Série numérique/Produit de Cauchy
Lorsque est absolument convergente et est convergente, leur produit de Cauchy est une série convergente, et l'on a
- .
On suppose que
- .
On a
- .
Soit . Pour et assez grands,
On en déduit, en notant un majorant de et de tous les :
- .
- Remarque
- Réciproquement, si converge pour toute série convergente , alors converge : cf. cet exercice (de niveau 16 ou 17).
Le produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes est une série absolument convergente.
Voir les cours sur : Série exponentielle et Série géométrique.
- Soient , et
- .
- Alors, est absolument convergente et .
- Soient , et .
- Alors, est absolument convergente et .
La suite est bornée donc la série entière est définie non seulement pour (par hypothèse) mais aussi pour (avec convergence absolue). De plus, d'après le théorème de convergence radiale d'Abel, est continue sur .
De même pour et .
Or d'après le théorème de Mertens « faible » (le cas particulier du produit de deux séries absolument convergentes),
donc (par continuité)
- .
Reprenons le premier exemple ci-dessus. Une autre façon de le traiter est de prouver d'abord la convergence de par le test de convergence pour les séries alternées. On peut en effet démontrer que et , donc la suite est bien décroissante à partir d'un certain rang et de limite nulle.
Une fois cette convergence démontrée, la valeur se déduit du théorème ci-dessus.