Série entière/Propriétés

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Propriétés usuelles des rayons de convergence

De la définition précédente, on déduit directement les propriétés suivantes.

Propriétés

Soient $\sum a_{n}z^{n}$ une série entière et $R$ son rayon de convergence.

• $\sum a_{n}z_{0}^{n}$ converge $\Rightarrow (a_{n}z_{0}^{n})_{n\in \mathbb {N} }$ bornée $\Rightarrow R\geq |z_{0}|$.
• $(a_{n}z_{0}^{n})_{n\in \mathbb {N} }$ non bornée $\Rightarrow \sum a_{n}z_{0}^{n}$ diverge $\Rightarrow R\leq |z_{0}|$.
• $R$ ne change pas si l'on modifie un nombre fini de coefficients $a_{n}$, ni si l'on multiplie chaque $a_{n}$ par $n^{\alpha }$, pour un réel fixé $\alpha$.

Début d’un théorème

Théorème

Soit $\sum a_{n}z^{n}$ et $\sum b_{n}z^{n}$ deux séries entières, de rayons de convergence respectifs $R_{a}$ et $R_{b}$.

• $a_{n}=O(b_{n})\Rightarrow R_{a}\geq R_{b}$.
• $a_{n}\sim b_{n}\Rightarrow R_{a}=R_{b}$.

Fin du théorème

Début d’un théorème

Théorème

Soit $\sum a_{n}z^{n}$ une série entière telle que $\forall n\in \mathbb {N} \quad a_{n}\neq 0$. Si $\exists \lim _{n\rightarrow +\infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=\ell \in {\overline {\mathbb {R} _{+}}}$ alors $R={\frac {1}{\ell }}$.

Fin du théorème

'Démonstration'

$\sum a_{n}0^{n}$ est toujours convergente, on peut donc se limiter à l'étude du cas $z\neq 0$. Alors ${\frac {a_{n+1}z^{n+1}}{a_{n}z^{n}}}$ converge pour $n\rightarrow +\infty$ vers $\ell |z|$. Par théorème de d'Alembert, $\ell |z|<1$ implique l'absolue convergence (acv) et $\ell |z|>1$ la grossière divergence (gdv) de la série. Donc :

$\forall z\in \mathbb {C} \quad |z|<{\frac {1}{\ell }}\Rightarrow$ acv et $|z|>{\frac {1}{\ell }}\Rightarrow$ gdv.

Par définition de $R$, $R={\frac {1}{\ell }}$.

 

Nature de la convergence

Les théorèmes suivants permettent de caractériser plus précisément la nature de la convergence des séries entières dans leur disque de convergence. On considère dans cette partie une série entière $\sum a_{n}z^{n}$ de rayon de convergence $R$.

Début d’un théorème

Théorème

La série entière converge normalement (donc uniformément) sur tout disque fermé inclus dans le disque ouvert $\Delta _{R}=\{z\in \mathbb {C} \mid |z|<R\}$, et la somme est donc continue sur ce disque.

Fin du théorème

Ceci n'implique pas la convergence uniforme sur $\Delta _{R}$. Un contre-exemple classique est $\sum z^{n}$, qui ne converge pas uniformément sur $\Delta _{1}$. Cependant :

Début d’un théorème

Théorème

Si la série numérique $\sum |a_{n}|R^{n}$ converge, alors la série entière converge normalement sur le disque fermé ${\overline {\Delta _{R}}}$, et la somme est donc définie continue sur ce disque.

Fin du théorème

C'est le cas par exemple pour la série entière $\sum _{n\geq 1}{\frac {z^{n}}{n^{2}}}$.

Propriétés algébriques

Début d’un théorème

Théorème

Soit $\sum a_{n}z^{n}$ et $\sum b_{n}z^{n}$ deux séries entières de rayon de convergence respectif $R_{a}$ et $R_{b}$. La série entière $\sum (a_{n}+b_{n})z^{n}$ est de rayon de convergence $R_{0}\geq \min(R_{a},R_{b})$. De plus, si $R_{a}\neq R_{b}$ alors $R_{0}=\min(R_{a},R_{b})$. Enfin :

$\forall z\in \mathbb {C} \quad |z|<\min(R_{a},R_{b})\Rightarrow \sum _{n=0}^{\infty }(a_{n}+b_{n})z^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}+\sum _{n=0}^{+\infty }b_{n}z^{n}$.

Fin du théorème

Début d’un théorème

Théorème

Soit $\sum a_{n}z^{n}$ une série entière de rayon de convergence $R$ et $\lambda \in \mathbb {R} ^{*}$. La série entière $\sum (\lambda a_{n})z^{n}$ a même rayon de convergence $R$ et

$\forall z\in \mathbb {C} \quad |z|<R\Rightarrow \sum _{n=0}^{\infty }(\lambda a_{n})z^{n}=\lambda \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}$.

Fin du théorème

Début d’un théorème

Théorème

Soit $\sum a_{n}z^{n}$ et $\sum b_{n}z^{n}$ deux séries entières de rayon de convergence respectif $R_{a}$ et $R_{b}$. La série entière $\sum c_{n}z^{n}$ où $c_{n}=\sum _{p+q=n}a_{p}b_{q}$ est de rayon de convergence $R_{0}\geq \min(R_{a},R_{b})$ et

$\forall z\in \mathbb {C} \quad |z|<\min(R_{a},R_{b})\Rightarrow \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}=\sum _{p=0}^{\infty }a_{p}z^{p}\;\sum _{q=0}^{\infty }b_{q}z^{q}$.

Fin du théorème

La démonstration est claire par produit de Cauchy.

Dans le cadre $R_{a}=R_{b}$, on n'a pas d'information supplémentaire sur la convergence de la série entière.

Début de l'exemple

Exemple

Le rayon de convergence des deux séries entières $\sum z^{n}$ et $\sum -z^{n}$ est 1, tandis que celui de $\sum z^{n}+\sum -z^{n}=\sum 0z^{n}$ est infini.

Fin de l'exemple

Propriétés topologiques

Début d’un théorème

Théorème

Si une série entière $\sum a_{n}z^{n}$ converge en un point $z_{0}$, alors la convergence est uniforme sur $[0,z_{0}]$ (donc la restriction à ce segment de la fonction somme de la série est continue).

Fin du théorème

'Démonstration'

Par changement de variable, on se ramène facilement (juste pour alléger les notations) au cas $z_{0}=1$.

Par hypothèse, $\sum a_{n}x^{n}$ converge simplement sur $\left[0,1\right]$, et l'on veut montrer que cette convergence est uniforme, c'est-à-dire que la convergence vers $0$ du reste $R_{n}(x):=\sum _{k=n}^{\infty }a_{k}x^{k}$ est uniforme par rapport à $x\in \left[0,1\right]$.

Soit $\varepsilon >0$. Puisque $R_{n}:=R_{n}(1)\to 0$, il existe un entier $N_{\varepsilon }$ tel que

$\forall j>p\geq N_{\varepsilon }\quad \left|R_{p}-R_{j}\right|<\varepsilon$.

Pour tout $x\in \left[0,1\right]$, la transformation d'Abel donne alors : $\forall n\geq p\geq N_{\varepsilon }$

${\begin{aligned}\left|\sum _{p\leq k\leq n}x^{k}a_{k}\right|&=\left|x^{n}(R_{p}-R_{n+1})+\sum _{p\leq k<n}(x^{k+1}-x^{k})(R_{k+1}-R_{p})\right|\\&\leq x^{n}\varepsilon +\sum _{p\leq k<n}(x^{k}-x^{k+1})\varepsilon \\&=\varepsilon x^{p}\leq \varepsilon .\end{aligned}}$

Par passage à la limite quand $n\to +\infty$, on en déduit :

$\forall p\geq N_{\varepsilon }\quad \forall x\in \left[0,1\right]\quad \left|R_{p}(x)\right|\leq \varepsilon$,

ce qui est la convergence uniforme annoncée.

 

Dérivation, intégration

Définition

Soit $\sum a_{n}z^{n}$ une série entière.

• On appelle série entière dérivée la série entière $\sum _{n\geq 1}na_{n}z^{n-1}$ identifiée à $\sum (n+1)a_{n+1}z^{n}$. On note D l'opérateur qui à une série entière associe sa série dérivée.
• On appelle série entière primitive la série entière $\sum {\frac {a_{n}}{n+1}}z^{n+1}$ identifiée à $\sum _{n\geq 1}{\frac {a_{n-1}}{n}}z^{n}$. On note P l'opérateur qui à une série entière associe sa série primitive.

Ainsi, les opérateurs P et D vérifient : $D\circ P=Id_{\mathbb {K} [[X]]}$.

Début d’un théorème

Théorème

Soit $\sum a_{n}z^{n}$ une série entière de rayon de convergence $R$. Alors ses séries dérivée et primitive ont même rayon de convergence $R$.

Fin du théorème

Proposition : Dérivation d'une série entière

Soit $\sum a_{n}z^{n}$ une série entière, de rayon de convergence $R$ strictement positif, de somme S. Alors S est de classe ${\mathcal {C}}^{1}$ sur $]-R,R[$ et :

$\forall x\in ]-R,R[,S'(x)=D(S)(x)$

Proposition : Dérivation d'ordre supérieur d'une série entière

Soit $\sum a_{n}z^{n}$ une série entière, de rayon de convergence $R$ strictement positif, de somme S. Alors S est de classe ${\mathcal {C}}^{\infty }$ sur $]-R,R[$ et :

$\forall p\in \mathbb {N} ,\forall x\in ]-R,R[,S^{(p)}(x)=\sum _{n=p}^{+\infty }{\frac {n!}{(n-p)!}}a_{n}x^{n-p}=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {(n+p)!}{n!}}a_{n+p}x^{n}$.

Proposition : Intégration d'une série entière

Soit $\sum a_{n}z^{n}$ une série entière, de rayon de convergence $R$ strictement positif, de somme S. Alors :

$\forall (a,b)\in ]-R,R[^{2},\int _{a}^{b}S(t)dt=\sum _{n=0}^{+\infty }a_{n}{\frac {a^{n+1}-b^{n+1}}{n+1}}$.

Début de l'exemple

Exemple

La série entière $\sum _{n\geq 0}(-1)^{n}z^{n}={\frac {1}{1+z}}$, de rayon de convergence 1, a pour primitive $\ln(1+z):=\sum _{n\geq 0}{\frac {(-1)^{n}z^{n+1}}{n+1}}=-\sum _{k\geq 1}{\frac {(-z)^{k}}{k}}$, de même rayon et nulle en 0. (Si $z\in \left]-1,1\right[$, cette définition coïncide donc avec le logarithme usuel.)

Fin de l'exemple