Théorie des groupes/Exercices/Groupes linéaires
Problème 1
[modifier | modifier le wikicode]Soit K un corps commutatif, soient et des nombres naturels tels que Prouver que le groupe GL(m, K) peut être plongé dans le groupe GL(n, K) (c'est-à-dire qu'il existe un homomorphisme injectif de GL(m, K) dans GL(n, K), ce qui revient encore à dire que GL(n, K) a un sous-groupe isomorphe à GL(m, K).
À toute matrice dans GL(m, K), faisons correspondre la matrice
- ,
où
- si ,
- si ,
- dans les autres cas, c'est-à-dire si un au moins des deux nombres est et que
On vérifie facilement que la matrice admet pour inverse la matrice , donc appartient à GL(n, K). On vérifie aussi que définit un homomorphisme injectif de GL(m, K) dans GL(n, K), ce qui démontre l'énoncé.
Remarques.
- Pour ne pas montrer séparément que est inversible, on pourrait montrer que définit un homomorphisme injectif du monoïde GL(m, K) dans le monoïde multiplicatif formé par les matrices à coefficient dans K. Puisque le monoïde de départ est un groupe, cet homomorphisme prend ses valeurs dans le groupe des éléments inversibles du monoïde d'arrivée, donc l'homomorphisme considéré induit un homomorphisme du groupe GL(m, K) dans le groupe GL(n, K).
- L'énoncé revient à dire que pour tout K-espace vectoriel V de dimension et tout K-espace vectoriel W de dimension , GL(W) peut être plongé dans GL(V). Pour le démontrer sans utiliser les matrices, on peut se ramener au cas où W est un sous-espace de V et compléter une base en une base de V, avec À tout automorphisme de W, on fait correspondre l'endomorphisme de V qui, pour chaque dans , applique sur et qui, pour chaque , applique sur lui-même. L'endomorphisme est un automorphisme de V (son inverse est ) et définit un homomorphisme injectif du groupe GL(W) dans le groupe GL(V).
Problème 2
[modifier | modifier le wikicode]Soit K un corps commutatif, soit un nombre naturel Prouver que GL(n, K) est abélien si et seulement si est égal à 1.
Indication : si , on peut utiliser le problème 1.
Si , GL(n, K) est formé par les matrices inversibles à coefficients dans K. On en tire facilement que GL(n, K) est isomorphe au groupe multiplicatif et est donc commutatif (puisque le corps K est supposé commutatif).
Il reste à prouver que si , alors le groupe GL(n, K) n'est pas abélien. D'après le problème 1, GL(n, K) a un sous-groupe isomorphe à GL(2, K), donc il suffit de prouver que GL(2, K) n'est pas abélien.
Posons
- et .
Alors A admet pour inverse la matrice et B la matrice .
Donc A et B appartiennent à GL(2, K). D'autre part,
- et (où 2 désigne l'élément 1 + 1 de K), donc , donc GL(2, K) n'est pas abélien.
Problème 3
[modifier | modifier le wikicode]On suppose connue la notion de produit semi-direct, qui sera définie dans un chapitre ultérieur.
Soient un corps commutatif et un entier strictement positif. On note le sous-groupe des matrices de qui ont exactement un coefficient non nul sur chaque colonne et sur chaque ligne et le sous-groupe formé par les matrices diagonales.
- Montrer que est un produit semi-direct , où est le sous-groupe des matrices de permutation.
- On suppose que . Montrer que est le normalisateur de dans . Ce résultat subsiste-t-il quand ?
- On vérifie aisément que , et .
- donc . Réciproquement, soit tel que . Choisissons dans un scalaire différent de 0 et de 1 et notons la matrice diagonale dont le premier terme diagonal est égal à et les suivants valent . Alors, en notant la base canonique de , . Or l'automorphisme a les mêmes valeurs propres que . Comme il est supposé diagonal dans la base canonique, ceci prouve que est colinéaire à l'un des . Il en va de même pour chaque , donc .
Pour , ce résultat disparaît : dans ce cas, donc est égal à tout , qui contient strictement .
Problème 4
[modifier | modifier le wikicode]Montrer que GL(2, 2) est isomorphe au groupe symétrique S3.
Ce groupe linéaire agit naturellement sur l'ensemble E des trois vecteurs non nuls de . Cette action est fidèle, et |GL(2, 2)| = 6 = |SE|. Le morphisme associé, de GL(2, 2) dans le groupe symétrique SE, est donc un isomorphisme.