Leçons de niveau 14

Théorie des groupes/Groupes dicycliques

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Groupes dicycliques
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Chapitre no 26
Leçon : Théorie des groupes
Chap. préc. :Holomorphe d'un groupe
Chap. suiv. :Transfert, théorème du complément normal de Burnside

Exercices :

Groupes dicycliques
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Théorie des groupes/Groupes dicycliques
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Dans ce chapitre, nous allons définir les groupes dicycliques, dont le groupe des quaternions et les groupes quaternioniens généralisés constituent des cas particuliers importants.

Définition et table de multiplication des groupes dicycliques[modifier | modifier le wikicode]



Remarques. 1° Puisqu'un groupe cyclique d'ordre pair comprend un seul élément d'ordre 2, la condition b2 = aord(a)/2 revient à dire que b2 est égal à l'unique élément d'ordre 2 du sous-groupe engendré par a.
2° Selon notre définition, un groupe cyclique d'ordre 4 est un groupe dicyclique (prendre pour a l'unique élément d'ordre 2 et pour b un des deux éléments d'ordre 4). Nous donnerons plus loin des exemples moins triviaux. Certains auteurs, d'ailleurs, excluent les groupes cycliques d'ordre 4 des groupes dicycliques.

Début d’un théorème


Fin du théorème

Dans le lemme qui suit, le point c) (qui peut être considéré comme fournissant une « table de multiplication » du groupe G) ne doit pas être mémorisé.

Début d’un théorème


Fin du théorème


Début d’un théorème


Fin du théorème


Début d’un théorème


Fin du théorème


Début d’un théorème


Fin du théorème

Exemples de construction des groupes dicycliques[modifier | modifier le wikicode]

Jusqu'ici, nous avons trouvé des conditions nécessaires auxquelles doivent satisfaire les groupes dicycliques, mais nous n'avons pas prouvé qu’il en existe (à part le cas banal des groupes cycliques d'ordre 4).

Début d’un théorème


Fin du théorème


Puisque deux groupes dicycliques du même ordre sont isomorphes, on dit volontiers « le groupe dicyclique d'ordre 4n ». On le note DCn, Dicn ou encore Q4n. Toutefois, la troisième notation est souvent réservée au cas où l’ordre du groupe dicyclique est une puissance de 2, cas dans lequel on adopte la définition suivante :




Pour désigner un groupe dicyclique d'ordre 4n, on adoptera ici la notation DCn, mais on préférera la notation Q4n si ce groupe est quaternionien généralisé. (Certains auteurs notent Qm le groupe quaternionien généralisé d'ordre 2m, mais on ne les suivra pas ici.)

Quelques traits de la structure des groupes dicycliques[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème


Fin du théorème

Remarque. Du fait qu'un groupe dicyclique n'a qu'un sous-groupe d'ordre 2 (ce qui revient à dire qu'il na qu'un élément d'ordre 2), on déduit facilement qu'un groupe dicyclique dont l'ordre est une puissance de 2, autrement dit un groupe quaternionien généralisé, n'a pas de décomposition non triviale en produit semi-direct, c'est-à-dire que les seules façons d'exprimer un tel groupe G comme produit semi-direct sont et .

Début d’un théorème


Fin du théorème
Début d’un théorème


Fin du théorème


Début d’un théorème


Fin du théorème


Début d’un théorème


Fin du théorème


Remarque. Les groupes dont tous les sous-groupes sont normaux sont classifiés[1].

Automorphismes d'un groupe dicyclique[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème


Fin du théorème


Convention de notation. Soient G un groupe, r un nombre naturel non nul et g un élément de G tel que gr = 1. Pour tout élément X de ℤ/rℤ (autrement dit pout toute classe résiduelle de ℤ modulo rℤ), on peut désigner sans ambiguïté par gX l'élément gx de G, où x est n’importe quel élément de X. Cette convention simplifiera un peu les expressions dans le lemme 13 et dans la démonstration du théorème 14.

Début d’un théorème


Fin du théorème


Remarque. On verra plus loin que l'énoncé du lemme 13 ne s'étend pas au cas où n = 2.

Début d’un théorème


Fin du théorème


Remarque. Ce théorème ne peut pas être étendu au cas où n = 2, comme le montre le théorème suivant.

Début d’un théorème


Fin du théorème


Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. Voir D. J. S. Robinson, A Course in the Theory of Groups, 2e éd., 1996, p. 143-145.