Leçons de niveau 13

Théorie des groupes/Exercices/Simplicité des groupes linéaires spéciaux projectifs

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Simplicité des groupes linéaires spéciaux projectifs
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Exercices no33
Leçon : Théorie des groupes
Chapitre du cours : Simplicité des groupes linéaires spéciaux projectifs

Ces exercices sont de niveau 13.

Exo préc. :Opérations transitives, plusieurs fois transitives et primitives
Exo suiv. :Intermède : groupes simples d'ordre 168
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Théorie des groupes/Exercices/Simplicité des groupes linéaires spéciaux projectifs
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Problème 1[modifier | modifier le wikicode]

Soit V un espace vectoriel de dimension finie n sur un corps commutatif F. On a vu dans le chapitre théorique que deux transvections de V sont toujours des éléments conjugués dans le groupe GL(V). On va prouver que si la dimension n de V est au moins égale à 3, deux transvections de V sont toujours des éléments conjugués dans le groupe SL(V).

a) Tout d'abord, on ne suppose pas n au moins égal à 3. Soit f un endomorphisme de V; on suppose qu'il existe un hyperplan H de V et un sous-espace W de dimension 1 de V tels que H ⋂ W = 0, que f(H) ⊆ H et que f(W) ⊆ W. Prouver que pour tout élément d de F, il existe un endomorphisme de V qui commute avec f et dont le déterminant est égal à d. (Indication : l'endomorphisme à trouver peut être choisi comme coïncidant avec l'identité sur H.)

b) On suppose que la dimension n de V est au moins égale à 3. Soient t et u deux transvections de V. À l'aide du point a), prouver que t et u sont des éléments conjugués dans le groupe SL(V).

Problème 2[modifier | modifier le wikicode]

a) Soit F un corps commutatif, soit a un élément de F qui ne soit le carré d'aucun élément de F. (Le cas se présente. Par exemple, dans le corps à 3 éléments, - 1 n'est pas un carré. De même; un élément négatif du corps des nombres rationnels n'est pas un carré dans ce corps.) Prouver que les matrices

et

sont des matrices élémentaires de transvection mais ne sont pas des éléments conjugués dans le groupe SL(2, F).

b) Soit F un corps commutatif ayant un élément qui n'est pas un carré dans F, soit V un espace vectoriel de dimension 2 sur F. Prouver qu'il existe deux transvections de V qui ne sont pas des éléments conjugués dans le groupe SL(V).

Problème 3[modifier | modifier le wikicode]

D'après le chapitre théorique, l'ordre du groupe PSL(3, 4) est 20160. Le groupe A8 est lui aussi d'ordre 20160. Nous allons prouver que ces deux groupes ne sont pas isomorphes, ce qui montrera que deux groupes simples finis peuvent avoir le même ordre sans être isomorphes. Puisque le groupe A8 comprend des éléments d'ordre 6, par exemple (1 2 3 4 5 6) (7 8), il suffit de prouver que PSL(3, 4) n'a pas d'élément d'ordre 6, ce qui sera fait dans la suite de l'exercice.

Rappels :

1° Dans un anneau commutatif où 1 + 1 = 0 (ce qu'on écrit aussi 2 = 0), on a
-1 = 1,
(x + y)2 = (x - y)2 = x2 + y2 = x2 - y2,
(x + y)4 = (x - y)4 = x4 + y4 = x4 - y4,
(x + y + z)2 = x2 + y2 + z2, etc.
C'est vrai en particulier dans le corps à 4 éléments F4 et dans l'anneau de polynômes F4[X].
2° Si F désigne un corps commutatif, si M désigne une matrice carrée ∈ Mn(F) (n nombre naturel > 0), si f(X) est un polynôme ∈ F[X] annulé par M, alors chaque facteur irréductible sur F du polynôme caractéristique de M est un des facteurs irréductibles sur F de f(X); cela se déduit facilement du fait que le polynôme minimal de M divise f(X) et du fait que le polynôme caractéristique et le polynôme minimal de M ont les mêmes facteurs irréductibles (voir P. Tauvel, Algèbre, 2e édition, 2010, théor. 11.9.8, p. 191).
3° Dans le corps (commutatif) fini Fq à q éléments, la (q - 1)-ième puissance de tout élément non nul est égale à 1 (ce qu'on peut déduire du théorème de Lagrange), donc le polynôme Xq-1 - 1 admet la décomposition en facteurs linéaires

a) Désignons par a et b les deux éléments de F4 distincts de 0 et de 1. Prouver les relations

a3 = b3 = 1,
X3 - 1 = (X -1) (X -a) (X -b).

b) Prouver que PSL(3, 4) n'a pas d'élément d'ordre 6.