Fonction exponentielle/Annexe/Démonstration que la somme infinie de tous les inverses des k! est égale à e

Introduction

Le nombre e est appelé nombre de Neper. C'est la valeur en 1 de la fonction exponentielle : e = exp 1.

On cherche à démontrer que $\lim _{n\to \infty }\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{k!}}=\mathrm {e}$ et plus généralement, que pour tout réel $a$,

$\lim _{n\to \infty }\sum _{k=0}^{n}{\frac {a^{k}}{k!}}=\exp a$,

en utilisant que

• la fonction exponentielle vérifie
  $\exp '=\exp ,\quad \exp(0)=1\quad {\text{et}}\quad \exp(a)\exp(-a)=1$ ;
• elle est positive et croissante.

Cette démonstration peut se faire avec des outils mathématiques du niveau de Terminale scientifique.

Démonstration

On se place dans le cas $a\geq 0$, pour alléger l'écriture mais englober le cas particulier $a=1$ (la preuve dans le cas $a\leq 0$ serait analogue).

Rappelons tout d’abord que par convention, $0!=1$ et pour tout réel $x$, $x^{0}=1$.

On pose, pour tout réel $x$ et tout entier naturel $n$ :

$f_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {x^{k}}{k!}}$ (donc $f_{n}(0)=1$ et $f_{n+1}'=f_{n}$)

puis

$g_{n}(x)=f_{n}(x)\exp(-x)$.

Alors, $g_{n}(0)=1$ et pour tout entier $n>0$,

$g_{n}'(x)=g_{n-1}(x)-g_{n}(x)=-{\tfrac {x^{n}}{n!}}\exp(-x)$

donc

${\begin{aligned}{\frac {|f_{n}(a)-\exp a|}{\exp a}}&=\left|g_{n}(a)-g_{n}(0)\right|\\&=\int _{0}^{a}{\tfrac {x^{n}}{n!}}\exp(-x)\,{\rm {d}}x\\&\leq \int _{0}^{a}{\tfrac {x^{n}}{n!}}\,{\rm {d}}x\\&={\frac {a^{n+1}}{(n+1)!}}.\end{aligned}}$

Or (par un théorème de comparaison)

$\lim _{n\to \infty }{\frac {a^{n+1}}{(n+1)!}}=0$

donc

$\lim _{n\to \infty }f_{n}(a)=\exp a$,

ce qu’il fallait démontrer.

Corollaire : irrationalité de e

Début d'un lemme

Lemme

La suite $(u_{n})$ définie par $u_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{k!}}$ vérifie :

$\forall n\in \mathbb {N} ^{*}\quad 0<n!\,(\mathrm {e} -u_{n})<1$.

Fin du lemme

Démonstration

Soit $n\in \mathbb {N} ^{*}$. La minoration par 0 étant immédiate, il suffit de montrer la majoration par 1.

Voici quatre preuves. Les trois premières utilisent simplement que $u_{m}\to \mathrm {e}$ ; la dernière, plus rapide, exploite l'inégalité de la section précédente, qui a permis de démontrer cette convergence.

1. Soit $(a_{n})_{n\geq 2}$ une suite réelle positive telle que

   $\forall n\geq 2\quad a_{n}<n-1\quad {\text{et}}\quad (n+1)a_{n}-a_{n+1}\geq 1$.

   (Par exemple : $a_{n}=C\in \left[1/2,1\right[$, ou encore : $a_{n}=1/n$, qui correspond aux deux suites adjacentes classiques convergeant vers e.)

   Alors, $n!\,(\mathrm {e} -u_{n})\leq {\frac {1+a_{n+1}}{n+1}}<1$ car pour tout $m>n$,

   $n!\,(u_{m}-u_{n})=\sum _{k=n+1}^{m}{\frac {n!}{k!}}\leq {\frac {1}{n+1}}+n!\,\sum _{k=n+2}^{m}\left({\frac {a_{k-1}}{(k-1)!}}-{\frac {a_{k}}{k!}}\right)\leq {\frac {1+a_{n+1}}{n+1}}$, par télescopage.

2. On a $n!\,(\mathrm {e} -u_{n})\leq {\frac {n+2}{(n+1)^{2}}}={\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n(n+1)^{2}}}<1$ (le même majorant qu'en choisissant $a_{n}=1/n$ dans la première preuve) car pour tout $m\geq n$,

   $n!\,(u_{m}-u_{n})=\sum _{k=n+1}^{m}{\frac {n!}{k!}}\leq {\frac {1}{n+1}}\sum _{k=n+1}^{m}{\frac {1}{(n+2)^{k-n-1}}}\leq {\frac {1}{(n+1)\left(1-{\frac {1}{n+2}}\right)}}$,

   où la dernière inégalité vient du calcul d'une somme de termes consécutifs d'une suite géométrique.

3. (Inspiré de A. R. G. MacDivitt et Yukio Yanagisawa, « An elementary proof that e is irrational », The Mathematical Gazette, vol. 71, n^o  457, 1987) :

   On a $n!\,(\mathrm {e} -u_{n})\leq {\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n(n+1)(n+2)}}<1$ (le même majorant qu'en choisissant $a_{n}={\frac {n}{n^{2}-1}}$ dans la première preuve) car pour tout $m\geq n+2$,

   ${\begin{aligned}(n+1)!\,(u_{m}-u_{n})&=\sum _{k=n+1}^{m}{\frac {(n+1)!}{k!}}\\&\leq 1+{\frac {1}{n+2}}+\sum _{k=n+3}^{m}{\frac {n!}{(k-1)!}}\\&=1+{\frac {1}{n+2}}-{\frac {1}{n+1}}+\sum _{k=n+2}^{m}{\frac {n!}{(k-1)!}}\\&=1-{\frac {1}{(n+1)(n+2)}}+n!\,(u_{m-1}-u_{n}).\end{aligned}}$

4. • La majoration pour $n=1$, équivalente à $\mathrm {e} <3$, se déduit par exemple de

     $\mathrm {e} ^{-1}=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}>\sum _{k=0}^{3}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}={\frac {1}{3}}$.

   • L'inégalité de la section précédente fournit alors, pour $n\geq 2$, une majoration grossière mais suffisante :

     $n!\,(\mathrm {e} -u_{n})\leq {\frac {\mathrm {e} }{n+1}}\leq {\frac {\mathrm {e} }{3}}<1$.

 

Remarquons que $n!\,u_{n}=\sum _{k=0}^{n}n(n-1)\dots (k+1)$ est entier, donc le lemme signifie que :

• cet entier n'est autre que la partie entière de $n!\,\mathrm {e}$ ;
• le réel $n!\,\mathrm {e}$ n'est pas entier.

Corollaire

Le nombre $\mathrm {e}$ est irrationnel.

Démonstration

D'après ce qui précède, pour tout $q\in \mathbb {N} ^{*}$, on a $q!\,\mathrm {e} \notin \mathbb {Z}$ et a fortiori, $q\,\mathrm {e} \notin \mathbb {Z}$.

Autrement dit : $\mathrm {e}$ n'est égal à aucun rationnel ${\frac {p}{q}}\quad (p\in \mathbb {Z} ,\;q\in \mathbb {N} ^{*})$.

 

On peut même démontrer de façon élémentaire que $\mathrm {e}$ n'est pas algébrique de degré ≤ 2 : Intégration en mathématiques/Devoir/e est-il un rationnel ?.

En fait, $\mathrm {e}$ est même transcendant, mais cela ne sera démontré qu'au niveau 16 : Introduction à la théorie des nombres/Annexe/Démonstration de la transcendance de e et pi.