Leçons de niveau 15

Série entière/Propriétés

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Propriétés
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Chapitre no 3
Leçon : Série entière
Chap. préc. :Définition formelle - rayon de convergence
Chap. suiv. :Développement en série entière
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Propriétés usuelles des rayons de convergence[modifier | modifier le wikicode]

De la définition précédente, on déduit directement les propriétés suivantes.



Début d’un théorème


Fin du théorème


Début d’un théorème


Fin du théorème

Nature de la convergence[modifier | modifier le wikicode]

Les théorèmes suivants permettent de caractériser plus précisément la nature de la convergence des séries entières dans leur disque de convergence. On considère dans cette partie une série entière de rayon de convergence .

Début d’un théorème


Fin du théorème
Panneau d’avertissement Ceci n'implique pas la convergence uniforme sur . Un contre-exemple classique est , qui ne converge pas uniformément sur . Cependant :
Début d’un théorème


Fin du théorème

C'est le cas par exemple pour la série entière .

Propriétés algébriques[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème


Fin du théorème


Début d’un théorème


Fin du théorème


Début d’un théorème


Fin du théorème

La démonstration est claire par produit de Cauchy.

Panneau d’avertissement Dans le cadre , on n'a pas d'information supplémentaire sur la convergence de la série entière.
Début de l'exemple


Fin de l'exemple


Propriétés topologiques[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème


Fin du théorème

Dérivation, intégration[modifier | modifier le wikicode]


Ainsi, les opérateurs P et D vérifient : .

Début d’un théorème


Fin du théorème








Début de l'exemple


Fin de l'exemple