Leçons de niveau 13

Théorie des groupes/Exercices/Groupes linéaires

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Groupes linéaires
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Exercices no10
Leçon : Théorie des groupes
Chapitre du cours : Groupes linéaires

Exercices de niveau 13.

Exo préc. :Produit direct et somme restreinte
Exo suiv. :Théorèmes de Sylow
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Théorie des groupes/Exercices/Groupes linéaires
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Problème 1[modifier | modifier le wikicode]

Soit K un corps commutatif, soient et des nombres naturels tels que Prouver que le groupe GL(m, K) peut être plongé dans le groupe GL(n, K) (c'est-à-dire qu'il existe un homomorphisme injectif de GL(m, K) dans GL(n, K), ce qui revient encore à dire que GL(n, K) a un sous-groupe isomorphe à GL(m, K).

Problème 2[modifier | modifier le wikicode]

Soit K un corps commutatif, soit un nombre naturel Prouver que GL(n, K) est abélien si et seulement si est égal à 1.
Indication : si , on peut utiliser le problème 1.

Problème 3[modifier | modifier le wikicode]

On suppose connue la notion de produit semi-direct, qui sera définie dans un chapitre ultérieur.

Soient un corps commutatif et un entier strictement positif. On note le sous-groupe des matrices de qui ont exactement un coefficient non nul sur chaque colonne et sur chaque ligne et le sous-groupe formé par les matrices diagonales.

  1. Montrer que est un produit semi-direct , où est le sous-groupe des matrices de permutation.
  2. On suppose que . Montrer que est le normalisateur de dans . Ce résultat subsiste-t-il quand  ?

Problème 4[modifier | modifier le wikicode]

Montrer que GL(2, 2) est isomorphe au groupe symétrique S3.