Leçons de niveau 14

Théorie des groupes/Groupes diédraux

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Groupes diédraux
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Chapitre no 24
Leçon : Théorie des groupes
Chap. préc. :Produit semi-direct
Chap. suiv. :Holomorphe d'un groupe

Exercices :

Groupes diédraux
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Théorie des groupes/Groupes diédraux
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Les groupes diédraux comme produits semi-directs[modifier | modifier le wikicode]

Soient n un nombre naturel ≥ 1, A un groupe cyclique d'ordre n et B un groupe d'ordre 2. Ces deux groupes seront notés multiplicativement. Puisque A est commutatif, la permutation x ↦ x-1 de A est un automorphisme de A. Si nous désignons cet automorphisme par inv, nous avons inv2 = 1 (où 1 désigne l'automorphisme identique de A). On en tire facilement qu’il existe un et un seul homomorphisme de B dans Aut(A) (groupe des automorphismes de A) qui applique l'élément non neutre de B sur inv. Cet homomorphisme de B dans Aut(A), que nous désignerons par τ, peut être considéré comme une opération de B sur A par automorphismes (voir chapitre Produit semi-direct). L'application correspondante de B × A dans A est définie par si b = 1 et si b est l'élément de B distinct du neutre.

Supposons maintenant que A1 et A2 soient deux groupes cycliques d'ordre n et B1 et B2 deux groupes d'ordre 2. Soient τ1 et τ2 respectivement les homomorphismes de B1 dans Aut(A1) et de B2 dans Aut(A2) définis comme ci-dessus. Il existe un unique isomorphisme de B1 sur B2, que nous désignerons par σ. De plus, il existe au moins un isomorphisme de A1 sur A2 (voir le chapitre sur les groupes monogènes). Choisissons un tel isomorphisme, soit f.
Montrons que f et σ constituent un isomorphisme de l'opération τ1 sur l'opération τ2 (selon la terminologie introduite au chapitre produit semi-direct). Il s'agit de prouver que, pour tout élément a de A1 et tout élément b de B1,

Si b est l'élément neutre de B1, est égal à a et (puisque σ(b) est l'élément neutre de B2) est égal à f(a). Donc, si b est l'élément neutre de B1, les deux membres de (1) sont tous deux égaux à f(a), donc (1) est vraie dans ce cas.
Si maintenant b est l'élément de B1 distinct du neutre, est égal à a-1 et (puisque σ(b) est l'élément de B2 distinct du neutre) est égal à f(a)-1; ainsi, (1) revient à f(a-1) = f(a)-1 et est donc encore vraie.

Nous avons donc prouvé, comme annoncé, que f et σ constituent un isomorphisme de l'opération τ1 sur l'opération τ2. Il en résulte (voir le chapitre Produit semi-direct) que l’application (a, b) ↦ (f(a), σ(b)) est un isomorphisme de groupes du produit semi-direct (externe) sur le produit semi-direct (externe) . (On pourrait évidemment le vérifier plus directement.) Ceci montre que, dans les notations et hypothèses ci-dessus, la structure de groupe de est identique quel que soit le choix du groupe cyclique A d'ordre n et quel que soit le choix du groupe B d'ordre 2.




D'après ce qui précède, les groupes diédraux d'ordre 2n sont tous isomorphes entre eux. Pour ce motif, on dit couramment « le » groupe diédral d'ordre 2n, sans choisir explicitement un représentant particulier. « Le » groupe diédral d'ordre 2n se note D2n. (Certains auteurs[1] le notent Dn).

Remarque. Selon les définitions de certains auteurs[2], les groupes d'ordre 2 ne sont pas des groupes diédraux. Bourbaki[3] ne fait pas cette restriction.

Début d’un théorème


Fin du théorème
Début d'une démonstration


Fin de la démonstration

Remarques.
1) On pourrait tirer le point (ii) du point (i), en notant que sous les hypothèses du point (ii), les hypothèses générales sur G, a, b, H, x, y sont satisfaites par <x, y>, x, y, G, a, b, de sorte que, d'après (i), il existe un homomorphisme de <x, y> dans G qui applique xsur a et y sur b. Si désigne la corestriction de à <x, y>, alors fixe a et fixe b, donc, puisque a et b engendrent G, , donc est injectif, donc est injectif.
2) Si nous connaissions déjà les premiers éléments sur les présentations de groupes, nous pourrions montrer que, sous les hypothèses générales du théorème, le groupe G admet la présentation ; le point (i) de l'énoncé s'obtient alors par application immédiate d'un théorème sur les présentations, le théorème de von Dyck[4].
3) Nous déterminerons la structure du groupe Aut(D2n) (groupe des automorphismes de D2n) dans un exercice de la série Holomorphe d'un groupe.
4) Le titre « Homomorphismes partant d'un groupe diédral » donné au théorème qui précède s'explique par le corollaire qui suit.

Début d’un théorème


Fin du théorème
Début d'une démonstration


Fin de la démonstration

Remarque. Si n ≥ 3, l'hypothèse selon laquelle b n'appartient pas à <a> est entraînée par l'hypothèse bab = a-1. En effet, si b appartenait à <a>, il commuterait avec a, donc on aurait bab = bab-1 = a, d'où, d’après l'hypothèse bab = a-1, a-1 = a, d'où a2 = 1, ce qui est impossible puisque a est d'ordre n ≥ 3.

Début d’un théorème


Fin du théorème
Début d'une démonstration


Fin de la démonstration
Début d’un théorème


Fin du théorème
Début d'une démonstration


Fin de la démonstration
Début d’un théorème


Fin du théorème


Début d'une démonstration


Fin de la démonstration
Début d’un théorème


Fin du théorème
Début d'une démonstration


Fin de la démonstration

Version géométrique des groupes diédraux[modifier | modifier le wikicode]

Soit n un nombre naturel ≥ 2, soit P un polygone régulier à n sommets. On admet que deux points distincts forment un polygone régulier à 2 sommets, bien que ce cas soit exceptionnel : par exemple un tel polygone n'a pas le même nombre de sommets (deux) et de côtés (un seul), contrairement aux polygones réguliers d'au moins trois sommets.
Si n = 2, nous appellerons centre du polygone P le milieu du segment de droite joignant les deux sommets. Si n ≥ 3, nous appellerons centre du polygone P l'unique point du plan qui est équidistant de tous les sommets. Nous désignerons ce centre par c.
Nous pouvons numéroter les sommets a0, ..., an-1, de sorte que, pour une rotation ϱ d'angle 2π/n autour du centre c de P, on ait ak+1 = ϱ(ak) pour tout k et donc ak = ϱk(a0) pour tout k. Nous pouvons étendre les indices à Z tout entier en posant, pour tout entier rationnel s, as = ar, où r désigne le reste de s par n.

Nous utiliserons le fait suivant :

Début d'un lemme


Fin du lemme
Début d'une démonstration


Fin de la démonstration
Début d’un théorème


Fin du théorème
Début d'une démonstration


Fin de la démonstration

Remarque. On peut montrer que si n est impair, les symétries axiales qui transforment en lui-même l’ensemble des sommets de P ont pour axes les n droites cs, où c est le centre de P et où s parcourt les sommets de P. Si n est pair, les symétries axiales qui transforment en lui-même l’ensemble des sommets de P ont pour axes tout d’abord les n/2 droites cs, où s parcourt les sommets de P (deux sommets opposés fournissant la même droite) et ensuite les n/2 droites cm, où m parcourt les milieux des côtés (deux côtés opposés fournissant la même droite).

Le groupe diédral d'ordre 2n comme groupe de permutations d'un ensemble à n éléments[modifier | modifier le wikicode]

Soit n un nombre naturel ≥ 3. Considérons un polygone régulier P à n côtés. D'après la section précédente, les isométries du plan qui transforment en lui-même l’ensemble des sommets de P forment un groupe diédral d'ordre 2n, que nous désignerons par D2n. À toute isométrie appartenant à D2n, faisons correspondre sa birestriction à l’ensemble des sommets de P. Puisqu'une isométrie du plan est entièrement déterminée par ses valeurs en trois points non alignés, nous définissons ainsi un isomorphisme de D2n sur un groupe de permutations de l’ensemble des sommets de P (c'est-à-dire sur un sous-groupe du groupe des permutations de l’ensemble des sommets de P). Convenons de désigner ici par E2n ce groupe de permutations de l’ensemble des sommets de P. Si nous numérotons les sommets de 0 à n-1 « en tournant » dans le sens horlogique ou antihorlogique, nous définissons une bijection f de l’ensemble des sommets sur Z/nZ. D'après ce que nous avons vu au chapitre Groupes symétriques finis,

définit un isomorphisme du groupe E2n sur un groupe de permutations de Z/nZ. En composant les deux isomorphismes que nous avons construits, nous obtenons un isomorphisme σ de D2n sur un groupe de permutations de Z/nZ. Le lecteur courageux vérifiera que les images par σ des rotations appartenant à D2n sont les n translations de Z/nZ, c'est-à-dire les permutations de Z/nZ de la forme ta : x ↦ x + a, et que les images par σ des symétries axiales appartenant à D2n sont les permutations de Z/nZ de la forme sa : x ↦ a - x. Il en résulte que les ta et les sa forment un groupe de permutations de Z/nZ qui est un groupe diédral d'ordre 2n. Nous allons en donner une démonstration simple qui ne repose pas sur la version géométrique des groupes diédraux.

Début d’un théorème


Fin du théorème
Début d'une démonstration


Fin de la démonstration



Début d'une démonstration


Fin de la démonstration

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. Par exemple J. Calais, éléments de théorie des groupes, Paris, 1984, p. 121.
  2. Par exemple J. J. Rotman , An Introduction to the Theory of Groups, 4e éd., tirage de 1999, p. 68.
  3. N. Bourbaki, Algèbre, ch. I, § 6, exerc. 4, Paris, 1970, pp. 134-135.
  4. Voir J.J. Rotman, An Introduction to the Theory of Groups, 4e édition, tirage de 1999, p. 346.
  5. G. Choquet, L'enseignement de la géométrie, Paris, 1971, p. 75.
  6. G. Choquet, L'enseignement de la géométrie, Paris, 1971, prop. 46.6, p. 77.
  7. G. Choquet, L'enseignement de la géométrie, Paris, 1971, prop. 45.3, p. 74.