode des variables séparables[modifier | modifier le wikicode]

Wikipédia possède un article à propos de « Séparation des variables ».

1. .

2. , .

3.

4. .

5.

Problème d'origine géométrique[modifier | modifier le wikicode]

On se place dans le plan muni d'un repère orthonormé. Déterminer l'ensemble des courbes telles que si est un point de la courbe et désigne l'intersection de la normale en à la courbe et de l'axe , le milieu de est sur la parabole d'équation .

Changements de fonction et de variable[modifier | modifier le wikicode]

On cherche à résoudre une équation différentielle de la forme , avec .

  1. Soit la solution de . En prenant le changement de variable et le changement de fonction , que devient l'équation ?
  2. En prenant comme nouvelle fonction , montrer que l'équation peut se mettre sous la forme , pour une fonction (déduite de ) à déterminer.
  3. En déduire l'expression de en fonction de .
  4. Application : résoudre .