Leçons de niveau 14

Théorie des groupes/Produit semi-direct

Une page de Wikiversité.
Sauter à la navigation Sauter à la recherche
Début de la boite de navigation du chapitre
fin de la boite de navigation du chapitre
Icon falscher Titel.svg
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Théorie des groupes : Produit semi-direct
Théorie des groupes/Produit semi-direct
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Opération d'un groupe sur un groupe par automorphismes[modifier | modifier le wikicode]

Sauf indication contraire, on entendra par « opération » d'un groupe une opération à gauche.

Nous avons vu qu'une opération d'un groupe G sur un ensemble X peut être vue soit comme une application (satisfaisant à certaines conditions), soit comme un homomorphisme de G dans le groupe symétrique . Si l’ensemble X est lui-même muni d'une structure de groupe et que prend ses valeurs dans le sous-groupe Aut(X) de , on dit que G opère sur le groupe X par automorphismes.

Une opération d'un groupe G sur un groupe H par automorphismes peut donc être vue soit comme un homomorphisme de G dans le groupe Aut(H), soit comme une opération (notation exponentielle gauche) qui, outre les propriétés :

et

des opérations d'un groupe sur un ensemble, possède de plus la propriété :

.




Début de l'exemple


Fin de l'exemple


Produit semi-direct[modifier | modifier le wikicode]



Les conditions (1) et (2) sont symétriques en H et K (pour déduire de , passer aux inverses), donc si K est un complément de H, alors H est un complément de K. On dit aussi que H et K sont complémentaires (dans G).

Dans ce cas, tout élément de G s'écrit d'une et une seule façon sous la forme hk avec et  :

  • l’existence d'une telle écriture résulte de (2);
  • pour prouver l'unicité, notons que si h, h' sont des éléments de H et k, k' des éléments de K ; si , alors , de sorte que les deux membres appartiennent à , qui est égal à 1 d’après (1), d'où d'où et .

Ceci montre en particulier que G est équipotent au produit cartésien des ensembles sous-jacents de H et de K, donc :

.

(Cela se déduit aussi de la formule du produit.)

Le lecteur vérifiera que, réciproquement, si H et K sont des sous-groupes de G, si tout élément de G s'écrit d'une et une seule façon sous la forme hk avec et , alors H et K sont complémentaires.



D'après ce qui précède, tout élément de G s'écrit dans ce cas d'une et une seule façon sous la forme hk avec et .

Début d’un théorème


Fin du théorème

Démonstration très facile, laissée au lecteur.

Soient h, h' des éléments de H et k, k' des éléments de K. Nous avons :

.

Comme appartient à H (puisque H est supposé distingué dans G), il en est de même de . Donc, à partir de la décomposition de deux éléments x et y en produits d'un élément de H et d'un élément de K, nous trouvons la décomposition de xy.

Il résulte de (a) que l’application de G dans K qui à tout élément g de G fait correspondre l'unique élément k de K tel que g soit de la forme hk avec h dans H est un homomorphisme de G dans K. Cet homomorphisme est évidemment surjectif et son noyau est H, donc

Début d’un théorème


Fin du théorème


Puisque H est normal dans G, nous pouvons considérer l'homomorphisme de K dans Aut(H) défini à l'exemple 3 ci-dessus. La relation (a) s'écrit :

.

Cela nous suggère la définition suivante :






Début d’un théorème


Fin du théorème


Début d'une démonstration


Fin de la démonstration




Début d’un théorème


Fin du théorème
Début d'une démonstration


Fin de la démonstration
Début d'un lemme


Fin du lemme
Début d'une démonstration


Fin de la démonstration
Début d’un théorème


Fin du théorème
Début d'une démonstration


Fin de la démonstration
Début d’un théorème


Fin du théorème


Début d'une démonstration


Fin de la démonstration

Remarques. 1) Soient H et K deux groupes, soit l'opération triviale de K sur H, c'est-à-dire l'opération pour laquelle pour tout h dans H et tout k dans K. Alors, il résulte de la définition de que est identique au produit direct .
2) Soient G un groupe, H un sous-groupe distingué de G et K un sous-groupe de G tels que G soit produit semi-direct interne de H par K. Supposons de plus que tout élément de K commute avec tout élément de H. Alors l'opération de K sur H par automorphismes définie par pour tout h dans H et tout k dans K est l'opération triviale. Donc, d’après la remarque précédente, le produit semi-direct externe est identique au produit direct externe . D'après un théorème ci-dessus, l’application définit donc un isomorphisme du produit direct externe sur G. Par définition du produit direct interne, il en résulte que G est produit direct interne de H et de K. (On pourrait évidemment le démontrer sans passer par le produit semi-direct. Du fait que tout élément de K commute avec tout élément de H, on tire facilement que H normalise K, donc, puisque HK est égal à G tout entier, K est normal dans G et on est ramené à un théorème du chapitre sur le produit direct.)
3) La seconde projection de sur K est un homomorphisme de sur K mais la première projection n'est un homomorphisme de sur H que si l'opération est triviale (et que le produit semi-direct est donc direct).





Remarque. Dans les expressions « quasi équivalentes comme actions par automorphismes » et « équivalentes comme actions par automorphismes », nous omettrons parfois les mots « comme actions par automorphismes ».

Début d’un théorème


Fin du théorème


Début d'une démonstration


Fin de la démonstration

Produit semi-direct et opérations à droite[modifier | modifier le wikicode]

Soit une opération à droite (par automorphismes) d'un groupe K sur un groupe H. Les auteurs qui préfèrent les opérations à droite aux opérations à gauche définissent le produit semi-direct externe de H par K (noter la différence entre les symboles et ) en munissant l’ensemble de la loi de composition interne

ou encore, si on représente par la notation exponentielle droite,

On pourrait prouver, comme on l'a fait pour une opération à gauche, que la loi ainsi définie est bien une loi de groupe, mais on peut faire d'une pierre deux coups en vérifiant (tâche facile laissée au lecteur) que si désigne l'opération à gauche de K sur H définie par

alors

définit un isomorphisme de magmas de sur Puisqu'un magma isomorphe comme magma à un groupe est lui-même un groupe et que tout isomorphisme de magmas entre groupes est un isomorphisme de groupes (voir chapitre Groupes, premières notions), nous avons prouvé que est un groupe isomorphe à .

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. Ceci est la terminologie de J. Calais, Éléments de théorie des groupes, Paris, 1984, p. 191. D'autres auteurs disent « produit semi-direct de K par H ». C'est le cas par exemple de N. Bourbaki, Algèbre, ch. I, § 6, no 1, corollaire, Paris, 1970, p. 65. On préfère dans le présent exposé l’expression « de H par K » parce qu’il sera question d'une opération de K sur H, ce qui fait apparaître K comme actif et H comme passif.