Théorie des groupes/Produit semi-direct

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Opération d'un groupe sur un groupe par automorphismes

Sauf indication contraire, on entendra par « opération » d'un groupe une opération à gauche.

Nous avons vu qu'une opération d'un groupe G sur un ensemble X peut être vue soit comme une application $G\times X\rightarrow X$ (satisfaisant à certaines conditions), soit comme un homomorphisme $\varphi$ de G dans le groupe symétrique $\ S_{X}$. Si l’ensemble X est lui-même muni d'une structure de groupe et que $\varphi$ prend ses valeurs dans le sous-groupe Aut(X) de $\ S_{X}$, on dit que G opère sur le groupe X par automorphismes.

Une opération d'un groupe G sur un groupe H par automorphismes peut donc être vue soit comme un homomorphisme de G dans le groupe Aut(H), soit comme une opération $G\times H\rightarrow H:(g,h)\mapsto ^{g}h$ (notation exponentielle gauche) qui, outre les propriétés :

$\ ^{1}h=h$ et $\ ^{(gg')}h=^{g}(^{g'}h)$

des opérations d'un groupe sur un ensemble, possède de plus la propriété :

$\forall g\in G,\forall (h_{1},h_{2})\in H^{2},\ ^{g}(h_{1}h_{2})=\ ^{g}h_{1}\ ^{g}h_{2}$.

Remarque

Nous avons noté l'opération de G sur H sous forme exponentielle, ce qui est plus agréable quand le groupe H est noté multiplicativement. Si H était noté additivement, il serait plus agréable de noter l'opération de G sur H multiplicativement.

Début de l'exemple

Exemples

1) L'opération d'un groupe G sur lui-même par conjugaison est une opération par automorphismes, à savoir par les automorphismes intérieurs. En effet, l'élément de $\ S_{G}$ correspondant à l'élément g de G est l'automorphisme intérieur $\ x\mapsto gxg^{-1}$ de G.

2) Plus généralement, si H est un sous-groupe distingué de G, tout automorphisme intérieur de G induit un automorphisme (non forcément intérieur) de H.

L'application qui à tout élément g de G fait correspondre l'automorphisme $x\mapsto gxg^{-1}$ de H est un homomorphisme de G dans Aut(H), donc une opération de G sur H par automorphismes.

3) Plus généralement, si H est un sous-groupe distingué de G et K un sous-groupe de G, l’application qui à tout élément k de K fait correspondre l'automorphisme $x\mapsto kxk^{-1}$ de H est un homomorphisme de K dans Aut(H) (restriction à K de l'homomorphisme de G dans Aut(H) considéré à l'exemple précédent), donc une opération de K sur H par automorphismes.

Fin de l'exemple

Produit semi-direct

Définition

Soient G un groupe, H et K deux sous-groupes de G. On dit que K est un complément de H (dans G) si les deux conditions suivantes sont satisfaites :

$(1)\quad H\cap K=1,$

$(2)\quad HK=G$

Les conditions (1) et (2) sont symétriques en H et K (pour déduire $KH=G$ de $HK=G$, passer aux inverses), donc si K est un complément de H, alors H est un complément de K. On dit aussi que H et K sont complémentaires (dans G).

Dans ce cas, tout élément de G s'écrit d'une et une seule façon sous la forme hk avec $h\in H$ et $k\in K$ :

• l’existence d'une telle écriture résulte de (2) ;
• pour prouver l'unicité, notons que si h, h' sont des éléments de H et k, k' des éléments de K ; si $hk=h'k'$, alors $\ h'^{-1}h=k'k^{-1}$, de sorte que les deux membres appartiennent à $\quad H\cap K$, qui est égal à 1 d’après (1), d'où $\ h'^{-1}h=k'k^{-1}=1,$ d'où $h=h'$ et $k=k'$.

Ceci montre en particulier que G est équipotent au produit cartésien des ensembles sous-jacents de H et de K, donc :

$\vert G\vert =\vert H\vert \cdot \vert K\vert$.

(Cela se déduit aussi de la formule du produit.)

Le lecteur vérifiera que, réciproquement, si H et K sont des sous-groupes de G, si tout élément de G s'écrit d'une et une seule façon sous la forme hk avec $h\in H$ et $k\in K$, alors H et K sont complémentaires.

Définition

Soient G un groupe, H un sous-groupe normal de G et K un sous-groupe de G. On dit que G est produit semi-direct (interne) de H par K si H et K sont complémentaires.

D'après ce qui précède, tout élément de G s'écrit dans ce cas d'une et une seule façon sous la forme hk avec $h\in H$ et $k\in K$.

Début d’un théorème

Théorème (Image d'un produit semi-direct interne par un isomorphisme)

Soient $G_{1}$ et $G_{2}$ des groupes et f un isomorphisme de $G_{1}$ sur $G_{2}$. On suppose que $G_{1}$ est produit semi-direct interne d'un sous-groupe normal N de $G_{1}$ par un sous-groupe H de $G_{1}$. Alors $G_{2}$ est produit semi-direct interne du sous-groupe normal f(N) de $G_{2}$ par le sous-groupe f(H) de $G_{2}$.

Fin du théorème

Démonstration très facile, laissée au lecteur.

Début d’un théorème

Théorème

Soient G un groupe, H un sous-groupe normal de G et K un sous-groupe de G tels que G soit produit semi-direct de H par K. Alors K est isomorphe à G/H.

Fin du théorème

Démonstration

Le morphisme $K\to G/H,k\mapsto kH$ est surjectif (puisque G = KH) et injectif (puisque K∩H = 1).

 

Remarques.

• Ce théorème revient à dire que tout produit semi-direct d'un groupe H par un groupe K est une extension de H par K.
• La réciproque est fausse, c'est-à-dire que si G est un groupe, H un sous-groupe normal de G et K un sous-groupe de G isomorphe à G/H, G n'est pas nécessairement produit semi-direct de H par K (exemple : G = le groupe cyclique d'ordre 4, H = son sous-groupe d'ordre 2).

Puisque H est normal dans G, nous pouvons considérer l'homomorphisme $\ \tau :k\mapsto \tau _{k}$ de K dans Aut(H) défini à l'exemple 3 ci-dessus. La relation (a) s'écrit :

$\ (hk)(h'k')=h\tau _{k}(h')kk'$.

Cela nous suggère la définition suivante :

Définition

Soient H et K deux groupes et $\ \tau :k\mapsto \tau _{k}$ un homomorphisme de K dans le groupe $(\mathrm {Aut} (H),\circ )$. On appelle produit semi-direct (externe) de H par K relativement à $\ \tau$ et on note $H\rtimes _{\tau }K$ (ou parfois $H\times _{\tau }K$) le produit cartésien $\ H\times K$ des ensembles sous-jacents de H et de K, muni de la loi de composition interne $((h,k),(h',k'))\mapsto (h\tau _{k}(h'),kk').$

Remarque

Si on utilise la notation exponentielle gauche pour marquer l'opération $\ \tau$ de K sur H, la loi de composition interne en question se définit par :

$((h,k),(h',k'))\mapsto (h\ ^{k}h',kk').$

Début d’un théorème

Théorème (Produit semi-direct externe comme produit semi-direct interne)

Soient N et H deux groupes et $\ \tau :h\mapsto \tau _{h}$ un homomorphisme de H dans Aut(N).

Le produit semi-direct $N\rtimes _{\tau }H$ est un groupe.

L'ensemble $N\times \{1\}$ est un sous-groupe distingué de $N\rtimes _{\tau }H$ et l'injection canonique $n\mapsto (n,1)$ induit un isomorphisme de N sur $N\times \{1\}$.

L'ensemble $\{1\}\times H$ est un sous-groupe de $N\rtimes _{\tau }H$ et l'injection canonique $h\mapsto (1,h)$ induit un isomorphisme de H sur $\{1\}\times H$.

Le groupe $N\rtimes _{\tau }H$ est produit semi-direct interne de $N\times \{1\}$ par $\{1\}\times H.$

Si n est un élément de N et h un élément de H, l'image de $\tau _{h}(n)$ par l'isomorphisme $N\rightarrow N\times \{1\}$ est

$(\tau _{h}(n),1)=(1,h)(n,1)(1,h)^{-1}.$

Fin du théorème

Démonstration

Pour alléger les expressions, nous écrirons $\ \ ^{h}n$ pour $\ \tau _{h}(n)$ (n étant un élément de N et h un élément de H).

Prouvons que la loi de composition du produit semi-direct externe est associative. Soient n, n' et n'' des éléments de N et h, h', h'' des éléments de H. Il s'agit de prouver que

$\ (1)\quad (\ (n,h)(n',h')\ )\ (n'',h'')=(n,h)\ (\ (n',h')(n'',h'')\ ).$

Dans le premier membre, $\ (\ (n,h)(n',h')\ )$ est égal à $\ (n\ ^{h}n',\ hh')$, donc le premier membre de (1) égale $\ (n\ ^{h}n',\ hh')\ (n'',h'')$, c'est-à-dire $(n\ ^{h}n'\ ^{hh'}n'',hh'h'').$

Dans le second membre de (1), $\ (n',h')(n'',h'')$ est égal à $\ (n'\ ^{h'}n'',h'h'')$, donc le second membre de (1) vaut $\ (n,h)\ (n'\ ^{h'}n'',h'h'')$, c'est-à-dire $\ (n\ ^{h}(n'\ ^{h'}n''),hh'h'')$, où on peut remplacer $\ ^{h}(n'\ ^{h'}n'')$ par $\ ^{h}n'\ ^{hh'}n''$, donc (1) est vraie. Nous avons donc prouvé l'associativité.

On vérifie facilement que (1, 1) est élément neutre et que tout élément (n, h) admet $\ (\ (^{h^{-1}}n)^{-1},\ h^{-1})$ pour inverse. (Remarque : l'exponentiation à droite n'a évidemment pas le même sens que l'exponentiation à gauche.)

On laisse au lecteur le soin de vérifier que l’ensemble $N\times \{1\}$ est un sous-groupe de $N\rtimes _{\tau }H$, que l'injection canonique $n\mapsto (n,1)$ induit un isomorphisme de N sur $N\times \{1\}$, que l’ensemble $\{1\}\times H$ est un sous-groupe de $N\rtimes _{\tau }H$ et que l'injection canonique $h\mapsto (1,h)$ induit un isomorphisme de H sur $\{1\}\times H$.

Le sous-groupe $N\times \{1\}$ de $N\rtimes _{\tau }H$ est normal (car un conjugué d'un élément de $\ H\times \{1\}$ a évidemment 1 pour seconde composante).

Pour le reste de l'énoncé, on se limitera à la dernière assertion. Il s'agit de prouver que, pour tout élément n de N et tout élément h de H,

$\ (2)\quad (\tau _{h}(n),1)=(1,h)\ (n,1)\ (1,h)^{-1}.$

Dans le second membre, on peut remplacer $\ (1,h)\ (n,1)$ par $\ (^{h}n,h)$ et $\ (1,h)^{-1}$ par $\ (1,h^{-1})$, donc le second membre de (2) est égal à $\ (^{h}n,h)\ (1,h^{-1})=(^{h}n,1)=(\tau _{h}(n),1),$ ce qui prouve la thèse.

 

Remarque

La dernière assertion du théorème montre que si l'on identifie N × {1} à N et {1} × H à H, l'opération interne de {1} × H sur N × {1} dans $N\times _{\tau }H$ (par conjugaison) s'identifie à l'opération $\ \tau$ de H sur N.

Début d’un théorème

Théorème (Produit semi-direct de deux groupes résolubles)

Tout produit semi-direct (interne ou externe) d'un groupe résoluble par un groupe résoluble est résoluble.

Fin du théorème

Démonstration

C'est un cas particulier du théorème suivant, démontré au chapitre Groupes résolubles : toute extension d'un groupe résoluble de classe q par un groupe résoluble de classe p est elle-même un groupe résoluble, de classe ≤ p + q.

 

Début d'un lemme

Lemme (Homomorphismes partant d'un produit semi-direct externe)

Soient N et H deux groupes et $\ \tau :k\mapsto \tau _{k}$ un homomorphisme de H dans Aut(N). Soient L un groupe, $\nu$ un homomorphisme de N dans L et $\eta$ un homomorphisme de H dans L.

(i) Pour que l’application $\ (n,h)\mapsto \nu (n)\eta (h)$ de $N\rtimes _{\tau }H$ dans L soit un homomorphisme, il faut et il suffit que pour tout élément n de N et tout élément h de H,

$\ \nu (\tau _{h}(n))=\eta (h)\nu (n)\eta (h)^{-1}.$

(ii) Si cette condition est satisfaite, si de plus $\nu$ et $\eta$ sont injectifs et que $\nu (N)\cap \eta (H)=1,$ alors l'homomorphisme

$(n,h)\mapsto \nu (n)\eta (h)$

de $N\rtimes _{\tau }H$ dans L est injectif, il induit par corestriction un isomorphisme de $N\rtimes _{\tau }H$ sur le sous-groupe de L engendré par $\nu (N)$ et $\eta (H)$ et ce sous-groupe de L engendré par $\nu (N)$ et $\eta (H)$ est produit semi-direct interne de $\nu (N)$ par $\eta (H)$

Fin du lemme

Démonstration

Pour que l'application

$\psi :(n,h)\mapsto \nu (n)\eta (h)$

de $N\rtimes _{\tau }H$ dans L soit un homomorphisme, il faut et il suffit que, pour tous $n,n'$ dans N et tous $h,h'$ dans H,

$\psi ((n,h)(n',h'))=\psi (n,h)\psi (n',h')$

autrement dit

$\psi ((n\tau _{h}(n'),hh'))=\nu (n)\eta (h)\nu (n')\eta (h')$

ou encore, par définition de $\psi$,

$\nu (n\tau _{h}(n'))\eta (hh')=\nu (n)\eta (h)\nu (n')\eta (h').$

Puisque $\nu$ et $\eta$ sont des homomorphismes, cela peut encore s'écrire

$\nu (n)\nu (\tau _{h}(n'))\eta (h)\eta (h')=\nu (n)\eta (h)\nu (n')\eta (h'),$

ce qui équivaut à

$\nu (\tau _{h}(n'))\eta (h)=\eta (h)\nu (n')$

ou encore à

$\nu (\tau _{h}(n'))=\eta (h)\nu (n')\eta (h)^{-1}.$

Que ceci soit vrai pour tous $n,n'$ dans N et tous $h,h'$ dans H revient clairement à la condition exprimée dans l'assertion (i) de l'énoncé.

Supposons, comme en (ii), que notre application $\psi$ soit un homomorphisme (on vient de déterminer à quelle condition c'est vrai), que $\nu$ et $\eta$ soient injectifs et que $\nu (N)\cap \eta (H)=1$ ; prouvons qu'alors $\psi$ est injectif.

Puisque $\psi$ est un homomorphisme, il suffit de prouver que si n est un élément de N et h un élément de H tels que $\psi (n,h)=1$, alors n = 1 (dans N) et h = 1 (dans H).

Par définition de $\psi$, l'hypothèse $\psi (n,h)=1$ signifie $\nu (n)\eta (h)=1.$ Puisqu'on suppose $\nu (N)\cap \eta (H)=1$, on a donc $\nu (n)=\eta (h)=1$. Puisque $\nu$ et $\eta$ sont des homomorphismes injectifs, on a donc n = 1 et h = 1, ce qui, comme on l'a vu, prouve que $\psi$ est injectif.

Donc $\psi$ induit par corestriction un isomorphisme de $N\rtimes _{\tau }H$ sur $\psi (N\rtimes _{\tau }H).$

D'après un théorème ci-dessus intitulé « Produit semi-direct externe comme produit semi-direct interne », $N\rtimes _{\tau }H$ est produit semi-direct interne de $N\times \{1\}$ par $\{1\}\times H$, donc, d'après un théorème ci-dessus intitulé « Image d'un produit semi-direct interne par un isomorphisme », $\psi (N\rtimes _{\tau }H)$ est produit semi-direct interne de $\psi (N\times \{1\})$ par $\psi (\{1\}\times H)$, c'est-à-dire de $\nu (N)$ par $\eta (H)$, ce qui achève la démonstration du point (ii) de l'énoncé.

 

Début d’un théorème

Théorème (Isomorphisme entre produit semi-direct interne et produit semi-direct externe)

Soient G un groupe, produit semi-direct (interne) d'un sous-groupe normal N par un sous-groupe H.

Désignons par $\tau$ l'homomorphisme de H dans Aut(N) qui, pour tout h dans H, applique h sur l'automorphisme $\tau _{h}$ de N défini par $\tau _{h}(n)=hnh^{-1}$ pour tout n dans N.

(i) L’application $(n,h)\mapsto nh$ définit un isomorphisme du produit semi-direct externe $N\rtimes _{\tau }H$ sur le produit semi-direct interne G = NH. (ii) L'isomorphisme réciproque peut se caractériser comme l'unique isomorphisme de G sur $N\rtimes _{\tau }H$ qui, pour tout élément n de N, applique n sur (n, 1) et, pour tout élément h de H, applique h sur (1, h).

Fin du théorème

Démonstration

Désignons par $\nu$ l'homomorphisme inclusion $n\mapsto n$ de N dans G et par $\eta$ l'homomorphisme inclusion $h\mapsto h$ de H dans G.

Par définition de $\tau$, nous avons, pour tout n dans N et tout h dans H,

$\tau _{h}(n)=hnh^{-1},$

ce qui peut s'écrire

$\nu (\tau _{h}(n))=\eta (h)\ \nu (n)\ \eta (h)^{-1}.$

De plus, les homomorphismes $\nu$ et $\eta$ sont injectifs et $\nu (N)\cap \eta (H)=1,$ donc, d'après un lemme ci-dessus (intitulé « Homomorphismes partant d'un produit semi-direct externe »),

$(n,h)\mapsto \nu (n)\ \eta (h)=nh$

définit un isomorphisme de $N\rtimes _{\tau }H$ sur $\nu (N)\ \eta (H)=NH=G.$ Ceci démontre l'assertion (i) de l'énoncé. L'assertion (ii) s'en déduit facilement.

 

Début d’un théorème

Théorème (Homomorphismes partant d'un produit semi-direct interne)

Soient G₁ un groupe, produit semi-direct interne d'un sous-groupe normal N par un sous-groupe H.

Soient G₂ un groupe, $\nu$ un homomorphisme de N dans G₂, $\eta$ un homomorphisme de H dans G₂.

On suppose que, pour tout n dans N et tout h dans H,

$\nu (hnh^{-1})=\eta (h)\ \nu (n)\ \eta (h)^{-1}.$

Alors

(i) il existe un et un seul homomorphisme, soit $\lambda$, de G₁ dans G₂ qui coïncide avec $\nu$ sur N et avec $\eta$ sur H ;

(ii) si les homomorphismes $\nu$ et $\eta$ sont injectifs et que leurs images $\nu (N)$ et $\eta (H)$ se coupent trivialement, alors

l'homomorphisme $\lambda$ est injectif,

il induit par corestriction un isomorphisme de G₁ sur le sous-groupe de G₂ engendré par $\nu (N)$ et $\eta (H)$,

le sous-groupe de G₂ engendré par $\nu (N)$ et $\eta (H)$ est produit semi-direct interne de $\nu (N)$ par $\eta (H)$.

Fin du théorème

Démonstration

On pourrait refaire des raisonnements tenus dans la démonstration du lemme intitulé « Homomorphismes partant d'un produit semi-direct externe », mais on va plutôt utiliser ce lemme.

Désignons par $\tau$ l'homomorphisme de H dans Aut(N) qui, pour tout h dans H, applique h sur l'automorphisme $\tau _{h}$ de N défini par $\tau _{h}(n)=hnh^{-1}$ pour tout n dans N.

D'après le théorème «Isomorphisme entre produit semi-direct interne et produit semi-direct externe », point (ii), il existe un (et un seul) isomorphisme $\sigma$ de G₁ sur $N\rtimes _{\tau }H$ tel que, pour tout n dans N et tout h dans H,

$\sigma (n)=(n,1)$ et $\sigma (h)=(1,h).$

L'hypothèse (de l'énoncé) $\nu (hnh^{-1})=\eta (h)\ \nu (n)\ \eta (h)^{-1}$ peut s'écrire

$\nu (\tau _{h}(n))=\eta (h)\ \nu (n)\ \eta (h)^{-1},$

donc, d'après le lemme ci-dessus intitulé « Homomorphismes partant d'un produit semi-direct externe », point (i), l'application

$\psi :(n,h)\mapsto \nu (n)\eta (h)$

est un homomorphisme de $N\rtimes _{\tau }H$ dans G₂.

Donc le composé

$\lambda =\psi \circ \sigma$

est un homomorphisme de $G_{1}$ dans $G_{2}$.

D'après les définitions de $\sigma$ et de $\psi$, nous avons, pour tout n dans N et tout h dans H,

(1) $\lambda (n)=\psi (n,1)=\nu (n)$

et

(2) $\lambda (h)=\psi (1,h)=\eta (h).$

Donc $\lambda$ est un homomorphisme de $G_{1}$ dans $G_{2}$ qui coïncide avec $\nu$ sur N et avec $\eta$ sur H. Puisque N et H engendrent $G_{1}$, $\lambda$ est le seul homomorphisme de $G_{1}$ dans $G_{2}$ qui possède cette propriété.

Nous avons donc prouvé l'assertion (i) de l'énoncé.

Si $\nu$ et $\eta$ sont injectifs et que leurs images se coupent trivialement, alors, d'après le lemme ci-dessus intitulé « Homomorphismes partant d'un produit semi-direct externe », point (ii), l'homomorphisme $\psi$ de $N\rtimes _{\tau }H$ dans G₂ est injectif. Puisque $\sigma$ est un isomorphisme, il en résulte que $\lambda$, égal à $\psi \circ \sigma ,$ est injectif. Donc $\lambda$ induit par corestriction un isomorphisme de $G_{1}$ sur $\lambda (G_{1}).$ D'après le théorème intitulé « Image d'un produit semi-direct interne par un isomorphisme », $\lambda (G_{1})$ est donc produit semi-direct interne de $\lambda (N)$ par $\lambda (H)$, autrement dit, d'après (1) et (2), de $\nu (N)$ par $\eta (H)$. La partie (ii) de l'énoncé en résulte.

 

Remarques. 1) Soient H et K deux groupes, soit $\ \tau$ l'opération triviale de K sur H, c'est-à-dire l'opération pour laquelle $\ ^{k}h=h$ pour tout h dans H et tout k dans K. Alors, il résulte de la définition de $H\rtimes _{\tau }K$ que $H\rtimes _{\tau }K$ est identique au produit direct $H\times K$.

2) Soient G un groupe, H un sous-groupe distingué de G et K un sous-groupe de G tels que G soit produit semi-direct interne de H par K. Supposons de plus que tout élément de K commute avec tout élément de H. Alors l'opération de K sur H par automorphismes définie par $\ ^{k}h=khk^{-1}$ pour tout h dans H et tout k dans K est l'opération triviale. Donc, d’après la remarque précédente, le produit semi-direct externe $H\rtimes _{\tau }K$ est identique au produit direct externe $H\times K$. D'après un théorème ci-dessus, l’application $(h,k)\mapsto hk$ définit donc un isomorphisme du produit direct externe $H\times K$ sur G. Par définition du produit direct interne, il en résulte que G est produit direct interne de H et de K. (On pourrait évidemment le démontrer sans passer par le produit semi-direct. Du fait que tout élément de K commute avec tout élément de H, on tire facilement que H normalise K, donc, puisque HK est égal à G tout entier, K est normal dans G et on est ramené à un théorème du chapitre sur le produit direct.)

3) La seconde projection de $H\rtimes _{\tau }K$ sur K est un homomorphisme de $H\rtimes _{\tau }K$ sur K mais la première projection n'est un homomorphisme de $H\rtimes _{\tau }K$ sur H que si l'opération $\ \tau$ est triviale (et que le produit semi-direct est donc direct).

Définition

Soient $\ \tau _{1}$ une opération d'un groupe H sur un groupe N₁ par automorphismes et $\ \tau$ une opération du groupe H sur un groupe N₂ par automorphismes. On dira que ces deux opérations sont équivalentes comme opérations par automorphismes (et non seulement comme opérations de groupe sur des ensembles) s'il existe un isomorphisme (et non seulement une bijection) f de N₁ sur N₂ tel que, pour tout élément x de N₁ et tout élément y de H, on ait

$\ f(\ ^{y}x\ )=\ ^{y}f(x).$

Si $\ \tau _{1}$ et $\ \tau$ sont vus comme des homomorphismes de H dans Aut(N₁) et de H dans Aut(N₂) respectivement, cette condition sur f revient à

$\tau ={\hat {f}}\circ \tau _{1},$

où ${\hat {f}}$ désigne l'isomorphisme h ↦ f ∘ h ∘ f^-1 de Aut(N₁) sur Aut(N₂).

Définition

Soient, pour $i=1$ ou $2$, H_i et N_i des groupes, et $\tau _{i}$ une opération de H_i sur N_i par automorphismes. On dira que ces deux opérations sont quasi équivalentes comme opérations par automorphismes (et non seulement comme opérations de groupes sur des ensembles) s'il existe un isomorphisme g de H₁ sur H₂ tel que les opérations $\tau _{1}$ (de H₁ sur N₁) et $\tau _{2}\circ g$ (de H₁ sur N₂) soient équivalentes comme opérations par automorphismes.

Remarque. Dans les expressions « quasi équivalentes comme actions par automorphismes » et « équivalentes comme actions par automorphismes », nous omettrons parfois les mots « comme actions par automorphismes ».

Début d’un théorème

Théorème

Soient, pour $i=1$ ou $2$, $N_{i}$ et $H_{i}$ des groupes, et $\tau _{i}:y\mapsto \tau _{i,y}$ un homomorphisme de $H_{i}$ dans $\mathrm {Aut} (N_{i})$.

Si les deux opérations correspondant à $\tau _{1}$ et à $\tau _{2}$ sont quasi équivalentes comme opérations par automorphismes, alors $N_{1}\rtimes _{\tau _{1}}H_{1}$ est isomorphe à $N_{2}\rtimes _{\tau _{2}}H_{2}$.

Plus précisément, si f est un isomorphisme de N₁ sur N₂ et g un isomorphisme de H₁ sur H₂ tels que, pour tout élément x de N₁ et tout élément y de H₁, on ait

$f(^{y}x\ )=\ ^{g(y)}f(x),$

autrement dit

$f(\tau _{1,y}(x))=\tau _{2,g(y)}(f(x))$

alors l'application

$\ (x,y)\mapsto (f(x),g(y))$

définit un isomorphisme de $N_{1}\rtimes _{\tau _{1}}H_{1}$ sur $N_{2}\rtimes _{\tau _{2}}H_{2}$.

Fin du théorème

Démonstration

Soit $\nu$ l'homomorphisme $x\mapsto (f(x),1)$ de $N_{1}$ dans $N_{2}\rtimes _{\tau _{2}}H_{2}$ ; $\nu$ induit par corestriction un isomorphisme de $N_{1}$ sur le sous-groupe $N_{2}\times \{1\}$ de $N_{2}\rtimes _{\tau _{2}}H_{2}.$

Soit $\eta$ l'homomorphisme $y\mapsto (1,g(y))$ de $H_{1}$ dans $N_{2}\rtimes _{\tau _{2}}H_{2}$ ; $\eta$ induit par corestriction un isomorphisme de $H_{1}$ sur le sous-groupe $\{1\}\times H_{2}$ de $N_{2}\rtimes _{\tau _{2}}H_{2}.$

Pour prouver la seconde assertion de l'énoncé, nous avons à prouver que l'application

$\psi \colon (x,y)\mapsto \nu (x)\ \eta (y)=(f(x),g(y))$

de $N_{1}\rtimes _{\tau _{1}}H_{1}$ dans $N_{2}\rtimes _{\tau _{2}}H_{2}$ est un isomorphisme (rappelons que le produit $\nu (x)\ \eta (y)$ ci-dessus est calculé dans $N_{2}\rtimes _{\tau _{2}}H_{2}$). $f$ et $g$ étant bijectives, la relation $\psi (x,y)=(f(x),g(y))$ pour tout $(x,y)$ dans $N_{1}\rtimes _{\tau _{1}}H_{1}$ montre que $\psi$ l'est aussi.

Il reste donc à prouver que $\psi$ est un homomorphisme. D'après un lemme ci-dessus intitulé « Homomorphismes partant d'un produit semi-direct externe », point (i), il suffit pour cela de prouver que, pour tout x dans $N_{1}$ et tout y dans $H_{1}$,

(thèse 1) $\qquad \nu (\tau _{1,y}(x))=\eta (y)\nu (x)\eta (y)^{-1},$

où le second membre est calculé dans $N_{2}\rtimes _{\tau _{2}}H_{2}$.

Par définition de $\nu$ et de $\eta$, la thèse (1) peut s'écrire

$(f(\tau _{1,y}(x)),1)=(1,g(y))\ (f(x),1)\ (1,g(y))^{-1}$.

En remplaçant le premier membre compte tenu des hypothèses de l'énoncé, nous mettons cette thèse sous la forme

$(\tau _{2,g(y)}(f(x)),1)=(1,g(y))\ (f(x),1)\ (1,g(y))^{-1}$

et ceci est un cas particulier de la relation

$\quad (\tau _{h}(n),1)=(1,h)\ (n,1)\ (1,h)^{-1},$

notée dans un théorème ci-dessus (« Produit semi-direct externe comme produit semi-direct interne »).

Nous avons donc démontré la seconde assertion de l'énoncé. La première en résulte.

 

Produit semi-direct et opérations à droite

Soit $\ \varphi$ une opération à droite (par automorphismes) d'un groupe K sur un groupe H. Les auteurs qui préfèrent les opérations à droite aux opérations à gauche définissent le produit semi-direct externe $K\ltimes _{\varphi }H$ de H par K (noter la différence entre les symboles $\ltimes$ et $\rtimes$) en munissant l’ensemble $K\times H$ de la loi de composition interne

$((k_{1},h_{1}),(k_{2},h_{2}))\mapsto (k_{1}k_{2},\varphi _{k_{2}}(h_{1})h_{2})$

ou encore, si on représente $\ \varphi$ par la notation exponentielle droite,

$((k_{1},h_{1}),(k_{2},h_{2}))\mapsto (k_{1}k_{2},h_{1}^{k_{2}}h_{2}).$

On pourrait prouver, comme on l'a fait pour une opération à gauche, que la loi ainsi définie est bien une loi de groupe, mais on peut faire d'une pierre deux coups en vérifiant (tâche facile laissée au lecteur) que si $\ \tau$ désigne l'opération à gauche de K sur H définie par

$\ \tau _{k}(h)=\varphi _{k^{-1}}(h),$

alors

$\ (h,k)\mapsto (k,\varphi _{k}(h))$

définit un isomorphisme de magmas de $H\rtimes _{\tau }K$ sur $K\ltimes _{\varphi }H.$ Puisqu'un magma isomorphe comme magma à un groupe est lui-même un groupe et que tout isomorphisme de magmas entre groupes est un isomorphisme de groupes (voir chapitre Groupes, premières notions), nous avons prouvé que $K\ltimes _{\varphi }H$ est un groupe isomorphe à $H\rtimes _{\tau }K$.

Facteur semi-direct normal

La présente section peut être omise en première lecture.

Nous définirons un facteur semi-direct normal d'un groupe G comme un sous-groupe normal de G ayant un complément dans G. Autrement dit, N est un facteur direct normal de G si et seulement s'il existe un sous-groupe Q de G tel que G soit produit semi-direct de N par Q.

Début d’un théorème

Théorème

Soient G un groupe abélien et N un sous-groupe de G. Les conditions suivantes sont équivalentes :

(i) N est un facteur semi-direct normal de G ;

(ii) il existe un sous-groupe Q de G tel que tout élément de G s'écrive d'une et une seule façon $nq$ avec $n\in N$ et $q\in Q$ ;

(iii) l'homomorphisme canonique $\varphi :G\to G/N$ admet (au moins) un homomorphisme section, c'est-à-dire qu'il existe un homomorphisme $\sigma :G/N\mapsto G$ tel que $\varphi \circ \sigma$ soit l'automorphisme identique du groupe G/N ;

(iv) il existe un endomorphisme $\pi$ de G tel que Ker$\pi$ = N et que $\pi \circ \pi =\pi .$

Fin du théorème

On laisse la démonstration au lecteur, car elle est à peu près identique à celle de l'équivalence des conditions (i) à (iv) d'un cas particulier démontré dans le chapitre Produit direct et somme restreinte, théorème 23. Noter que la condition (v) du cas particulier doit être omise dans le cas général.