Leçons de niveau 13

Théorie des groupes/Exercices/Holomorphe d'un groupe

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Holomorphe d'un groupe
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Exercices no26
Leçon : Théorie des groupes
Chapitre du cours : Holomorphe d'un groupe

Exercices de niveau 13.

Exo préc. :Groupes diédraux
Exo suiv. :Groupes dicycliques
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Théorie des groupes/Exercices/Holomorphe d'un groupe
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Problème 1[modifier | modifier le wikicode]

Soit n un nombre naturel ≥ 3. Prouver que le groupe diédral D2n est isomorphe à un sous-groupe de Hol(ℤ/nℤ) (où ℤ/nℤ est muni de sa structure de groupe).

Problème 2[modifier | modifier le wikicode]

Soit n un des nombres 3, 4 et 6. Prouver que Hol(ℤ/nℤ) est isomorphe au groupe diédral D2n.

Problème 3[modifier | modifier le wikicode]

Soit G un groupe. Prouver que Hol G est le normalisateur de Gl dans SG.

Problème 4[modifier | modifier le wikicode]

L'objet de ce problème est de prouver que pour tout nombre naturel n ≥ 3, Aut(D2n) est isomorphe à Hol(ℤ/nℤ) (où D2n désigne le groupe diédral d'ordre 2n et où ℤ/nℤ est muni de sa structure de groupe).

Convention de notation. Soit G un groupe, noté multiplicativement, soit r un nombe naturel non nul, soit a un élément de G tel que ar = 1. Si X est un élément de ℤ/rℤ alors, pour tous éléments x, x' de X, ax = ax' donc on peut désigner sans ambiguïté par aX la valeur de ax, où x est n’importe quel élément de X. Pour deux éléments X, Y de ℤ/rℤ, on a encore aX+Y = aX aY et aXY = (aX)Y.

En particulier, l'élément –1 du groupe multiplicatif des éléments inversibles de l'anneau ℤ/nℤ satisfait à la condition (–1)2 = 1, donc si X est un des deux éléments de ℤ/2ℤ, (–1)X désigne sans ambiguïté l'élément (–1)x de ℤ/nℤ, où x est n’importe quel élément de X.

Donc, si a, b sont des éléments d'un groupe G tels que an = b2 = 1, si i, k sont des éléments de ℤ/nℤ et j un élément de ℤ/2ℤ, on peut parler sans ambiguïté des éléments de G.

a) (« Table de multiplication » d'un groupe diédral.) Soit n un nombre naturel non nul, soit G un groupe diédal d'ordre 2n. Soient a un élément d'ordre n de G et b un élément de G\⟨a⟩. On a vu au chapitre Groupes diédraux que de tels éléments existent et que pour tous éléments a, b possédant ces propriétés, b est d'ordre 2, bab–1 (autrement dit bab) est égal à a–1 et {a, b} engendre G.

Prouver que (si l'on applique la convention de notation définie au début du problème)

tout élément de G s'écrit d'une et une seule façon ai bj avec i ∈ ℤ/nℤ et j ∈ ℤ/2ℤ

et que si i et k sont des éléments de ℤ/nℤ, si j et l sont des éléments de ℤ/2ℤ alors

.

(Noter que ceci illustre un fait déjà vu, à savoir que D2n est isomorphe au produit semi-direct externe de ℤ/nℤ par ℤ/2ℤ relatif à l'opération ℤ/2ℤ × ℤ/nℤ → ℤ/nℤ : (j, k) ↦ (–1)jk de ℤ/2ℤ sur ℤ/nℤ.)

b) Soit n un nombre naturel non nul, soient G et H deux groupes isomorphes à D2n, soit a (resp. a') un élément d'ordre n de G (resp. de H), soit b (resp. b') un élément de G\⟨a⟩, (resp. de H\⟨a'⟩). Prouver qu’il existe un et un seul isomorphisme de G sur H qui applique a sur a' et b sur b'.

c) Soit n un nombre naturel non nul, soient G et H deux groupes isomorphes à D2n, soit a (resp. a') un élément d'ordre n de G (resp. de H), soit b (resp. b') un élément de G\⟨a⟩, (resp. de H\⟨a'⟩). Prouver que pour tout élément i de ℤ/nℤ et tout élément j de (ℤ/nℤ)* (groupe multiplicatif des éléments inversibles de l'anneau ℤ/nℤ), il existe un et un seul isomorphisme de G sur H (dépendant de a et b) qui applique a sur et b sur .

d) Soit n un nombre naturel ≥ 3, soit D2n le groupe diédral d'ordre 2n, soit a un élément d'ordre n de D2n, soit b un élément de D2n\⟨a⟩. Il résulte du point c) que pour tout élément i de ℤ/nℤ et tout élément j de (ℤ/nℤ)*, il existe un et un seul automorphisme de D2n (dépendant de a et b) qui applique a sur aj et b sur ai b. Notons σi,j cet automorphisme. Prouver que (i, j) ↦ σi,j définit un isomorphisme de ℤ/nℤ ⋊ (ℤ/nℤ)* sur Aut(D2n), où ℤ/nℤ ⋊ (ℤ/nℤ)* désigne le produit semi-direct externe de ℤ/nℤ par (ℤ/nℤ)* relatif à l'opération

(ℤ/nℤ)* × ℤ/nℤ → ℤ/nℤ : (j, x) ↦ j x

de (ℤ/nℤ)* sur ℤ/nℤ.

e) Soit n un nombre naturel ≥ 3. Pouver que Aut(D2n) est isomorphe à Hol(ℤ/nℤ).