Leçons de niveau 16

Espaces de Banach/Exercices/Théorème de Banach-Steinhaus

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Théorème de Banach-Steinhaus
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Exercices no5
Leçon : Espaces de Banach

Exercices de niveau 16.

Exo préc. :Topologie
Exo suiv. :Théorèmes de Banach-Schauder et du graphe fermé
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Espaces de Banach/Exercices/Théorème de Banach-Steinhaus
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Exercice 5-1[modifier | modifier le wikicode]

On définit le produit de Cauchy de deux suites et de nombres complexes par : . On sait (théorème de Mertens) que si alors, pour toute série convergente , la série converge. Démontrer la réciproque.

Exercice 5-2[modifier | modifier le wikicode]

Montrer par trois contre-exemples que dans le théorème de Banach-Steinhaus, on ne peut omettre aucune des hypothèses :

  1. l'espace de départ est complet ;
  2. les applications considérées sont continues ;
  3. les applications considérées sont linéaires.

Exercice 5-3[modifier | modifier le wikicode]

Soit l'espace des applications continues -périodiques de dans , muni de la norme sup. On rappelle que pour toute fonction , la -ième somme partielle de la série de Fourier est la convolée par le noyau de Dirichlet :

.

Pour fixé, on note la norme de la forme linéaire . Montrer que :

  1.  ;
  2.  ;
  3. il existe dans une fonction dont la série de Fourier au point diverge ;
  4. Dans , l'ensemble des fonctions dont la série de Fourier en diverge est même dense.

Exercice 5-4[modifier | modifier le wikicode]

Soient l'espace de Banach des fonctions continues sur muni de la norme uniforme , et l'espace de Banach des suites (indexées par ) absolument sommables muni de la norme définie par . Pour tout , on note la suite des coefficients de Fourier de , définis par .

Pour tout , on note .

  1. Montrer que muni de la norme est un espace de Banach.
  2. On dit que est un ensemble de Sidon si . Montrer qu'alors, il existe une constante telle que pour tout , .
    Indication : on pourra introduire la suite d'applications définies par si et 0 sinon, et appliquer Banach-Steinhaus.

Exercice 5-5[modifier | modifier le wikicode]

Soit une fonction satisfaisant la propriété (P) suivante :

(P) .

On pose . Ainsi, est une application linéaire de dans lui-même.

  1. Donner un exemple de fonction qui ne vérifie pas (P).
  2. Montrer que si vérifie (P) alors est continue. (On pourra introduire les fonctions bornées et les opérateurs ).