Leçons de niveau 13

Théorie des groupes/Exercices/Groupes résolubles

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Groupes résolubles
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Exercices no17
Leçon : Théorie des groupes
Chapitre du cours : Groupes résolubles

Ces exercices sont de niveau 13.

Exo préc. :Commutateurs, groupe dérivé
Exo suiv. :Groupes nilpotents
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Théorie des groupes/Exercices/Groupes résolubles
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Problème 1 (facile)[modifier | modifier le wikicode]

Prouver que S3 est résoluble.

Problème 2[modifier | modifier le wikicode]

Prouver que les deux propositions suivantes sont équivalentes :
a) Tout groupe fini d'ordre impair est résoluble;
b) Tout groupe fini simple non commutatif est d'ordre pair. (Remarque : ces propositions ont été démontrées par Feit et Thompson, mais la démonstration dépasse la portée du présent cours et même de toute introduction à la théorie des groupes finis.)

Problème 3[modifier | modifier le wikicode]

a) Soit une famille finie de groupes. Prouver que, pour tout nombre naturel n,

b) Soit une famille finie de groupes. On suppose que pour tout i, le groupe Gi est résoluble de classe ci. Prouver que le groupe est résoluble de classe c, où c désigne le plus grand des ci.

Problème 4[modifier | modifier le wikicode]

a) Soit G un groupe commutatif. On suppose que G est engendré par une famille finie d'éléments d'ordres finis. Prouver que G est fini. (Cette partie du problème n’est pas une application du chapitre théorique sur les groupes résolubles. Nous l’utiliserons encore dans l'étude des groupes nilpotents.)

b) Soit G un groupe résoluble. On suppose que G est de type fini (c'est-à-dire que G admet une partie génératrice finie) et que tout élément de G est d'ordre fini. Prouver que G est fini[1]. (Indication : raisonner par récurrence sur la classe de résolubilité de G.)

Remarque. Si nous remplaçons l'hypothèse « G est résoluble » par l'hypothèse plus forte « G est nilpotent » (les groupes nilpotents seront définis au chapitre suivant), nous pouvons remplacer l'énoncé b) par cet énoncé plus fort : si G admet une partie génératrice finie dont tout élément est d'ordre fini, G est fini[2]

Problème 5[modifier | modifier le wikicode]

Soit G un groupe fini non commutatif dont tout sous-groupe propre est commutatif. Le but de ce problème est de prouver que G est résoluble de classe 2[3].

a) Supposons que (par absurde) G soit simple. Prouver que le centre de G est réduit à l'élément neutre.

b) Toujours dans l'hypothèse (absurde) où G est simple, montrer que deux différents sous-groupes maximaux de G ont toujours une intersection réduite à l'élément neutre. (Indication : si x est un élément appartenant à deux différents sous-groupes maximaux de G, raisonner sur le centralisateur de x dans G et appliquer le point a).)

c) Déduire de b) que l'hypothèse de la simplicité de G est contradictoire. (Indication : à l'aide d'un problème de la série Exercices/Conjugaison, centralisateur, normalisateur, montrer qu'un au moins des sous-groupes maximaux de G est un sous-groupe normal M de G tel que 1 < M < G.)

d) Déduire de c) que G est résoluble de classe 2. (Indication : considérer un sous-groupe propre normal N de G du plus grand ordre possible, noter que G/N est simple et appliquer c) à G/N au lieu de G.)

  1. Voir par exemple J. Fresnel, Groupes, Paris, Hermann, 2001, p. 41.
  2. N. Bourbaki, Algèbre, ch. I, § 6, exerc. 12, a); Paris, Hermann, 1970, p. 137.
  3. Énoncé dans Klaus Doerk et Trevor Hawkes, Finite Soluble Groups, Walter de Gruyter, 1992, A, 10.7, p. 37, qui renvoie à Huppert, Endliche Gruppen, III, 5.4, pour la démonstration.