Espaces de Banach/Exercices/Théorème de Banach-Steinhaus
Exercice 5-1
[modifier | modifier le wikicode]On définit le produit de Cauchy de deux suites et de nombres complexes par : . On sait (théorème de Mertens) que si alors, pour toute série convergente , la série converge. Démontrer la réciproque.
Sur l'espace de Banach des suites convergentes (fermé dans ), les formes linéaires (avec par convention ) sont continues et et l'ensemble des tels que est tout entier, non maigre. Par conséquent (th. de Banach-Steinhaus) .
Exercice 5-2
[modifier | modifier le wikicode]Montrer par trois contre-exemples que dans le théorème de Banach-Steinhaus, on ne peut omettre aucune des hypothèses :
- l'espace de départ est complet ;
- les applications considérées sont continues ;
- les applications considérées sont linéaires.
- Sur l'espace des suites nulles à partir d'un certain rang (dont le complété pour la norme sup est l'espace des suites de limite nulle), la suite de formes linéaires continues converge simplement mais .
Autre exemple : on munit un e.v. de base d'une norme valant sur les et l'on pose si et sinon. - Prendre un seul opérateur non continu.
- Il faut donner un sens à la question. On peut chercher des applications continues et bornées sur la sphère ou la boule unité d'un Banach , mais telles que simplement avec non continue et/ou non bornée sur . Il suffit de définir les sur (on les étend facilement continûment à , de façon bornée sur , et même nulles au voisinage de ).
- Si l'on veut (sur ) bornée mais non continue, c'est facile (penser à sur , à dupliquer en miroir de à ).
- Si l'on veut non continue et non bornée, il suffit de la définir sur le cercle unité de par (et de prendre qui coïncide avec sur puis affine jusqu'à ).
- Si l'on veut continue mais non bornée, il faut de dimension infinie. On peut partir d'une application linéaire continue de norme non atteinte, par exemple : non atteint, car si et alors . Puis on compose par un homéomorphisme entre et , pour préserver la continuité mais obtenir une application non bornée. On l'approche facilement par des fonctions continues bornées en la composant par l'application qui remplace par lorsque .
Exercice 5-3
[modifier | modifier le wikicode]Soit l'espace des applications continues -périodiques de dans , muni de la norme sup. On rappelle que pour toute fonction , la -ième somme partielle de la série de Fourier est la convolée par le noyau de Dirichlet :
- .
Pour fixé, on note la norme de la forme linéaire . Montrer que :
- ;
- ;
- il existe dans une fonction dont la série de Fourier au point diverge ;
- Dans , l'ensemble des fonctions dont la série de Fourier en diverge est même dense.
- car . Pour avoir et , il faudrait que avec même signe que . Cela n'est pas possible avec continue, mais on peut faire en sorte que ce le soit en dehors d'intervalles suffisamment petits autour des points où change de signe (et interpoler affinement sur ces intervalles), pour rendre aussi proche qu'on veut de .
- (voir par exemple Série numérique/Exercices/Comparaison série-intégrale#Exercice 1).
- D'après le principe de la borne uniforme, si la suite (de formes linéaires continues sur un Banach) convergeait simplement, on aurait . Ce n'est pas le cas, donc il existe un pour lequel la série de Fourier en diverge.
- Le théorème de Banach-Steinhaus dit plus précisément que, puisque , il existe un ensemble comaigre (ou « résiduel » : c’est-à-dire contenant une intersection dénombrable d'ouverts denses ; une telle partie est dense d'après le théorème de Baire) de fonctions telles que . Pour ces fonctions, la série de Fourier en diverge.
Exercice 5-4
[modifier | modifier le wikicode]Soient l'espace de Banach des fonctions continues sur muni de la norme uniforme , et l'espace de Banach des suites (indexées par ) absolument sommables muni de la norme définie par . Pour tout , on note la suite des coefficients de Fourier de , définis par .
Pour tout , on note .
- Montrer que muni de la norme est un espace de Banach.
- On dit que est un ensemble de Sidon si . Montrer qu'alors, il existe une constante telle que pour tout , .
Indication : on pourra introduire la suite d'applications définies par si et 0 sinon, et appliquer Banach-Steinhaus.
- Dans le Banach , la partie est fermée car les formes linéaires sont continues (de norme ).
- Supposons que est de Sidon et montrons qu'alors, est continue de dans .
Pour tout , l'application linéaire est continue (de norme ) et (car dans , tout élément est limite de puisque ) donc la suite est bornée. D'après le théorème de Banach-Steinhaus, est donc fini.
Exercice 5-5
[modifier | modifier le wikicode]Soit une fonction satisfaisant la propriété (P) suivante :
- (P) .
On pose . Ainsi, est une application linéaire de dans lui-même.
- Donner un exemple de fonction qui ne vérifie pas (P).
- Montrer que si vérifie (P) alors est continue. (On pourra introduire les fonctions bornées et les opérateurs ).
- : est intégrable en 0 mais pas .
- Les vérifient évidemment (P) et les endomorphismes sont continus (de norme ). Ils convergent simplement vers car pour tout , (par convergence dominée). D'après le théorème de Banach-Steinhaus, la limite est donc continue.